Московский текстильный институт им. А. Н. Косыгина

51

крыши здания (пункт B). Вследствие этого изобравжение двотся. На сколько сантиметров сdvинуты изобравення друг относительно друга, если антена, станция и крыша здания расположены на расстояниях, указанных на рисунке 3. Ширина экрана телевизора $l=50$ см. Указание. Учесть, что изобравжение в кадре телевизора разлагается на 625 строк и в секунду передается 25 кадров. Временем обратного хода лучей можно пренебречь.

10. Какое количество урана $^{235}_{92}$ U расходуется в сутки на atomной электростанции мощностью $P=5000$ кВт? КПД принять равным $\eta=17\%$. Считать, что при каждом акте распада выделяется энергия $E_0=200$ МэВ. Число Авогадро $N_A=6,02 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$.

Публикацию подготовили P. Грудина, H. Сарнавский

Московский текстильный институт им. А. Н. Косыгина

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Упростите выражение
   $$A = \frac{\left(\frac{4\sqrt{bc^3} + 4\sqrt{a^2bc}}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}\right)^2 + bc + 3}{\sqrt{bc} + 3}.$$

2. Решите неравенство
   $$\frac{8 - 5x}{2 - \log_{\frac{1}{2}}x} > 0.$$

3. Решите уравнение
   $$-\sin 5x + \cos \left(\frac{3}{2}\pi + x\right) = 2\cos (3x - 2\pi).$$

4. Вычислите площадь фигуры, заключенной между линиями $y=8+2x-x^2$ и $2x-y+4=0$.

5. Вычислите тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равнобедренного прямого углового треугольника.

Вариант 2

1. Приведите к виду, удобному для логарифмирования
   $$A = \text{tg} \alpha + 2 \text{tg} 2\alpha + 4 \text{ctg} 4\alpha.$$

2. Найдите арфметическое произведение, у которой сумма первых трех членов равна 27, а сумма квадратов этих трех членов равна 275.

3. Решите неравенство
   $$\frac{1}{3^x + 5} < \frac{1}{3^{x+1} - 1}.$$

4. Вокруг квадрата, сторона которого равна $a$, описана окружность, а около окружности описан правильный шестиугольник. Определите площадь шестиугольника.

5. Найшите уравнение касательной к графику функции $y=e^{-x}$ в точке с абсиссной $x=0$. Найдите угол между касательной и осью $Ox$.

Задачи устного экзамена

1. Решите уравнение
   $$x^{\lg x-1} = 100.$$

2. Решите неравенство
   a) $9x-14-x^2 > 0,$
   b) $\log_{0.5}\frac{2-x}{3} < 0.$

3. Вычислите
   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{6+x} - \sqrt{6-x}}{x}.$$

4. Постройте график функции
   a) $y = \left|\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{4}\right|,$
   b) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right).$

5. Найдите произвольную функцию
   $$y = \log_2(2x^2 - 3x + 1).$$

6. Найдите промежутки монотности функции
   $$y = 3 + 8x + 4x^4.$$

7. Вычислите $\int_0^{\frac{\pi}{4}} 2\cos 3x \, dx.$

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
   a) $y = (x-1)^2$, $y=0$, $x=2$, $x=3$
   b) $y=2\sin x$, $y=0$, $x=\frac{\pi}{4}$.

9. Докажите с помощью векторов, что средняя линия $\Delta ABC$ параллельна треугольнике и равна ее половине.

Физика
Задачи устного экзамена

1. При тела массами $m_1=200$ г, $m_2=300$ г и $m_3=400$ г связаны нитями, перекинутыми через блоки, как показано на рисунке. Коэффициент треня между поверхностью второго тела и опорой $\mu=0,2$. Найдите ускорение движения тела и силы натяжения нитей.

2. Из орудия массой $m_1=1000$ кг, движущаяся со скоростью $v_1=10$ km/ч, произведен выстрел в направлении движения под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту. Как изменилась при этом скорость движения орудия? Масса снаряда $m_2=5$ кг, а скорость его при вылете $v_2=100$ м/с.

(Окончание см. на с. 56)