4
Гравитационный захват
Как образовательсь Солнечная система? Этот вопрос завладел умами ученых, верятно, с той самой поры, как выяснились, в каком порядке сорасположены в мировом пространстве Солнец, Земля, другие планеты. Древние верили, что центральной фигурой этого космического сообщства является Земля. Оdnako истинная картина оказыласьиной: планеты, в том числе и наша, образаются вокруг Солнца по орбитам, близким к круговым и расположенным примерно в одной плоскости. Как же сложился этот хоровод?
В 1796 году французский математик и механик Пьер Симон Лаплас выдвинул свою знаменитую космогонческую гипотезу, предлагавшую ответ на этот вопрос. Лаплас полагал, что Солнечная система образовалась из врашающего газовой туманности. Под действием сил притяжения между частицами газа туманность с законом сохранения момента импульса, врашалась все быстрее. В какой-то момент для частиц, находившихся на экваторе врашающегося структка, сила притяжения к его центру оказалась равной центробежной силе инерции, так что орбиты этих частиц далее уже не сужались; другие же частицы продолжали приближаться к центру. Туманность сплошивалась к плоскости, перpendикулярной оси ее врашения. Затем, по предположению Лапласа, она разделилась на центральный сгусток, из которого впоследствии образовалась Солнце, и перipherные колыца, позже сгустившиеся в планеты.
Гипотеза Лапласа хорошо объясняла концентрический характер планетных орбит. Но ведь в околосолнечном хороводе участвуют не только планеты. Вместе с ними вокруг нашего света образаются также и кометы. У многих из них орбиты сильно отличаются от круговых, представляют собой весы вытянутые эллипсы и, что особенно примечательно, не лежат в плоскости планетных орбит, а ориентированы довольно хаотически. Как объяснить такое дисграмmonю?
В 1770 году астрономы наблюдали комету, названную кометой Лекселя. В ожидавшийся срок ее следующого появления она не была обнаружена в предвычисленной точке небосвода. Как оказалось, в этом повинен Юпитер: комета была резко сбита со своей орбиты мощным прияжением этой планеты-гиганта в тот момент, когда она миновала его окрестности.
И вот, вступав перед необходимостью вписать кометы в свою картину происхождения Солнечной системы, Лаплас выдвинул смело предложение: среди тел, ее составляющих, есть не только “родные” дети Солнца, но и “приемные”; кометы — это пришельцы из космоса; те из них, которые, пропеляя сквозь Солнечную систему, прошли в близки какой-либо кругной планеты, резко, подобно комете Лекселя, изменили свою орбиту и свернули со своей прежнего, устремленного в бесконечность, пути на эллиптические околосолнечные орбиты.
Правда, Лаплас не доказал своего предложения, видимо, полагаясь на его самоочевидное правдоподобие. Это сочетание правдоподобия и недоказанности предопределяло гипотезе gravитационного захвата нелегкую судьбу в истории науки.
Одни учены, веря в ее будущее строое обоснование, отводили ей принципиальный роль в своих суждениях о происхождения Солнечной системе. Другие, напротив, относили
6
Рис. 2. Типы орбит в задаче двух тел
“тихожоды”, гиперболические — самые “стремительные”.
По эллиптической орбите (рис. 2,а) комета движется перiodически с переменной скоростью, достигающий максимума при каждом прохождении через перигелий и минимума — при прохождении через афейий (наболее удалению от Солнца точку эллиптической орбиты).
При движении по гиперболической орбите (рис. 2,б) комета прилегает из бесконечности вдоль асимптоты, при приближении к Солнцу поворачивается, облегает его и удаляется в бесконечность вдоль другой асимптоты. При этом на очень большом расстоянии от Солнца скорость можно считать постоянной; при приближении к Солнцу ее величины возратает, достигая максимума в перигелии, затем убивает и комета уходит на бесконечность с прежней по величины скоростью. Роль Солнца, таким образом, совпается к тому, чтобы повернуть вектор скорости кометы.
У параболической орбиты (рис. 2,в) нет асимптоты и, что важно, при удалении на бесконечность скорость кометы стремится к нулю.
Гиперболические и параболические орбиты родственны друг друга: комета прилегает к Солнцу из бесконечности и в бесконечность же удаляется. Эллиптические орбиты качественно отличны от остальных: комета всегда остается на ограниченном расстоянии от Солнца.
Слова, только что послужившие нам для сравнения орбит, помогут отчетливее охарактеризовать про-
цесс gravitationного захвата одного тела другим (или какой-либо системе тел): в предшествующие этому процессу бесконечно давние moments времени захватываемое тело находится на бесконечном удалении от захватывающего, а во все последующие пребывает близ него на ограниченной расстоянии. Таким образом, картина движения захватываемого тела сугубо несимметрина во время по отношению к моменту захвата.
Ничего подобного мы не видим среди типов движения, исчерпывающие описанных Ньюотоном для случая двух тел, которые мы условно назвали Солнцем и кометой. В каждом из трех случаях характер движения кометы в.beсконечно далеком прошлом и.beсконечно далеком будет совпадают.
Иными словами, gravitationный захват в системе из двух тел невозможен.
А если тел больше?
Задча трех тел
Казалось бы, с появлением третьего участника в ансамбле движущихся тел расчет их движения не должен существовать. Однако это не так: сложность задачи при переходе от случая двух тел к случая телярезко возратает. Движение двух тел сложет расчетать (хотя и не без труда) всякий, кто хорошо освоил методы дифференциального и интегрального исчисления. Задча трех тел представляют собой значентирую проблуу, над которой близь не одно поколение математков и астрономов.
7
Легко написать уравнение движения для каждой из тел. Но вот решить получившееся уравнение, найти траектории тел по заданным их положениями и скоростью в некоторый момент времени в обшем случае не удалось. Более того, сейчас строго доказано, что найти общее решение задачи невозможно! Дать геометрическое описание решения тоже представляется в высшей степени затруднительным.
Ну, а если подойти к задаче трех тел без желания найти ее точное решение и попытаться определить хотя бы типы их движения? При таком подходе удается достичь некоторых результатов.
Ради ясности можно несколько существующих вопроса наполобие того, как мы поступали при разборе задачи двух тел. Пусть одно из трех тел значительно превосходит по массе остальные. И пусть в какой-то период времени оба легких тела (кометы) находятся пользовости от тяжелого (Солнца). Расмотрим моменты времени, бесконечно далее от этого периода, прошленные или будущее по отношению к нему, и будем интересовать: где в такие моменты находится та или иая комета — на бесконечном удалении от Солнца или в ограниченной его окрестности? В зависимости от ответа на этот вопрос классифицировать типы движения.
Подобную классификацию для задачи трех тел предположил французский астроном Ж. Шази (1882—1955). Все мыслиные движения он подразделил на четыре типы:
тин гиперболический (рис. 3,a), когда в бесконечном дальнейшем времени и будущего и прошло обе кометы бесконечно дальней от Солнца;
тин гипербол-эллиптический (рис. 3,б), когда одна из комет находится на ограниченной расстоянии от Солнца, а второй приходит из бесконечности и уходит в бесконечность;
тин орангичных движений (рис. 3,в), когда все три тела в продолжение бесконечного времени на ограниченных расстояниях друг от друга;
тин орангичных движений (рис. 3,e), весма экзотическая, когда существует неоторая ограниченная область пространства, где все три тела время от времени оказываются одновременно, но не существует такой ограниченной области, где они оставались бы вечно.
Исходя из этой классификации, для случая трех тел определют понятие частного и полного захвата. Про частный захват говорят, если в прошлом движения принадлежит гиперболическому типу, а в будущеем — гипербол-эллиптическому.
Рис. 3. Классификация движения в задаче трех тел
9
О. Ю. Шmidt (1891—1956). Выдающийся советский математик, прославленный полярный исследователь. Предложил первый primer частичного захвата в задание трех тел.
слегка изменившейся гиперболе с несколько увеличенной скоростью.
Этот primer, возможно, станет более понятным, если представить себе противоположную ситуацию «распада», когда тело «от века» обращалось вокруг , но в какой-то момент налетевшее с огромной скоростью тело стали его с орбиты и выбросило на бесконечность, а само продолжило свой путь на бесконечность, немного потеряв в энергии (рис. 4, 6). Чтобы получить отсюда пример захвата, достаточно представить себе время, текущим вспять.
Пример Шmidt обладал теми же недостатками, что и примеры обмена: расчет охватывал лишь конечный промежуток времени; к тому же ошибки численного интегрирования оказались чрезмерно велики. Когда сравнили значения момента импульса на концах интегрирования, они не совпали. Пример Шmidt получился не убедительным. Казалось, что точка зрения Шази восторжествовала.
K. A. Ситников: частичный захват возможен!
Прошло несколько лет. Пример Шmidt подвергся переместу. Результаты свидетельствовали: основная идея ученого верна — небесное тело, прилетевшее к Солнцу на огромной скорости, может «столкнуть» другое тело, пропетающее рядом, с гиперболической орбиты на эллиптическую, а затем удалиться в бесконечность. Более того, выяснили, что эту идею можно использовать для построения траекторий чисто теоретическими средствами, без численного интегрирования.
В 1952 году К. A. Ситников построил аналитический primer частичного захвата, а в 1956 году В. М. Алексеев — примеры обмена. При этом оказалось, что подобные примеры отнюдь не представляют собой какие-то единичные исключания — небольшие изменения параметров небесных тел не приводило к изменении качестваенной картины явления.
Рис. 4. Примеры частичного захвата и распада
10
В сравнительно простых случаях утверждение Шази было опровергнуто.
Но оставалось под сомнением возможность комбинации других типов движений. Было неизвестно, существуют ли осцилирующие движения вообще, возможно ли полный захват. Дело осложнялось тем, что такие примеры, если бы их и удалость обнаружить, представляли бы собой случай исключительных.
Равнобедренная задача трех тел
Уже на примере задачи двух тел мы могли убедиться, как много для осмысления общей проблемы значит порого характераный частный случай. При разборе задачи двух тел одно из них мы предполагали значительное тяжелое другого. Это сильно упростило классификацию их движений. Классификация остается справедливо и для общого случая, но если мы сразу приняли за него, обьяснение потребовало бы больших условий.
При анализе осцилирующих движений успех также был обусловлен модельным примером. Предложенный А. Н. Колмогоровым, он получил впоследствии название равноведренной задачи трех тел. Слово «равноведренный» выражает характерную особенность примера: в каждой момент времени треугольник, образующий трея темами, оказывается равноведренным. Два тела, составляющие основание этого треугольника, имеют одинаковую, веса солидную массу. Назовем их «звездами»; третье же, значительное более легкое, естественно называть «пылинкой».
Звезды в примере Колмогорова движутся в плоскости по эллиптическим орбитам вокруг своего центра масс, пылинка же движется вдоль перпендикулара к плоскости, восстанавливающего в этом центре (рис. 5).
В 1960 году Ситников показал, что движение пылинки может носить осцилирующий характер, то есть представлять собой колебания с изменяющимся размахом, причем этот размах временами достигает сколь годно больших значений.
Такие колебания могут проискать и с постоянным размахом — если звезды движутся по окружности, словно гонясь друг за другом. Но если орбиты звезд — эллиптические и благодаря этому звезды то сбижаются, то расходятся, хотя бы незначительно, в движении пылинки возникает эффектив раскачки.
Этим примером было доказано существование осцилирующих движений в задаче трех тел.
Рис. 5. Равнобедренная задача трех тел
11
Оставался последний бактон: проблема полного захвата.
В. М. Алексеев: полный захват возможности!
Исходной позицией для штура последнего бактона последила все та же равноведренная задача трех тел. Исследуе ее, В. М. Алексеев в 1968 году доказал: начальное положение и скорость пылинки можно выбрать так, что ее последующее движение будет принадлежать к типу ограниченных или осцилириующих движений, а приобретится полное movement и скорость пылинка может и прилетев из беконечности.
В целом же картина движения выглядит так: пылинка приближается из беконечности к плоскости эллиптического движения двух массивных тел, произдает эту плоскость, и за это время массивные тела сближаются, силы взаимного прияжения между всеми tremя участниками движения возрастают настолько, что приормживают пылинку, поворачивают ее вспять и заставляют в последующем совершать колебания с ограниченным или неограниченным размахом. Первая из двух этих возможность соответствует полному захвату, вторая — захвату в осцилляцию, как говорят исследователи.
Как водится, самые последние шаги оказываются самыми трудными. Все те примеры движения, имеющих различный характер в прошлом и будущеем, которые были построены до 1968 года, как бы выживались из огромного океана неизвестности, какой представляет из себя все совокупность возможных движений в задаче трех тел. Исследования же Алексеева пропили свет на то, как эта совокупность устроена.
Результат Алексеева завершил многоолетнюю диссусцию по поводу утверждения Шази: оно оказалось полностью неверным! Самые спорные комбинации разнородных типов из классификации Шази, которые движение трех тел описывает в прошлом и будущеем, оказались осуществыми, получили строовое аналогическое обоснование.
Рис. 6. Катастрофическая трансформация кометы Kirnca-Кви в 1855 г. и эволюция ее орбиты (по расчетам Е. И. Казимирчак—Полонской)
Комета Kirnca-Кви: захват Юпитером?
Нельзя сказать, что с опровержением утверждения Шази в probleме гравиитационного захвата не осталось никаких неясностей. Некоторые из них внимательный читатель мог бы подметить даже с помощью этой короткой статьи.
Ну, например: возможность захвата кометы, каким он виделся Лапласу — за счет ее прохождения mismo Юпитера или другой планеты-гиганта? Есть основания думать, что ответ — положительный.
Вот как может выглядеть этот захват. Комета,ройдя взлизи Юпитера на гиперболической (по отношению к Солнцу) скорости, тормозится им и переводится на эллиптическую орбиту вокруг Солнца с тем, чтобы при очередной встрече с Юпитером перейти на другую эллиптическую орбиту и т. д.
Некоторые время казалось, что так была захвачена комета Kirnca-Кви, открыта в 1963 году. По результатам полученного наблюдения были вычислены ее нынешняя и предшествующая орбиты. Получилось (рис. 6), что в 1961 году комета Kirnca-Кви продолжла взгляда юпитера (Окончание см. на с. 27)