Летать быстрее и дальше

12

А. Стасенко

Летать
быстрее и дальше

Живет она, дошедшая от дедов,
Особая скшагочная страсть:
Влечет к себе туманность Андромеды
Сквозь немуту космических пространств.
Н. Образцова. Город над морем

Тысячи лет мечтал человек летать и добился этого, «опираясь на силу своего разума», на сумму науки и технологически. Летательный аппарат, по сути дела, — венец технической цивилизации. Не случайно его разработка и построка и сегодня доступны не всем странам. Мы можем по праву гордиться вкладом русских ученых в осуществление этой общечеловеческой мечты. Одиним из них был Константин Эдуардович Циолковский, который впервые обосновал возможность использовать искусство пакета для межпланетных сообщений.

Рассмотрим некоторые аспекты физики летательного аппарата, в частиности — ракетного двигателя, разработанного Циолковским и описанного в его научных и популярных статьях и книгах.

Почему именно пакета?

В определенном смысле любое движение является реактивным. «Пароход отталкивает body, dirijжабл и азроплан — воздух, человек и лошадь — земной шар… Такие реактивные явления мы обыкновенно и наблюдаем на земле. Вот почему они никогда не могли поощрить к мечтам и исследованиям… Ракета заключит в самом себе вещества для отброса» (К. Э. Циолковский).

Ракеты начали делать давно, но сначала это была «то гульба, то пальба», как讶ся в песне. Только Циолковский понял, что пакета — единственное средство для достижения принципального любой скорости, а значит, и необходимой для преодоления силы земного тяготения. «Только разум и наука могли указыть на преобразование этих явлений в градиизные, почти непостязимые чувства», — писал Циолковский.

13

Так почему же именно пакета? Постараемся понять это, сравив ее с другими, казалось бы самым близким ей «по духу», летательным аппаратом — прямоточным воздействием.divигательем. Но прежде — о самом пакете (рис. 1). Представим себе, что в некоторых произвольный момент времени $t$ пакета имела скорость $v$. Мы следенно разобем пакету на две части — ту, которая через малый промежуток времени $\Delta t$ «собирается» отлететь назад (отработанное топливо пакеты), обозначим ее массу через $\Delta M$, и тот «остаток» массой $m$, который попетит дальше, но уже с другой скоростью, равной $v + \Delta v$. Скорость отлетевшей части относительно «остатка» обозначим через $u$, тогда ее скорость относительно земного наблюдается будет равна $(v + \Delta v) - u$. Так как разделение произошло под действием внутренних сил, суммарный импульс пакеты не изменился*):

$$(m + \Delta M)v = m(v + \Delta v) + \Delta M(v + \Delta v - u),$$

или

$$mv + \Delta M \cdot v = mv + m\Delta v + \Delta M \cdot v + \Delta M \cdot \Delta v - \Delta M \cdot u.$$

Слагаемые, подчерknутые прямыми чертами (одной или двумя), взаимно уничтожатся, а слгааемое, под-

*) Если эта фраза вам показалась не очень понятной, советем прочитать главу «Закон сохранения импульса» из школьного учебника «Физика 8».

Рис. 1.

Рис. 2.

черknутое волнистой линей, «исчезнет» вот по какой причине. Здесь и в дальнейшем мы будем все приращения — $\Delta t$, $\Delta v$, $\Delta M$ и другие — считать очень малыми, так что их произведение типа $\Delta M \cdot \Delta v$ будет совсем малыми, или, как говорят математики, второго порядка малости. Итак, что же остается от закона сохранения импульса? Вот какое равенство:

$$m\Delta v = u\Delta M.$$

Если учеть, что отброшенная масса $\Delta M$ в точности равна убили массы пакеты: $\Delta M = -\Delta m$, то полученное равенство можно переписать в виде

$$\frac{\Delta v}{u} = -\frac{\Delta m}{m}.$$

Теперь проведем анализчные расчёжения для воздействию двигательного.divигателя (рис. 2). Вот он «готовится» в момент времени $t$ «заглотить» порцию воздуха массой $\Delta m_B$ и, израсходовав массу горючего $\Delta m_r$, выбросить образованшуюся смесь с относительной скоростью $u$. При этом, разумеется, изменение массы самого летательного аппарата будет равно $\Delta m = -\Delta m_r$. Запишем закон сохранения импульса для системы.divигателя — горючее — воздух:

$$\Delta m_B \cdot 0 + (m + \Delta m_r)v = (\Delta m_B + \Delta m_r)(v + \Delta v - u) + m(v + \Delta v)$$

(здесь $v$ — скорость аппарата в момент времени $t$, $v + \Delta v$ — его новая скорость в момент $t + \Delta t$, первое слагаемое слева отражает тот факт, что поглощенный.divигатель возвращающий поконлся).

14

Отсюда, учитывая сделанные ранее оговорки, после некоторых преобразований получаем

$$\frac{\Delta v}{u} = \frac{\Delta m_r}{m} - \frac{\Delta m_B}{m} \left( \frac{v}{u} - 1 \right).$$

Пусть горючого подаетсяровно столько, чтобы оно все прореагировало с кислородом воздуха. Отношение масс $\Delta m_r / \Delta m_B$, конечно, будет зависеть от химического состояния горючого, но для данного вещества оно будет постояной величины, которое мы обозначим через $\beta$. Тогда предыдущее равенство примет вид

$$\frac{\Delta v}{u} = \frac{\Delta m_r}{m} \frac{1 + \beta - v / u}{\beta},$$

или

$$\frac{\Delta v}{u} = - \frac{\Delta m}{m} \frac{1 + \beta - v / u}{\beta}.$$

Посмотрите внешательно на уравнение (1) и (2). Они имеют нечто общее, а именно: для того чтобы скорость летательного аппарата росла ($\Delta v > 0$), нужно, чтобы масса его убывала ($\Delta m < 0$). Но есть и очень важное отличие: в правую часть уравнения (2) входит множество $1 + \beta - v / u$, который по достижении скорости $v = u (1 + \beta)$ становится равным нулю. Это означает, что воздействно реактивный диггатель, «заглатывший» покоящийся воздейству, не может разогнаться до скорости, существующего большей, чем относительная скорость истечения продуктов сорта. Скорость такого диггателя имеет предел, который предполагает невозможно. А для ракеты аналогичного предела нет.

На самом деле этим уже все сказано, однако в принципие можно получить и точные выражения для скоростей ракеты и диггателя.

Тот, кто имеет суммированное малые приращения, то есть интегрировать, из выражения (1) легко получить (учитывая, что в момент $t_0 = 0$ $v = 0$ и $m = m_0$)

$$\frac{v - 0}{u} = - (\ln m - \ln m_0),$$

или

$$\frac{v}{u} = \ln \frac{m_0}{m}.$$

Это и есть знаменита формула Циолковского. Историки науки говорят, что он затратил на нее немало времени: первоctrвыателю всегда трудно. Сегодня грамотный школьник получит ее за несколько минут, а студент факультета аэромеханики и летательной техники Московского физико-технического института (специально тому обученный) — за несколько секунд.

Проанализируем полученную формулу. Если убыль массы ракеты в единицу времени есть величины постоянная (обозначим ее через $\mu = - \frac{\Delta m}{\Delta t}$), то с течение времени масса ракеты изменяется по закону (см. рис. 1)

$$m(t) = m_0 - \mu t.$$

По истечении времени $t$, когда срокит и будет выброшено все топливо, масса ракеты станет равной $m_\tau = m_0 - \mu t$, а ее скорость —

$$\frac{v_\tau}{u} = \ln \frac{m_0}{m_\tau}.$$

Очевидно, что ракета достигает тем большей скорости, чем меньше оставшаяся масса. Это печально, либо неэкономно, но что поделаешь — такое природа. Хорошо уже то, что найдена лазейка, использую которую можно достичь «скорости убегания» от планеты, хотя и дорогой ценой. Но есть и еще одна возможность — увеличение относительной скорости выброса отработанного топлива.

Вот что писал сам Циолковский по этому поводу: «Что бы снаружи получил наиболее мощный ракет, надо, чтобы частца продуктов горения или иного отброса получила наиболее мощный отбросную горения. Она же постоянна для определенных веществ отброса. Экономия энергии тут не должна иметь места: невозможна и невыгодна».

Итак, нужно построаться увеличить скорость выброса $u$.

Как выбрасывайте массу?

В принципие, это можно делать миллионом способов. Так, в одном из проектов Циолковского реактивная тга должна быть получаться в ре

15

зультате выбрасывания из имеющейся на борту космического корабля пушки сферических ядер. Ясно, что такой способ не многого стоит: большой скорости он дать не может.

Среди множества гориздо более поздних проектов был, например, такой*) (рис. 3). В геометрическом центре огромной прочной части взрывются почередно доставляемые туда атомные бомбы. При взрыве каждой из них сначала возникает интенсивный выборос электромагнитной энергии в виде гамма- иRENTНОВСКИХ ЛУЧЕЙ, видимого света и теллового излучения. Поглошение этой энергии, сопровождающееся испарением тонкого слоя космического корабля, сообщает аппарату импульс в желаемом направлении. Второе воздействие на корабль возникнет, когда осколки бомбы достигнут поверхности цаши и, обладая высокой скоростью, передают ей свой импульс. Серия из нескольких сотен таких взрывов может обеспечитьускорение большой полезной нагрузки и ее взлет с поверхности планеты. (Этот процесс можно сравнить с работой многоступенчатой реакты, состоящей из мощных ступеней с малыми периодами работы.) Конечно, в этом проекте речь идет о громадном летательном аппарате размером в нескольких kilометров (а может быть, даже и десять kilометров). Вот «как далеко может хватить разум человека*!.

В настоящее время задача разгона и выброса массы реализуется более обденино: путем пропускания сильно нагретого газа через так называемое сверхзвуковое сопло. Такой вариант получения реактивной тягги — «силюю действия струп газа, вытекающего из резервуара, в котором этот газ находится под давлением», — тоже рассматривается Циолковским.

Разберем этот процесс в упрощенном виде, который, однako, позволяет сделать многоные выводы. Для лучшего понимания нам придетя вместе несколько новых для многоих читателей

Рис. 3.

понятный — таких, как поток массы, поток импульса и поток энергии*). Они часто используются в физике.

Представьте себе реакку, в которой вода течение со скоростью $u$ и которая имеет площад поперечного сечения (перpendикулярного скорости) $S$. Тогда за единицу времени через это сечение проходит масса воды, равная произведению $quS$. Эта величина и называется потоком массы. Посмотрите, как она «устроена»: плотность воды $q$ умножается на объем $uS$, переносимый в единицу времени. Но каждая единица массы (точнее — масса каждой единицы объема) обладает и кинетической энергией $qu^2/2$, и импульсом $qu$. Значит, река переносит не только массу, но и эти величины тоже, причем потоки кинетической энергии и импульса равны соответственно ($qu^2/2)uS$ и $qu \cdot uS$.

В дальнейшем эти понятия будут нами использованы.

Пусть какая-нибудь жидкость (или газ) движется по каналу переменного сечения с площадю $S$, зависит от точки на оси $X$. Очевидно, что масса жидкости (или газ), проходящая через любое сечение $S$ в единицу времени (поток массы), одинакова:

$$quS = \mu = \text{const.}$$

*)Этот и ряд других любопытных проектов описаны в книге У. Корлисса «Ракетные движители для космических полетов» (М., «Инструментальная литература», 1962).

16

Если плотность $\rho$ постоянна, например, течение отражаетсовсем простую мысль: где канал шире, там течение медленнее, где уже — быстрее. В отличие от несжимаемая жидкость, газ может сильно расширяться, при этом его плотность уменьшается. Следовательно, при той же площади секения канала скорость газа будет газаздо большие, чем скорость жидкости. Что и требуется для наших целей. Теперь понятно, почему из ракеты должен выбрасывается именно газ.

Для простоты рассужdenя будем считать газ идеальным и однозатным. Это означает, что он подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона $pV = \frac{m}{M} RT$, или

$$p = \rho \frac{RT}{M}$$

(4)

(здесь $p$ — давление, $\rho = m/V$ — плотность, $T$ — температура, $M$ — молярная масса газа, $a$ $R$ — унверсальная газовая постоянная), и что его внутренняя (тепловая) энергия равна

$$\frac{3}{2} \frac{m}{M} RT.$$

Далее положим, что в газе не произходит никаких химических реакций, тепло к нему ноткуда не поступает и никака от него не obtaints. Тогда поток суммарной энергии газа, так же как и поток массы, должен сохраняется. Как это записать?

Какая единlua объема газа обладает во время движения кинетической энергии $\rho u^2/2$ и тепловой энергии $^3/2\rho RT/M$, поэтому поток этих энергий равны $(\rho u^2/2)uS$ и $(^3/2\rho RT/M)uS$. Кроме того, сила давления $pS$ совершает в единицу времени работу, равную $pSu$, что вызывает соответствующое увеличение потока энергии. Таким образом, поток суммарной энергии равен

$$\left( \frac{\rho u^2}{2} + \frac{3}{2} \rho \frac{RT}{M} \right) uS + pSu = \text{const},$$

или, после деления на $\rho uS$,

$$\frac{u^2}{2} + \frac{3}{2} \frac{RT}{M} + \frac{p}{\rho} = \text{const}.$$

Преобразуем еще это уравнение, подставив выражение для давления из уравнения Менделеева — Клапейрона. Тогда получим

$$\frac{u^2}{2} + \frac{3}{2} \frac{RT}{M} + \frac{RT}{M} = \frac{u^2}{2} + \frac{5}{2} \frac{RT}{M} = \text{const} = \frac{5}{2} \frac{RT_0}{M}$$

(5)

Здесь мы конкретизировали выражение постоянной,雯я температуру $T_0$, при которой газ поконтся ($u=0$).

Теперь, хорошоенько поработа,opa получать «урожай». Из последнего уравнения видно, что если бы газ в процессе движения мог охлаditся до $T=0$, то он приобрет бы самую большую скорость

$$u_{\text{max}} = \sqrt{\frac{5RT_0}{M}}.$$

При этом вся тепловая энергия газа перешла бы в кинетическое энергию его направленного движения.

Сделаем численную оценку. Допустим, нам удалось нагреть самый легкий одноатомный газ гелий ($M=4$ кг/кмоль) до $T_0=3000$ К. Тогда его можно разогнать до скорости

$$u_{\text{max}} = \sqrt{\frac{5RT_0}{M}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 8,31 \cdot 10^3 \text{Дж}/(\text{кмоль} \cdot \text{К}) \cdot 3 \cdot 10^3 \text{К}}{4 \text{ кг/кмоль}}} \approx 5,6 \cdot 10^3 \text{м/c} \approx 5,6 \text{ км/c}.$$

Это приблизительно в полтора раза меньше первой космической скорости, но все прелесть в том, что пакета может набрать скорость, горячдо большую скорости источения газа.

И, наконец, остался последний вопрос.

Каким нужно сделать канал?

Иначе говоря, каков должен быть закон изменения площади поперечного секения $S$ вдоль оси $X$, чтобы можно было достичь скорости $u_{\text{max}}$?

Выделим объем канала, заключенный между близкими друг к другу секениями $x$ и $x+\Delta x$, где площади равны $S$ и $S+\Delta S$, а скорости, плотности и давления — $u$ и $u+\Delta u$, $\rho$ и $\rho+\Delta \rho$, $p$ и $p+\Delta p$ соответственно (рис. 4). На участке $\Delta x$ поток массы $\mu=\rho uS$ изменяет свой импульс под

17

действием разности $pS - (p + \Delta p) \times (S + \Delta S)$ сил давления, действующих вдоль оси $X$, и проекции на эту ось силы давления, действующей на боковой стенку канала: $p \cdot 2\pi r(x) \times \Delta x \cdot \mathrm{tg} \alpha = p \cdot 2\pi r(x) \cdot \Delta r = p \cdot \Delta (\pi r^2) = p \Delta S$.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для приращения имплуса потока массы $m$ под действием указаных сил:

$$\mu (u + \Delta u) - \mu u = pS - (p + \Delta p) (S + \Delta S) + p \Delta S,$$

или

$$\mu u + \mu \Delta u - \mu u = pS - pS - \Delta p \cdot S - p \Delta S - \Delta p \cdot \Delta S + p \Delta S.$$

Отсюда, опуская подчеркнутьые члены, получим

$$\mu \Delta u = -\Delta p \cdot S,$$

или

$$\mu \Delta u = -\Delta p.$$

Тут кончается физика и начинается форминая обработка полученных результатов. Чтобы собрать сдухом, выпишем рядом уравнения (3)—(6):

$$\mu u S = \text{const},$$

$$p = \rho \frac{RT}{M},$$

$$\frac{u^2}{2} + \frac{5}{2} \frac{RT}{M} = \text{const},$$

$$\mu \Delta u = -\Delta p.$$

Можно положовать и прислушаться: тут все диамника Staционного течения идеального газа! Но вот что любопытно. При уравнения выписаны в виде общих алгебраических соот:

Рис. 4.

2 «Квант» № 9

ношений, а последнее — в виде малых приращений. И с этим ничего не поделаешь — ведь и $\varphi$, и $p$ и $u$ изменяются вдоль канала. Поэтому последнее уравнение трогать не будем, а все другие запишем тоже в виде приращений (подробнее о том, как это сделать, в частности — как найти мало приращение произведения изменяющихся величины, можно прочитать в Приложении к статье):

$$u S \Delta \varphi + \varphi S \Delta u + \varphi u \Delta S = 0,$$

или

$$\frac{\Delta \varphi}{Q} + \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta S}{S} = 0,$$

(3')

$$\Delta p = \frac{R}{M} (T \Delta \varphi + \varphi \Delta T),$$

(4')

$$u \Delta u + \frac{5}{2} \frac{R}{M} \Delta T = 0,$$

(5')

$$\varphi u \Delta u = -\Delta p.$$

Подставим $\Delta T$ из выражения (5’) в равенство (4’), $\Delta p$ из полученного выражения подставим в (6), оттуда $\Delta \varphi$ — в (3’) и найдем связь между $\Delta u$ и $\Delta S$:

$$\frac{\Delta u}{u} \left( \frac{3}{5} \frac{u^2 M}{RT} - 1 \right) = \frac{\Delta S}{S}.$$

Отметим, что $^5/3RT/M$ — это квадрат какой-то скорости. Обозначим его через $a^2$, тогда в скобке будет выражение $u^2/a^2 - 1$. На самом деле $a^2$ — это квадрат скорости звука в одноатомном газе при температуре $T$, но этот факт нам не понадбится. Просто будем помнить, что есть некоторая важная скорость $a$, зависит от $T$. И это нам здесь будет достаточно.

Итак, что же видно из последнего уравнения? Если $u < a$, то скобка отрицательна, и для положительного приращения скорости ($\Delta u > 0$) приращение площади должно быть отрицательным ($\Delta S < 0$), то есть площадь надо уменьшать. По мере увеличения $u$ мы достигнем точки, где $u = a$. Здесь скобка обращается в нуль, и $\Delta S = 0$ при любом $\Delta u$, в том числе и положительным. И наконец, когда $u > a$, для дальнейшего роста $u$ нужно обеспечить положительное приращение площади ($\Delta S > 0$), то естьечение канала должна должно увеличивать. Это и есть качественное описание