50
В. Нахшин
Понятие определения и определение понятый
Петя Шариков пришел из школьных невесты.
— Ты почему такой хмурый сегодня? — спросила его старшая сестра Таня.— Или двойку принес?
— Угу,— ответил Петя.— По истории.
— Новости! — сказал Таня.— Но ты ведь учета готовился?
— Готовился. И вообше, этот материал я знаю лучше многих в классе: средние века. Уйму книг перечитал об этом.
— Так за что же тебе двойку-то влепил?
— Понятия не имею! Вызывает меня Иван Миронович и говорит: «А сейчас Шариков нам определит понятие “федализм”». Я подумал — чего ему понадобилось? Определить — это ведь значит “найти”…
— Ясное дело! — вступил в разговор младший брат Пети Коля.— Нам сегодня на математике задали задачу, там надо было определить площадь поля. Значит — найти.
— Ну вот, я так и подумал.
И стал искать на карте страны, где был федализм. Чувствую, что-то не то. А учитель говорит: «Садись, Шариков, ничего-то ты не знаешь!» И поставил двойку!
— Эх ты,— посочувствовала Таня.— Нeyжели ты не понялашь, что “определить” — это значит “дать определение”?
— Спасибо, пожсила. «Учиться — занимается ученем.» «Гулять — занимается гуляньем.» А если я спросу у тебя, что значит “дать определение”, ты скажешь “определить”?
— Нет, я так не скажу! — замо-tала головой Таня.
— А я знаю,— снова вмешался в разговор младший Шариков.— Мы как раз сейчас по русскому языку проходим: определение — это второстепенный член предложения, отвечающий на вопрос: какой? какая? какие? Например: плоха я оценка.
— Выходит, по-твоему, учитель хотел узнать от меня, как кой бывают федализм? Что означает — какой? Хороший, плоской, отсталый, мрачный, неправедливый? Да мало ли можно придумать определений! И все они будут правильными?
— А помнишь, Петя, позавчера по телнику была передача “Человек и закон”, и там народный суд вынес “частное определение”,— вспомнил вдруг Коля.
51
Да, знаю, это когда пишут на работу кому-то, кто виноват, но кого не осудили. А вот я еще вспомнил: наша классная руководительница сказала, что каждому ученику в школьном саду надо определить участок работы… Значит, в этом случае, выделить, что ли?
А я помню, папа рассказывал о том, как начал работать на заводе и ему определили оклад 120 рублей. Здесь “определенли” значит — установили? Назначили? Странное слово! Сколко значений, и все разные! ЧERO же хотел учитель от тебя?
Таня сказала:
— Разве вы забили, что слово может иметь много значений? Между прочим, Петюня, среди всех значений слова “определение” ты не назвал еще одного, а именно: «Определенение — это предложение, сообщающее, что означает данное понятие.» А ведь именно этого хотел от тебя учитель. Он хотел, чтобы ты сказал, что ознакомет понятие “федодализм”! А чтобы ты знал, как это надо делать, тебе прежде всего надо знать, что такое “понятие”. Знаешь ли ты это?
— О понятии — не имею никакого понятия,— составил Петя.
— Шутки в сторону. Дело в том, что слово “понятие” в русском языке тоже имеет разные значения, что видно даже из твоей острыты. Итак, что же такое “понятие”?
Оба Шарикова задумались. Младший сопел, старший вздыхал, но сказать что-либо никто не решился.
— Смотрите,— сказала Таня и быстро нарисовала три разных треугольника.
— Что это такое?
— Треугольник!
— А это?
— И это — треугольник.
— А это?
— И это — треугольник.
— Вопрос, мальчики: почему одним словом “треугольник” вы называете такие разные вещи? Bed и размеры у них — разные. И цвет — различный. И вообше они мало похожи друг на друге!
— Как “почему”! — закричали оба в голос. — Ясно дело! Потому, что все они — треугольники!
— Не ясно. Почему же они треугольники-то?
— Да потому, что у них три угла! — сказал Коля.
— Образованные замкнутой ломаной линей из трех отрезков,— добавил Петя.
— Молоды! Проследим за вашей мыслью. Вы мысленно отбросили у множества предметов все несущественные признаки и оставили, на ваш взгляд, самый существенный! Вот так и возникает ПОНЯТИЕ! У целого класса предметов, даже может быть, у бесконечного их множество, отбрасываются несущественные признаки, оставляется один признак — самый общий и самый существенный! И обратите внимание. В данном случае возникает понятие о треугольнике “вообше”, хотя в природа не существует “треугольника вообше”: каждый нарисованный треугольник неповторим! Так вот, друзья мои, заполните раз и насегдадка: любая наука начинается именно тогда, когда в ней возникают по ня тия, а не конкретные предметы.
— Для чего же hayке так уж нужны “понятия”? Не понимаю.
— Не понимаешь? А ты представь на миг, что в геометрии нет понятой, и мы имеем дело с конкретными предметами. Ты знаешь, что сумма углов в треугольнике равна 180°?
— Кто же этого не знает!
— Так вот,— сказала Таня.— У тебя есть конкретный треугольник — деревянный или металлический. Ты прикладываешь к его углам транспортир и убеждаешься: так и есть, в сумме углов составляют 180°. Но это — у твоей, конкретного. А у другого, другой формы?
— Снова измерю!
— А у нового… у тысячного? У миллионного? Ты затратшь на эти изменения всю жизнь и все равно ничего не доказешь. Можешь ли ты быть уверен, что для миллион первого эта сумма будет такой же? Нет, пока твое предположение не будет доказано м. Когда вы в классе на уроке геометрии доказали эту теорему, вы ведь в своем дока-
52
зательские опирались не на конкретный треугольник, нарисованный на доске мелом! Вы доказали эту теорему, опираясь на свойства понятия треугольника, и тем самым доказали ее для каждой из представителей этого понятия! Вот, браты мои, для чего нужны понятия в науке. Они попросту экономят человека и время, и силы. Впрочем “экономят” — это не то слово. Именно они делают науку возможной. Был такой великий ученый — Анри Пуанкаре. Его спросили: «Что такое математика?» и он ответил: «Математика — это искусство называть одним и тем же словом разные, на первый взгляд, вещи.»
— Искусство!
— Да, причем понятия есть не только в математике. В любой науке есть свой круг понятный. А овладеть этим кругом понятный и помогает “определение”.
— А как это определение помогает овладеть понятями? — спросил Петя.
— Весьма просто, мальчики. Пример из той же геометрии. Что такое квадрат?
— Квадрат? Ромб, у которого все углы прямы.
— Спасибо, Шариков Петр. Вот ты и произнес определение квадрата. Ну, а что же такое — ромб?
— Парааллографм, у которого все стороны конгрузенты.
— И снова — определение, на сея раз ромба. А теперь проследим, как ты это сделал. Сперва ты сказал: «Квадрат — это ромб», то есть свел понятие квадрата к понятию ромба. Квадрат есть частный случай ромба, так как каждой квадрат — ромб, но не каждой ромб — квадрат. Если первое понятие есть частный случай второго, то оно называется видовым для второго, а второе — родовым для первого!
— Я это знаю! Потому что и вботанике есть роды и виды.
— Совершенно верно! Но продолжим наши геометрические рассуждения. Во втором определении родым понятием стал парааллографм, а ромб для него видовым, то есть и здесь ты продолжал ту же операцию: свел видовое понятие к родовому.
Но это еще не все! Ведь ты не просто указыл родовое понятие. Ты отметил, какой именно частный случай родового представляется собой видовое понятие. Квадрат — не просто парааллографм, а парааллографм с конструктивными сторонами. Вывод? Влюбом определении нового понятия продельывают две операции: вовервых, мы указываем близжайшее родовое понятие, известное ранее, а во-вторых, сообщаем — каким именно частным случай родового понятия является наше новое понятие*).
— Ну, Татьяна, ты — голова! — сказал Петя Шариков своей системе. — Ловко ты владеешь этим искусством!
— Я еще только учись, мальчики,— скромно сказала Таня, первоокурсница университета.
— А почему ты сказала «ближайшее родовое понятие?» Как это понять?
— Потому что, скажем, для квадрата родым будет не только ромб, но и парааллографм, и четырехугольник, и фигура, но тогда определение станет более громоздким. Например: квадрат называется парааллографм с прямыми углами и конструктивными сторонами. Чем дальше родовое понятие, тем больше видовых отличий придает перечислять — это просто неэкономно! А теперь потребируйтесь-ка, мальчики! Вот вам несколько фраз. Являются ли они определениями? «Тигр — это животное.»
— Нет, это — не определение,— сказал Петя.— Здесь все сведено к родовому понятию, но не указано, какой частный случай.
— Верно. А это: «Евклид — знаменитый древнегреческий математик, автор “Начал”.»?
— Да!—воскликнул мальчики.
— Увы, нет,— сказала Таня.— Определение может быть dado только по ня ти ю, а не конкретноому объекту, хотя бы человеку. А вот еще фраза: «Бегемот — это гиппополотам.»
*) Первокурсница Таня еще не знает, что не все определения укладываются в эту схему — см., например, «Квант», 1978, № 6, с. 33. (Прим. ред.)
53
— Нет. Здесь понятие заменено синонимом, но не сведено к родовому.
— Ну, кажется мне, вы все поняли. Тогда скажите: всяку ли понятию может быть дано определение?
Петя задумался:
— По-видимому, нет, Ведь, давая определение, мы сводим понятие к другому, родовому для него. В свою очередь, для этого родового существует свое родовое. И так далее, и так далее. Если идти все данные по цепочке определений, мы будем переходить к все более общим понятиям, каждое из которых будет выражаться каким-то словом в языке. Если предложить, что эта цепочка определений продолжается без конца, получится, что в языке бесконечного много слов! Но это не так. Значит, где-то насжет остановка.
— Да, ты рассудил оригинально! Ты сейчасdal, я бы сказал, языковое решение общеначной проблемы. Но дело здесь не столько в ограниченности языка, сколько в существовании самых общих понятий. Вернемся к примеру с квадратом. Мы ведь затронули пока только два звена в цепочке определений. Но ведь можно пойти и дальше. Что такое “параллелограмм”?
— Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
— Идя дальше, можно получить “фигуру”, “ломаную”, “отрезок”, “прямую” и, наконец, “точку”. Здесь мы вынуждены оставиться! Прямая и точка — самые общие понятия в геометрии. Родовых понятий для них не существует. Поэтому им нельзя дать определение!
— Странно! Такие простые и наглудные понятия, а определения дать нельзя. Танюша, а как математики узнали, что нельзя? Как сам Евклид до этого допумался?
— А Евклид, кстати, попытался это сделать. В своих “Началах” он написал «Точка есть то, что не имеет размеров» и «Прямая — линяя, которая одинаково ориентирован по отношению ко всем своим точкам.» Евклид явно считал эти фразы определениями.
— Погоди-ка. А чем же они — не определения?
— Давайте разберемся. Первая фраза нежорша уже тем, что “то” — это не родовое понятие для точки.
— Ну, хорошо. А может быть попробуем усвоершенствовать, предложил Петя. — Почему нельзя сказать: «Точка — это фигура, не имеющая размеров»?
— Потому что сама “фигура” определяется как “множество точек”. Но что же такое те точки? И второе: “отсутствие точки” ведь тоже не имеет размеров! Так что все это весы туманно. А по поводу второго “определения” — прямой — Феликс Клейн, немецкий математик, писал: «Смысл его совершенню темен. Например, под него подойдут и окружность, и винтовая линия.»
— И все же мне кажется, что можно придумать определение прямой, — сказал Петя.
— Попытая! Но должна сказать — до тебя это пытаюсь сделать в течение веков много математики. И все их услия оказались тщетными. Потому-то точка и прямая считаются самых общими понятиями.
— Вот с этим-то я и не согласен. Ведь “прямая” — частный случай линии, не так ли?
— Верно. Итак, начинай свое определение: «Прямая — это линяя, которая обладает свойством прямизны. Нет, пожалуйста, это не хорошо — само это “свойство прямизны” звучит как самое общее понятие.
— Разумеется.
— Но погоди, я еще не сделы. А почему нельзя сказать: прямая — это линяя, расстояние между двумя любыми точками которой короче, чем длина участка любой другой линии, проходящей через же две точки?
— А что такое расстояние?
— Расстояние — это длина отрезка, соединяющего две точки.
— А что такое отрезок?
— Отрезок — это… это часть прямой. Ага, я понял. «А что такое (Окончание см. на c. 56)»
56
функция отрицательна на некотором интервале правее точки 0 (почему?). Но при больших (как говорят математики, «на плоскостености») . Значит, где-то правее точки 0 многочлен (непрерывная функция!) имеет корень . Так как функция нечетна, . Итак, многочлен имеет корни , образующиеарифметическую прогрессию. Значит,арифметическую прогрессию образуют и корни данного многочлена .
Итак, условие « нечетна и », то есть
равносключно существование трех корней, образующихарифметическую прогрессию.
Понятие определения и определение понятей
(Начало см. на с. 50)
эта пряма?》 Сказка про белого бычка! Но вот тебе еще одно определение. Попробуй-ка придаться: «Прямая — это линия, обладающая тем свойством, что если помещить на нее зрачок глаза, то она будет представлять глаза точкой.»
Таня заместясь:
— Видшь ли, твое “определение” предполагает, что свет распространяется прямолинейно — иначе ты мог увидеть и другие точки. Но что такое прямолинейно? По прямой! И мы опять топчем на месте.
— Д-да, все это очень интересно. Я все-tаки еще попыталось подумать. Но почему учитель нам никогда не рассказывают об всех этих вещех? Ведь все это несложно понять!
— Каких учитель ты имеешь в виду?
— Разумеется, по математике.
— Но разве материал об определениях и понятиях относится только к математике? Это вопросы общеначного характера. В любой науке есть свои родовые и видовые понятия. Поэтому все это нельзя отнести к какому-нибудь одному школьному предмету! Этот материал относится к философии, к тому ее разделу, где изучается научное знание.
— Вот здорово! — сказал Коля. — Теперь и мы — философы, знаем, как строится любая наука.
— О нет, мальчики, до такого знания нам с вами еще далеко. Понятие и определения — важные элементы науки, но не самое главное, что в ней есть.
— А что главное? Доказательства?
— Нет. Главное — идеи, утверждения.
— А что это такое? Расскажи, Тань!
— Об этом, мальчики, в другой раз. Заговорилась я с вами, опасдаю на lekцию! Подумайте над сегодняшим разговором. Понятие в “понятия-определения”, как в “казаки-разбойники”! Дело стоящее, уверяю вас.