Решения задач М731—М738; Ф743—Ф747

36

nal problem to propose for publication, please send it to us in two copies (including the solution) in an envelope inscribed “NEW PROBLEM IN PHYSICS (MATHEMATICS)”.

=0,0075 C, $p_{tr} = 4.58$ mm Hg, the specific heat of evaporation is $r = 595.8$ cal/g and the specific heat of melting is $\lambda = 79.7$ cal/g. Find the specific heat of sublimation (the direct passage from solid to gas) of water at the triple point.

V. Davydov

P775. A high precision multi-range ammeter has a separate scale for each range of measurement. The ammeter is plugged into a network at range 10 mA and registers a current of $I_1 = 2.95$ mA; when it is switched over to the 3 mA range, it shows $I_2 = 2.90$ mA. What was the current in the network before the ammeter was plugged in?

A. Zilberman

P776. A small tea-kettle is filled with warm water ($t_1 = 30^\circ\text{C}$). The kettle cools by 1 degree in time $\tau = 5$ min. To keep the water warm, hot water ($t_2 = 45^\circ\text{C}$) is added to it drop by drop. The mass of one drop is $m_d = 0.2$ g. How many drops per minute are required to keep the temperature at $30^\circ\text{C}$? By how many degrees will the water warm up in one minute, if the frequency of dripping is tripled? Assume that the water temperature evens out very quickly. The extra water drips out of the kettle’s nose. The kettle contains 0.3 litres of water. The surrounding air temperature is $t_0 = 20^\circ\text{C}$.

A. Zilberman

P777. A pulley is suspended by a weightless unstretchable string; the length of the vertical parts of the string is $l$ (see figure Pис. 4). Find the period of small oscillations of the system in the plane perpendicular to the pulley’s axis.

W. Ilyin

Решения задач

M731 — M738; Ф743 — Ф747

M731. Двое церают в такую церру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9 и т. д.; вызрывает тот, у кого впервые получится произведение большие a) тышчи; б) миллиона. Кто вызрывает при правильной церре — начинающий или его партнер?

a) Задча решения разбором с конца (рис. 1). Если в конце концов один из игроков $I$ предложит другому игроку — наозем его $B$ — любое из чисел от 112 до 999, то игрок $B$ выигрывает (умножением на 9). Следовательно, если $B$ предложит своему партнеру $I$ любое из чисел от 56 до 111, то у $I$ получится не менее 112 (далее он умножит только на 2) и не более 999 (далее он умножит на 9), и игрок $B$ будет обеспечен выигрыш. Тепер ясно, что если $I$ называет любое из чисел от 7 до 55, то $B$ может попасть в выгодный ему промежуток [56; 111]. Наконец, чтобы $I$ обязаτεло попал в этот роковой для него промежуток [7; 55], игрок $B$ достаточно называть на первом шаг любое из чисел 4, 5, 6. Итак, начинающий при правильной церре выигрыш.

6. Этот случай может быть разобрано примерно так же — «с конца». Оdnako мы приведем общее решение, позволяющее оценить ситуацию при игре не только до 1000 или до 1000 000, но и до любого числа. С этой целью «прологарифмируем» условия игры. Игра, можно считать, начинается с того, что первый игрок получает число 1 и умножает его на любое из чисел 2, 3, …, 9. Перейдем к логарифмам: начинающий имеет число $lg 1 = 0$ и может прибавить к нему любое из чисел $a_1 = lg 2$, $a_2 = lg 3$, …, $a_8 = lg 9$. Затем партнер прибавляет к результату любое из чисел $a_1$, $a_2$, …, $a_8$, затем начинающий и т. д. Выигрыет тот, кто первый доберется до числа $lg 1 000 000 = 6$. Тепер можно сформировать более общие

39

значит, что точка $M$ лежит на прямой $C_1D_1$. Но по условию при двух различных положениях точки $K$ точка $M$ попадает на сторону $CD$, поэтому отрезок $C_1D_1$ совпадает с $[CD]$. Попутно мы получаем, что диагонали $AC$ и $BD$ параллельны сторонам вписанных прямогольников.

Найдем периметр прямогольника $KLMN$:
$$p = 2(|KL| + |KN|) = 2((1-t)|AC| + t|BD|),$$
следовательно, $p$ — линейная функция от $t$. Отсюда, как и в пункте $a$), заключаем, что $p = 10$ при всех положениях точки $K$. В частности, при $K = A$ получаем, что $p = p(0) = 2|AC| = 10$, а при $K = B$, что $p = p(1) = 2|BD| = 10$. Легко доказать, что площадь четырехугольника равна $\frac{1}{2}|AC| \cdot |BD| \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между его diагоналями.

В нашем случае diагонали перpendикularны, поэтому $S_{ABCD} = \frac{25}{2}$.

Второе решение. Четырехугольник $ABCD$ с вписанным в него прямогольниками $KLMN$ и $K_1L_1M_1N_1$ можно рассматривать как проекцию тетраэдра $ABCD$ и двух его сечений (см. рис. 3). В самом деле, приnodимем прямогольник $K_1L_1M_1N_1$ над плоскостью чертежа так, чтобы его стороны остались параллельными сторонам прямогольника $KLMN$. Четыре плоскости, проведенные через соответствие стороны «приподнято» прямогольника и прямогольника $KLMN$, ограничивают тетраэдр $ABCD$. Выполним параллельную проекцию, при которой «приподнятый» прямогольник переходит в $K_1L_1M_1N_1$. Тогда тетраэдр спроектируется в четырехугольнике, описанной околданных прямогольников, то есть в исходный четырехугольник $ABCD$.

Грани $ABC$ и $ADC$ tetraэдра проходят через параллельные отрезки $KL$ и $MN$ и пересекаются по ребру $AC$. Поэтому оно параллельно этим отрезкам и, следовательно, плоскости чертежа. Отсюда вытекает, что любая его параллельная проекция на эту плоскость, в частности diагональ $AC$ четырехугольника $ABCD$, равна и параллельна ребру $AC$. Аналогично любая проекция ребра $BD$, в частности diагональ $BD$ четырехугольника $ABCD$, равна и параллельна ребру $BD$. Теперь спроектируется tetraэдр $ABCD$ на плоскость чертежа по-другому — параллельно ребру $CD$. Проекции точки $C$ и $D$ совпадают, и мы получим прямогольный треугольник $ABC$, в котором вписаны два прямогольника перimetра 10 (см. рис. 4). При этом катаеты $AC$ и $BC$ этого треугольника равны и параллельны diагональ $AC$ и $BD$ исходного четырехугольника. Любому прямогольнику, вписанному в $\triangle ABC$ так, как показано на рисунке 4, отвечает некоторое сочетание тетраэдра и некоторый прямогольник, вписанный в четырехугольнике $M735$ в этом номере журнала.

В. Дубровский, А. Егоров

◆
a) Ответ: $m = 1, 2, 4, 6, 8$. Доказательство будет приведено в решении пункта в).

6. Первое решение. Пусть $c_k = a^k - 1$. Разложим $c_k$ на множители при $k = 2^n$:
   $$c_k = a^{2n} - 1 = (a^{2n-1} - 1)(a^{2n-1} + 1) = (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) \dots (a^{2n-1} + 1).$$
   Если $a$ нечетно, то в этом произведении $n + 1$ четных сомножителей, и поэтому $c_k$ делится на $2^{n+1}$. Итак, при всех $k = 2^n$, где $n - 1 \geq m$, число $c_k$ делится на $2^m$.

Второе решение. Расмотрим остатки, которые

40

Дайот числа $c_1, c_2, c_3, \dots (c_k=a^k-1)$ при делении на $2^m$.
Число различных остатков конечного, поэтому средние чисел $c_k$ найдется два, скажем $c_n$ и $c_l$ ($n>l$), дающие при делении на $2^m$ одинаковые остатки. Их разность крата $2^m$, а так как $c_n-c_l=a^n-a^l=a^{n-l}-1=a^l\cdot c_{n-l}$ и $a$ нечетно, на $2^m$ делится $c_{n-l}$. Из формулы для разности вытекает также, что вместе с $c_{n-l}$ на $2^m$ делятся и все члены бесконечной последовательности $c_{n-l}, c_{2(n-l)}, c_{3(n-l)}, \dots$.

Мы рекомендуем читателю доказать, что вообщество всех чисел $c_k$, делящихся на $2^m$, имеет вид $\{c_r, c_{2r}, \dots, c_{i.r}, \dots\}$, где $r=2^l$, $t\leq m$.

В) Обозначим через $d(N)$ показатель наиболее степеней двойки, на котором делится целое число $N$. Пусть $d(m)=n$, тогда $m=2^n\cdot s$, где $s$ нечетно. Поскольку $c_m=a^{2n}\cdot s-1=(a^{2n}-1)(a^{2n(s-1)}+a^{2n(s-2)}+\dots+1)$, а сумма во второй скобке нечетна, $d(c_m)=d(a^{2n}-1)$. Заметим теперь, что сомножители вида $a^{2l}+1$ в разложении (1) при $l\geqslant 1$ делятся на 2 и не делятся на 4 (в самом деле, число $a$ нечетно, поэтому $a^{2l}$ — квадрат нечетного числа и дает при делении на 4 остаток 1). Отсюда следует, что $d(c_m)=d(a^2-1)+n-1$ при $n\geqslant 1$; если же $n=0$, то $d(c_m)=d(a-1)$.

Для делимости $c_m$ на $2^m$ необходимо, чтобы выполнялось неравенство $d(c_m)\geqslant m$, то есть $d(a-1)\geqslant m$ при $m$ нечетном и $d(a^2-1)+n-1\geqslant m=2^n\cdot s$ при $m$ — четном. Первое неравенство выполняется лишь для конечного количество чисел $m$, а второе неравенство приводится к виду

$$s \leq \frac{d(a^2-1)+n-1}{2^n}.$$

Так как права часть этого неравенства стремится к 0 при $n\rightarrow\infty$, оно может выполнять лишь для конечного множества пар $(n;s)$ при любом фиксированном $a$.

Возвращаясь к пункту a), положим $a=31$. Искомые числа $m$ удовлетворяют неравенству $m\leqslant d(31-1)=d(30)=1$, если $m$ нечетно, и неравенству $s\leqslant(d(31^2-1)+n-1)/2^n$, если $m=2^n\cdot s$, где $n\geqslant 1$, $s$ — нечетно. Первое неравенство дает $m=1$. Второе приводится к виду $s\leqslant(5+n)/2^n$, поскольку $d(31^2-1)=d(30\cdot 32)=6$. Отсюда получаем возможность пары $(n;s)$: это $(1;1), (1;3), (2;1)$ и $(3;1)$, то есть $m=2, 4, 6, 8$.

В. Прасолов

M734. Биссертиса уела А треугольника ABC пересекает описанную вокруг нео окружность в точке K. Доказите, что длина проекции отрезка AK на прямую AB (или AC) равна получме длине сторон AB и AC.

Пусть для определения $|AB| \leqslant |AC|$. На стороне AC рассмотрим точку P, симметрично B относительно прямой AK (см. рисунок). Очевидно, $|AP|=|AB|, |PK|=|BK|$. Из равенства углов BAK и CAK вытекает равенство дуг BK и CK, на которые они опираются, а из равенства дуг следует равенство стягивающих их хорд BK и CK. Таким образом, $|CK|=|BK|=|PK|$, и поэтому проекция K’ точки K на сторону AC является серединой отрезка CP. Следовательно,

$$|AK'|=|AP|+|PK'|=|AB|+\frac{|AC|-|AB|}{2} = \frac{|AB|+|AC|}{2}.$$

А. Егоров

43

рассматривать функцию $L(\varphi)$ на отрезке $\varphi_0 \leqslant \varphi \leqslant \pi + \varphi_0$, где $L(\varphi_0) \neq L$. При этом числа $p$, $q$ и $m$ не изменятся (точки 0 и π надо считать за одну). Итак, $m$ — четное число.

Покажем, что $p = q$. Сдвинем прямую $y = L$ вверх на расстояние $\varepsilon$ (рис. 2). Если $\varepsilon$ достаточно мало, то каждой «объичной» точке пересечения графика функции $L(\varphi)$ с прямой $y = L$ будет отведать одна «объичная» точка на прямой $y = L + \varepsilon$, каждый из $q$ точек минимума как бы «раздвоится», а точки максимума исчезнут. Общее число точек пересечения графика и прямой станет равно $m + 2q$, а так как увеличится оно не может, $m + 2q \leqslant m + p + q$, то есть $q \leqslant p$. Аналогично доказывается, что $q \geqslant p$. Следовательно, $p = q$, и число $m + p + q$ четно.

в) Рассмотрим $\triangle ABC$. Пусть $c$ — его наиболее стороны, $c \geqslant b \geqslant a$ (обозначения см. на рис. 3). Примулю $l_0$ проведем перpendикулярно стороны $AB$. Направления высот треугольника $ABC$ соответствуют значения $\varphi = 0$, $\varphi = \alpha$ и $\varphi = \pi - \beta$. Поэтому на отрезке $0 \leqslant \varphi \leqslant \alpha$ проекция треугольника на прямую $l_\varphi$ совпадает с проекцией стороны $BC$, то есть $L(\varphi) = L_a(\varphi) = a \left| \cos \left( \varphi - \left( \frac{\pi}{2} - \beta \right) \right) \right|$, на отрезке $[\alpha; \pi - \beta]$ — с проекцией стороны $AB: L(\varphi) = L_c(\varphi) = c \left| \cos \varphi \right|$, а на отрезке $[\pi - \beta; \pi]$ — с проекцией стороны $AC: L(\varphi) = L_b(\varphi) = b \left| \cos \left( \varphi - \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \right) \right|$.

Если треугольник — тупоугольный или прямогоольный, то $\alpha + \beta = \pi - \gamma \leqslant \frac{\pi}{2}$, поэтому, как легко проверить, точки максимума функции $L_a(\varphi)$ и $L_b(\varphi) - \frac{\pi}{2} - \beta$ и $\frac{\pi}{2} + \alpha$ попадают на отрезок $[\alpha; \pi - \beta]$, на котором $L(\varphi) = L_c(\varphi)$. В этом случае функция $L(\varphi)$ сначала возвращает на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ от $h_c$ до $c$, а затем убивает от $c$ до $h_c$ (рис. 4).

Каждеое значение она принимает не более двух раз. Если $\triangle ABC$ — остроугольный, то $a + \beta > \frac{\pi}{2}$, и максимумы функции $L_a(\varphi)$ и $L_b(\varphi)$ попадают внутри отрезков $[0; \alpha]$ и $[\pi - \beta; \pi]$. Поэтому функция $L(\varphi)$ имеет три максимумы и шесть промежутков монотности (рис. 5). Поскольку $h_c \leqslant h_b < a \leqslant b \leqslant c$, любое значение из интервала $h_b; a$ [функция $L(\varphi)$ принимает не менее четырех раз — на первых трех и последнем промежутках монотности (см. рис. 5). Заметим еще, что если $h_a < a$, то любое значение из интервала $h_a; a$ [принимается шесть раз — по разу на каждом промежутке монотности функции $L(\varphi)$.

В. Прасолов

◆ Камень, брошенный с минимальной начальной скоростью $v_0$, достаточно, чтобы камень перелетел через стену, описывает траекторию такую, как показано на рис. В точках А и В траектория касается кромок стены; скорость $v$ камня в точке А составляет угол $\alpha = 45^\circ$ с горизонтом. Время $t$, в течение которого камень летит от точки А до точки В, определяется условиям
$$v_y = v \sin \alpha = gt/2 \Rightarrow t = 2v (\sin \alpha)/g.$$

Величина скорости $v$ связана с тупоугольным стенем $l$ соответствием
$$l = v_x t = 2v \cos \alpha \cdot v (\sin \alpha)/g = v^2/g \Rightarrow v = \sqrt{gl}.$$

Связь между $v_0$ и $v$ найдет из закона сохранения энергии:
$$\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2} + mgH,$$
откуда
$$v_0 = \sqrt{v^2 + 2g(H - h)} = \sqrt{g(l + 2H - 2h)}.$$

О. Савченко

44

Ф744. Космический аппарат представляет собой жесткую тонкостенную сферу радиуса $R=2$ м, наполненную газом. Внутри аппарата находится шар радиуса $r=R/2$, наполненный тем же газом, что и восьмой аппарат, но при большем давлении. Шар касается внутренней поверхности аппарата. В результате повреждения шар лопнул. Начити, во сколько раз изменилось давление внутри аппарата, если оказалось, что восьмой аппарат при этом сметлися на расстояние $a=0,5$ м. Массой оболочек претенбрежь; температур считать неизмененной.

При изменениях, произходящих внутри аппарата, положение центра масс (ц. м.) аппарата не меняется.

В начальной моментц. м. аппарата определяется какц. м. системы «шар с плотностью $\varrho_1$ + шар с плотностью $\varrho_2$ — $\varrho_1$», где $\varrho_1$ — плотность газа, заполняющего сферу радиуса $R$, $\varrho_2$ — плотность газа, заполняющего шар радиуса $R/2$.

После того как лопнул шар,ц. м. аппарата определяется какц. м. сферы радиуса $R$, заполненной газом с плотностью $\varrho$, где $\varrho$ — плотность газа в сфере после повреждения шара.

Тот факт, что после повреждения шара весь аппарат сметлися на расстояние $a$, означает, чтоц. м. аппарата с цельным шаром находится на расстояние $a$ от центра сферы (см. рисунок). Из этого условия найдем соответствие между $\varrho_1$ и $\varrho_2$:

$$\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho_1 a g = \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} \left( \frac{R}{2} - a \right) g \Rightarrow \frac{\varrho_2}{\varrho_1} = \frac{R+14a}{R-2a}.$$

Плотность газа в аппарате, после того как лопнул шар, определяется условием

$$\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho_1 + \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} \left( \varrho_2 - \varrho_1 \right) = \frac{4}{3} \pi R^3 \varrho \Rightarrow \varrho = \frac{7}{8} \varrho_1 + \frac{1}{8} \varrho_2.$$

Давление $p$ газа в аппарате после повреждения шара может быть найдено из условия $\frac{p}{p_1} = \frac{\varrho}{\varrho_1}$, где $p_1$ — начальное давление газа внутри тонкостенной сферы.

Таким образом,

$$\frac{p}{p_1} = \frac{\varrho}{\varrho_1} = \frac{7}{8} + \frac{1}{8} \frac{\varrho_2}{\varrho_1} = \frac{R}{R-2a} = 2,$$

то есть давление газа внутри аппарата увеличилось в 2 раза.

А. Буздин

Ф745. Теллоизолированный сокуд разделен на две части теллоизолированным поршнем, который может перемещаться в сосуда без трения. В левой части сокуда содержится 1 molль идеального одноатомного газа, в правой — вакуум. Поршень содержит с правой стеккой сокуда пружиной, длина которой в свободном состоянии равна длине сокуда. Пренебрегая теллоемкость сокуда, поршня и пружины, определять теллоемкость системы.

Пусть $T_1$ — начальная температура газа под поршнем, $T_2$ — температура газа после того, как система сообщено телло ΔQ. Поскольку тренение отсутствует и сосуд теллоизолирован, все телло ΔQ идет на изменение ΔU внутри энергии системы, то есть ΔQ = ΔU. Изменение внутри энергии системы складывается из изменения внутри энергии газа и изменения потенциальной энергии скалярных (теллоемкость сокуда, поршня и пружины пренебрегаем).

Внутренняя энергия одного моля одноатомного идеального газа при нагревании от температуры $T_1$ до температуры $T_2$ увеличивается на

$$\Delta U_1 = \frac{3}{2} R \left( T_2 - T_1 \right).$$

Потенциальная энергия скалярных изменяется на величины

$$\Delta U_2 = \frac{k}{2} \left( x_2^2 - x_1^2 \right),$$

где $x_1$ и $x_2$ — значения абсолотной деформации пружины при температуре газа $T_1$ и $T_2$ соответствующего. Найдем связь между параметрами газа под поршнем и деформацией пружины.

Из условия равновесия поршня следует, что

$$p = \frac{F}{s} = \frac{kx}{s} \Rightarrow x = \frac{ps}{k}$$

(p — давление газа, s — площадь поршня, k — упругость пружины). Согласно закону Менделеева — Клапейрона для 1 molля одноатомного газа выполняется соответствие соответствующей системе сокуд.

45

$$pV = RT \Rightarrow p = RT/V.$$
При деформации пружины $x$ объем, занимаемый газом под поршнем, равен $V = xs$ и $p = RT/xs$. Подставляя это выражение в (*), находим

$$x^2 = RT/k.$$

Таким образом, изменение потенциальной энергии скатой пружины при нагревании системы равно

$$\Delta U_2 = \frac{R}{2} (T_2 - T_1).$$

Полное изменение внутренней энергии системы при нагревании от температуры $T_1$ до температуры $T_2$ равно

$$\Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 2R (T_2 - T_1),$$

и тепломкость системы равна

$$c = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = \frac{\Delta U}{T_2 - T_1} = 2R.$$

Б. Клячиин

Ф746. Электрическая батарея, используя β-радиоактивность, представляет собой металлический сферу, внутри которого помещен изолированный от нее кусочек радиоактивного вещества (рис. 1). Ежескундно распадаются ватомов. Считая, что энергия электровов, образующая при распаде, равноверной распределена от минимального значения $W_{\min}$ до максимального $W_{\max}$, определять ЭДС батареи. Какой наиболее ток может давать такая батарея? До каких сопротивлений наружки батарею можно считать генератором тока?

Рис. 1.

Рис. 2.

Пусть клеммы батареи замкнуты на нагрузку, и напряжение на клеммах равно $U$. Найдем ток, текущий через нагрузку, то есть установим волт-амперную характеристику батареи.

Do сферы должныот электроны с энергий $W \geq eU$. В Staционарном режиме (при постоянном $U$) заряд сферы остается неизменным. Следовательно, число электронов, попадающих ежескундно на сферу, равно числу электронов, возвращающийся за это же время через нагрузку к кусочку радиоактивного вещества.

При $eU \leq W_{\min}$ все электроны должныот сферы, переносимый им в единицу времени заряд и есть максимальный ток, который может давать такая батарея, то есть

$$I_{\max} = ev.$$

При большем напряжении, когда $W_{\min} < eU < W_{\max}$, на сферу попадают только те электроны, энергия которых $W \geq eU$; эти электроны и определяют ток, текущий через нагрузку (остальные электроны возвращаются в центр сферы, мину нагрузку). Доля этих электронов от общего числа электронов, вылетающих из кусочка радиоактивного вещества, равна

$$n = \frac{W_{\max} - eU}{W_{\max} - W_{\min}}$$

(ввиду равномерного распределения электронов по энергии). Ток, текущий при этом через нагрузку, равен

$$I = evn = ev \frac{W_{\max} - eU}{W_{\max} - W_{\min}}.$$

Нибольшее напряжение $U_{\max}$ на разомкнутых клеммах батареи (ЭДС батареи) определяется условием

$$eU_{\max} = W_{\max} \Rightarrow U_{\max} = W_{\max}/e.$$

Как только это напряжение достигают, заряд сферы и кусочка радиоактивного вещества перестают меняться.

При рисунке 2 приведена зависимость тока от напряжения. На этом же графике изображены волт-амперные характеристики наружки с сопротивлением $R$ (при различных значениях $R$). Ordinаты и абсциссы точек пересечения графиков дают значения тока и напряжения в цепи при данном значении $R$. При

$$R \leq R_0 = W_{\min}/e^2 v$$

tok остается постоянным независимо от сопротивления наружки. При таких сопротивлениях батарею можно считать генератором тока.

И. Воробьев