Задачи М761—М765; Ф773—Ф777

33

Задачи

М761 — М765; Ф773 — Ф777

М761. Через произвольную точку $P$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ параллельно его медианам $AK$ и $CL$ проведены прямые, пересекающие стороны $BC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно (рис. 1). Докажите, что медианы $AK$ и $CL$ делят отрезок $EF$ на три одинаковые части.

Э. Готман

М762. Докажите, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполнены неравенства

$$a + b + c \leq \frac{a^2 + b^2}{2c} + \frac{b^2 + c^2}{2a} + \frac{c^2 + a^2}{2b} \leq \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}.$$

М763*. Дан параллелограмм $ABCD$, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой $AB$ относительно диагонали $AC$, пересекает в точке $Q$ прямую, симметричную прямой $DC$ относительно диагонали $DB$ (рис. 2). Найдите относение $|QA|:|QD|$, если известно относение $|AC|:|BD| = k$.

В. Дубровский

М764*. Докажите, что каждое из уравнений a) $x^2 + y^3 = z^5$; b) $x^2 + y^3 + z^5 = t^7$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

О. Мазуров

М765. Пусть $B$ — конечное множество точки на плоскости, не принадлежащих одной прямой. a) Докажите, что найдется три точки множество $B$ также, что проходящая через них окружность не содержит внутри себя других множеств $B$.

б) * Изовем триангуляцией множества $B$ сеейство треугольников с множеством вершин $B$, не налегающих друг на друга и в обедининии дюших выпуклый многоугольник (triangulция множества $B$ можно получить, соединяя его точки непересекающимся отрезками, пока это возможно). Докажите, что для любого $B$ существует такая triangulция, что окружность, описанная около любого треугольника этой triangulции, не содержит внутри себя множеств $B$. Укажите способ построения

34

ния такой триангуляции.
в) * Докажите, что если никакие точки множества $B$ не лежат на одной окружности, то описанная в пункте 6) триангуляция единственна.

Ф. Вайштейн

Ф773.*) На шероховатой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ лежит тело, к которой привязана легкая нерястяжная нить. Свободный конец нити пропущен через маленькое отверстие в плоскости. В начальной момент тело лежит на плоскости так, что нить горизонтальная (рис. 3). Нить начинают медленно вытягировать; при этом тело к моменту достижения отверстия описывает половину окружности. Найти величины коэффициента трения тела о плоскость. (10)

Ф774. Для многохвостев существуют такие значения температуры $T_{\text{tr}}$ и давления $p_{\text{tr}}$, при которых все три фазы вещества — газообразная, жидкая и твердая — находятся в равновесии друг с другом — так называемая тройная точка. Для воды $T_{\text{tr}} = 0,0075^{\circ}\text{C}$, $p_{\text{tr}} = 4,58$ мм рт. ст; удельная температура парообразования в тройной точке равна $r = 595,8$ кал/г, удельная температура плавления — $\lambda = 79,7$ кал/г. Найти удельную темперацию (примого перехода из твердого состояния в газообразное) воды в близи тройной точки.

В. Давыдов

Ф775. Многопредельный амператор высокой точности содержит для каждой предела измененный отделный шутт. Амператор включает в себя на пределе 10 мА, и он показывает силу тока $I_1 = 2,95$ мА; когда его переключили на предел 3 мА, он показал $I_2 = 2,90$ мА. Какова была сила тока в цепи до подключения амператора? (9)

А. Зильберман

Ф776. В небольший чайник налита доверху тепляя вода ($t_1 = 30^{\circ}\text{C}$). Чайник оставает на 1 градус за время $\tau = 5$ мин. Для того чтобы чайник не остыл, в него капают горячего воды ($t_2 = 45^{\circ}\text{C}$). Масса одной капли $m_k = 0,2$ г. Сколько капель в минуту должны капать в чайник, чтобы температура поддерживалась равной $30^{\circ}\text{C}$? На сколько градусов поддерживается вода за одну минуту, если начать капать второе чашце?

Считать, что температура воды в чайнике выравнивается очень быстро. Лишняя вода выливается из носика. В чайник входит 0,3 литра воды. Temperatura окружащего воздуха $t_0 = 20^{\circ}\text{C}$. (8)

А. Зильберман