Как определить объём кита, плавающего у берегов Гренландии

«Квант» улыбается

Как определить объем кита, плавающего у берегов Гренландии?
Такая задача была предложена командам школьников на IV Московском турнире юных физиков. Команда школьных № 91 представила 91 решение. Часть из них представляет внимание читателей.

Во всех решениях плотность кита принимается равной плотности воды, откуда
$$V_{\text{кита}} = M_{\text{кита}} / \rho_{\text{H}_2}\text{O}.$$

«Пружина»
Берем пружину заданной жесткости $k$. Прикрепляем к ней КИТА. Измеряем период колебаний $T$. Тогда масса КИТА равна
$$M_{\text{кита}} = \frac{T^2 k}{4\pi^2}.$$
Отсюда находится и его объем.

«Подсадная утка»
В Доме игрушки закупается надувной игрушечный КИТ. Он надавается, при этом изменяется его объем. Затем он доставляется к берегам Гренландии и отпускается плавать. Так как в условиях задачи не оговорено, какой именно КИТ имеет в виду, то этот КИТ удовлетворяет условиям. Объем его известен заранее.

«Масштабы»
В задаче № 1 (см. с. 57) требовалось изменить параметры галактики. После этого легко видеть, что объемом КИТА по сравнению с объемом галактики можно пренебречь.

«Луна»
КИТ, как всякое тело, обладающее массой, действует на Луну с силой
$$F = \gamma \frac{M_{\text{кита}} \cdot M_{\text{Луны}}}{R^2},$$
где $R$ — расстояние от КИТА до Луны (известно). Остается изменить силу $F$ по изменению орбиты Луны под действием КИТА.

«Генциально простой метод»
КИТА нужно взвести. Положить на весы и ВЗВЕСИТ!
Потом запросо находимся его объем.

«Очень простой метод»
Надо изменить КИТА сантиметром!

62

Поль Дирак
и задача
о трех рыбаках
(Начало см. на с. 30)

Отсюда видно, что числа $N_k$ будут целыми при $k=0, 1, 2$ и 3 тогда и только тогда, когда число $N+2$ делится на $3^3=27$. Поэтому $N=−2+27n$, где $n$ — любое целое число. Число $N_3$, а значит, и $N_k$ при $k≤3$, будет неотрицательным, если $n≥1$. В частности, наименьшее неотрицательное решение $N_{\min}=25$ получается при $n=1$, а при $n=0$ получается решение Дирака $N=−2$. Ин-
ответы, указания, решения

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 8)

1. Заметим, что в задаче не сказано что дороге — конфеты или пряники. Поэтому нужно исследовать два случая. Обозначим количество денег у Вадика через $x$ копеек, тогда всего у ребят будет $3x$ копеек. Из утверждения Вадика следует, что пряник стоит $(6x−2):8$ копеек, а из утверждения Кости следует, что конфета стоит $(3x−3):6$ копеек. Если конфета дороге пряника, то $(3x−3):6=(6x−2):8+2,$ откуда $x=7$ копеек; если же предположить, что конфета дешевле пряника на 2 копейки, то $(3x−3):6=(6x−2):8−2,$ откуда $x=−9$ копеек, что невозможно. Таким образом, у Вадика осталось 7, а у Кости 14 копеек.

2. Ответ: 250 см². Действительно, сливутое стекло пересекается с неподвижным по прямоугольнику размерами 10 см × 25 см. Если закрыть окно, то этот прямоугольник исчезнет, то есть открыта часть окна покрытия площадью этого прямоугольника (см. рис. 1).

3. Поставьте сосуд на вершину $A$ (рис. 2, а) и начните наливать в него воду. Наливая ее, добавьте, чтобы поверхность воды был треугольник $A_1BD$ (см. рис. 2, а). Легко посчитать, что в этот момент вода займет $\frac{1}{6}$ объема сосуда. Затем, не пропивая воду, поставьте сосуд на ребро $AD$ (рис. 2, б). Поворачивая куб, добавьте, чтобы поверхность воды проходила через ребро $BC$ (см. рис. 2, б). Отметьте на ребре $AA_1$ точку $X$ пересечения с поверхностью воды. Тогда $|AX|=\frac{1}{3}|AA_1|$ (почему?).

Теперь, поставив сосуд на основание $ABCD$, должны.body до отметки $X$.

4. Ребята стоит в таком порядке: Олег, Юра, Володя, Миша, Саша.

В чем разница?
(см. «Квант» № 8)

При $\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}-1)l$. В задаче 1 область определенная функция $S_1(x)=\frac{|CD|}{2l}x(l-x)$ – интегровал $]0; l[$, в задаче 2 область определенная функция $S_2(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}x(l-x)$ – полученвал

63

Рис. 3.

$$\frac{\sqrt{3}}{2} (\sqrt{3}-1) l; l$$
функция $S_2$ принимает наиболее значение при $x = \frac{\sqrt{3}}{2} (\sqrt{3}-1) l$ (рис. 3). При $0 < x < \frac{\sqrt{3}}{2} (\sqrt{3}-1) l$ используются треугольника не существует!

Почему так?
(см. «Квант» № 8)

Потому что для конуса за площадь боковой поверхности необходимо принять предель отношения приращения объема конуса к приращению «боковой высоты» $h$ (см. рис. 4),

Рис. 4.

а не к приращению радиуса основания $R$, то есть произвольную функцию $V(h)$ по $h$.

Поскольку $R = \frac{h}{\sin \alpha}$ и $H = \frac{h}{\cos \alpha}$,

$$V(h) = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{h^3}{\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha}.$$

Значит,

$$S = \pi \cdot \frac{h^2}{\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha}$$

Так как $L = \frac{H}{\sin \alpha} = \frac{h}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}$,

$$S = \pi R L.$$

Шахматная страница
(см. «Квант» № 6)

Задание 11 (Э. Закон, 1953 г.) 1. Кра1! Кph1 (проигрывает 1…Кр:h3 2. Фел Кph2 3. Фh4+

Задание наших читателей
(см. «Квант» № 7, с. 60)

В $k$-м столбце рассматривается таблицы строят числа $k + 9n$ ($n = 0, 1, 2, \dots$), то есть числа, дающие при делении на 9 остаток $k$. Поскольку $(k + 9n)^2 = k^2 + 9(2nk + 9n^2)$, квадраты всех этих чисел также дают один и тот же остаток при делении на 9 и потому стоит в одном столбце.

Пусть дано произвольное число $a = a_1 + 10a_2 + 100a_3 + \dots$. Обозначим сумму его цифр через $\Sigma(a)$, тогда $\Sigma(a) = a_1 + a_2 + a_3 + \dots = a - 9(a_2 + 11a_3 + \dots)$, поэтому числа $a$ и $\Sigma(a)$ дают одинаковые остатки при делении на 9 и значит, стоит в одном столбце.

После первого возведения в квадрат произвольного числа $a$ из $k$-го столбца и сложения цифр результата мы получим число $\Sigma(a^2)$, остаток которого при делении на 9 равен:

$$k = 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9$$

$$\Sigma(a^2) = 1 \ 4 \ 9 \ 7 \ 7 \ 9 \ 13 \ 10 \ 9.$$

При повторении этих операций число из 1-го, 3-го, 6-го, 8-го или 9-го столбца остается в этом же столбце; числа из 4-го переходит в 7-й и обратно; из 2-го и 5-го в 7-й, затем в 4-й, опять 7-й и т. д.

Покажем, что после достаточно числа повторенной результат станет меньше 27. Если $a - m$-значное число, то $a \geqslant 10^{m-1}$. С другой стороны, число $a^2$ имеет в этом случае не более 2$m$ значков; следовательно, $\Sigma(a^2) \leqslant 9 \cdot 2m = 18m$. Но $10^{m-1} > 18m$ при $m \geqslant 3$ (доказатель), поэтому, если $a$ записьается не менее, чем третья знаками, $\Sigma(a^2) < a$. Значит, повторяя наши операции, мы можем уменьшать число, пока оно не станет двумя значениями. Далее, для любого двух чисел $a$ имеем $\Sigma(a^2) \leqslant 18 \cdot 2 = 36$, а квадрат любого числа $a \leqslant 36$ не превыходит $36^2 = 1296$, поэтому для суммы его цифр имеем $\Sigma(a^2) < \Sigma(999) = 27$ (999 — не квадрат).

Теперь остается рассмотреть числа, меньше 27. Для 1-го и 8-го столбцов это 19, 10 и 1: $\Sigma(19^2) = 10$, $\Sigma(10^2) = 1$, а 1 порождает последовательность 1, 1, 1 … Для 3-го, 6-го и 9-го столбцов — это 18 и 9: $\Sigma(18^2) = 9$, $\Sigma(9^2) = 9$, которые порождают последовательность 9, 81, 9, … Для 4-го столбца — это 22 и 13: $\Sigma(22^2) = 16$, $\Sigma(16^2) = 13$, $\Sigma(13^2) = 16$, которые порождают последовательность 13, 169, 16, 256, 13, … Для 2-го, 5-го и 7-го столбцов также та же последовательность. Для сравнения советучит читателю решить задачу № 2 из книги Г. Штейнгузза «Сто задач» (М., «Нука», 1976).

64

Четвертая страница обложки
(см. «Квант» № 7)
Ответы показны на рисунках.

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: М. Н. Данилычева, В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев
Редакционная коллекция: Л. Г. Асламазов, М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. В. Васильев, С. М. Воронин, Б. В. Гнеденко, В. Л. Гутенмахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, А. И. Климанов, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Михайлов, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. Б. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант
Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Б. В. Буховцев, Е. П. Велихов, И. Я. Верченko, Б. В. Воздиженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. Б. Иванов, Л. В. Канторович, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева, А. В. Перышкин, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. Виленкин, В. Дубровский, А. Егоров, И. Клумова, Т. Петрова, А. Сосинский, В. Тихомирова, Ю. Шиханович

Номер оформили:
Л. Денисенко, М. Дубах, Г. Красников, Н. Кузьмин, С. Лухин, Э. Назаров, И. Смирнова

Заведующая редактор Л. Чернова

Художственный редактор Т. Макарова

Корректор Н. Дорохова

103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32Л,
«Квант», тел. 250-31-73

Сдано в набор 17.7.82. Подписано в печать 26.8.82
Печать офсетная
Бумага 70×1081/16. Физ. печ. 4
Усл. печ. л. 5,60 Уч.-изд. л. 6,91 Т-16733
Цена 40 коп. Заказ 1798 Тираж 175 634 экз.

Ордена Трудового Красного Заменения
Чеховский полигraphический комбинат
ВО «Соозлолигraphром»
Государственное комитета СССР
по делам издаательств, полигraphии
и книжной торговли
г. Чехов Московской области