Поль Дирак и задача о трёх рыбаках

31

Веряятно, именно этот эпизод из богатой творческими победами жизни Поля Дирака способствовал возникновению одной легенды, уже много лет кончшей в разных вариантах по научно-популярным книжкам.

Расссказывалот, что в юности ему попалас такая задача: Три рыбака занимались ловлей рыбы в темную ночь. Устав, они улепись спать, не поделив улова. На рассвете один из них проснулся и, не желая тревожить товарищей, поделил рыбу на три равные части; взяв свою часть, он уехал домой. При деление у него одна рыбка оказалась лишней и он ее выборил в море. Затем проснулся второй. Не зная, что первый уже уехал со своей долей, он тоже разделил рыбу на три части, odну из которых забрал себе, и уехал, а оказавшуюся и у него лишней рыбину он, как первый, выбросил в море. Наконеч, проснулся третий рыбак. Не зная о том, что проделали первые два, он поступил, как они, то есть разделил рыбу на три части, забрал себе треть, а оставшуюся и у него рыбну выборил в море, после чего уехал домой. Спрашивается, сколько всего рыбью выловлено?

Ответ (приписьаемый Дираку): «Было выловлено… минут две рыбы». Легко проверить, что формально все правильно. Первый рыбак, обнаружив всего минут (!) две рыбы, одну рыбу выбрасывает и из оставшихся (-3) рыб частно берет одну треть. В точности то же самое проделают второй и третий рыбаки, каждый из которых тоже унеSETровно минут рыбу. И хотя, по собственному свидетельству знаменито физика, это решение ему сообщил профессор математики Дж. Уайтхед из Оксфорда*), понять авторов «легенды о Дираке и отрицательных рыбах» можно. Трудно найти более простой и изящный пример, который бы так же хорошо иллюстрировал деревость идеи и вверу в «непостыжную эффективность математики в естественных науках» (как выразился другой новелевский луреат — американский физик Ю. Вигнер) — качества, столп присущие современной физике и физикам.

Но задача о рыбаках любитьна и сама по себе. Давайте попробуем ее решить. Переведем условия на языке уравнения. Пусть $N = N_0$ — количество всей выловленной рыбы, $N_1$ — количество рыбы, оставшейся после первого деления, $N_2$ — после второго, $N_3$ — после третьего. Тогда, очевидно, $N_1 = \frac{2}{3}(N_0 - 1)$ и, вообще, при $k = 0, 1, 2$
$$N_{k+1} = \frac{2}{3}(N_k - 1).$$

Требуется найти такое целое число $N$, чтобы и числа $N_1, N_2$ и $N_3$ были целыми. Потребуем к тому же, чтобы все они были неотрицательными. Далее при этом ограничения задача, размещается, имеет бесконечную много решений. Мы постараемся вывести общую формулу для числа $N$.

Откажемся пока от условия неотрицательности (!). Заметим, что задача допускает решение, причем только одно, при котором все $N_k$ равны одному и тому же числу $D$. Из (1) для числа $D$ получается уравнение $D = \frac{2}{3}(D - 1)$, откуда $D = -2$. Это «решение Дирака». Пусть теперь $(N_k)$ — произвольная последовательность, удовлетворяющая соотношению (1). Расмотрим разность $N'_k$ двух решений задачи — $N_k$ и решения Дирака: $N'_k = N_k - D = N_k + 2$. Поскольку

$$N'_{k+1} = N_{k+1} - D = \frac{2}{3}(N_k - 1) - \frac{2}{3}(D - 1) = \frac{2}{3}(N_k - D) = \frac{2}{3}N'_k,$$

последовательность $(N'_k)$ является геометрической прогрессей со значением $\frac{2}{3}$. Следовательно,

$$N_k = N'_k - 2 = \left(\frac{2}{3}\right)^k N'_0 - 2 = \left(\frac{2}{3}\right)^k (N + 2) - 2.$$

(Окончание см. на с. 62)