Почему не уменьшится сопротивление

10

Почему не уменьшится сопротивление

Кандидат физико-mатематических наук
О. В. ЛЯШКО

Хотя в этой статье решается чисто физическая задача, перед вам — стать по математике. Для ее понимания не требуется серверных знаний по физике; статьи не ставит себе цель подробно описать как целлюлоб глубокие физические явления. Как часто бывают в приложениях математической науки, здесь строится математическая модель рассматриваемой ситуации иводится математической аппарат, применение которого дает простое решение исходной задачи, а также позволяет ответить на многие другие вопросы, не только по физике — но и по экономике и геометрии.

Рассмотрим электрическую цель, состоящую из резисторов, и изменим общее сопротивление $R$ цепи между двумя ее точками $A$ и $B$. Предположим теперь, что один из резисторов сторел и его сопротивление возросло*). Вновь изменим сопротивление $R$ между $A$ и $B$. Как вы думаете, может ли тогда оказаться, что сопротивление $R$ 1) увеличилось? 2) осталось неизменным? 3) уменьшилось?

1. Ясно, что сопротивление увеличится может. Например, если цель состоит из одного или нескольких последовательно соединенных resistоров, то общее сопротивление цепи равно сумме входящих в цепь сопротивления; поэтому — увеличилось одно из слагаемых, возвращет и сумма (рис. 1).

2. Чуть подумав, вы, наверное, суммете привести пример, когда общее сопротивление не меняется. Две также цепи показаны на рисунке 2. В обеих цепях увеличение сопротивления $R_0$ не изменяет общего сопротивления (продумайте, почему).

3. А вот попытки привести пример, когда общее сопротивление уменьшается, не приводят к успеху. Так может ли это быть?

— Конечно, нет, — правильно ответит здравомыслящий читатель (так, во всяком случае, ответают все мои знаками). Но на вопрос почему этого не может быть, точно ответа от них мне не довелось услышать. Это не удивительно. Ответ на этот вопрос, то есть строое математическое доказательство того, что при увеличении одного из сопротивлений любой резисторной цепи ее общее сопротивление уменьш-

11

шиться не может, совсем не прост. Он основан на одном глубоком принципе, который можно назвать принципом минимального действия).

Суть его в следующем: многое физическое процессы происходит таким образом, что некоторые величины принимает минимальное значение. Так, например, мыльная пленка, натянутая на проволочный контур в пространстве, выбирает из всех возможных формуту ту, при которой ее площадь минимальная. Луч света в среде с переменным показателем преломления из всех возможных траекторий выбирает ту, при которой время его путешествия минимально («приицип Ферма»). Должная капля, стекающая вниз с выпуклой горы, выбирает тот путь между данными уровнями, чья длина наименьшая и т. п.

Поэтому, чтобы решить соответствующее задачу (найти форму пленки, или траекторию луча, или путь капли), нужно найти минимум соответствующей функции (площади, или времени, или длины). Вот здесь, конечно, и нужна математика: математическая формулировка приципа минимального математического приемы для его использования.

Я думаю, читатель будет интересно не столько установление самого факта, сколько эти приемы и приципы. Впрочем, любопытный читатель, наверное, уже сейчас задаст себе такой вопрос: как это можно дать «строгое математическое доказательство» факта (в данном случае физического), не имеющего к математике никакого от-

Рис. 3.

ношения? Попробуем, забегая вперед, сначала наметить ответ на этот вопрос.

Когда математик береется за решение прикладной задачи, он обычно начинает с построения ее математической модели. Для этого он должен выделить нужные для описания задачи основные понятия и отбросить те стороны явления, которые не существены для ее решения. В результате возникнет абстрактное описание задачи, в котором реализуется и является заменены на математические абстрактции (точки, линии, числа, функции), а законы, которые подчиены эти явления, выражаются в виде уравнений. Так, наша электрическая цепь превращится в «натруженный граф», сопротивления станут числами, закон Ома и правила Кирхгофа запишутся в виде «основной системы уравнений». Мы забудем, что изоляция проводов сравота из пластмассы желтого цвета, что проводники и резисторы сделаны из каких-то металлов, что ток — «это бегущие электроны»: все это для нас станет одинаково несущественным. Но я, наверное, слишком забежал вперед. Обо всем по порядку.

Натруженный граф (или электрическая цепь)

Сопоставим каждой электрической цепи натруженный граф, то есть конечную совокупность точек плоскости или пространства (их называют вершинами) и некоторых набор соединяющих точки друг (ребра графа), на которых написаны числа (натружeki ребер). Например, электрическим цепям на рисунке 2 сопоставляются графы, показанные на рисунке 3; более сложный пример графа показан на рисунке 4.

Вершины перенумерем числами от 1 до n; вершину с номером i будем обозначать ⟨i⟩. Мы будем рассматри-

13

в первую вершину $\langle 1 \rangle$, $\varphi_1 - \varphi_n$ — это разность потенциалов на входе и выходе, стало быть, по закону Ома, $R$ — общее сопротивление цепи.

Существование гармоничного потенциала (или расчет резисторной цепи)

Математические задача расчета резисторной цепи, поставленной под напряжение, состоит в следующем. Дан граф Г с нагрузками $R_{ij}$ и выбранны значения потенциала $\varphi_1, \varphi_n$ на входе и выходе; требуется найти гармоничный потенциал с этим данными значениями на входе и выходе, то есть решить основную систему (1) относительно неизвестных $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ при данных $\varphi_1, \varphi_n$.

Физики знают из практики, что первого правила Кирхгофа (то есть системы (1)) хватет для расчет любых резисторных цепей. Математикам, конечно, этого мало — им нужна соответствующая общая теорема. И она есть:

Теорема 1. Для любого графа Г с положительным нагрузкам $R_{ij}$ и любыми значениями потенциала $\varphi_1, \varphi_n$ на входе и выходе существует гармоничный потенциал $\varphi$.

Я не привожу прямого доказательства теоремы по двум принимам. Вопросы, оно нам в дальнейшем не потребуется. Во-вторых, для строого доказательства нужны некоторые понятия из «линейной алгебры», дисциплины, не изучаемой в обычной средней школе. Идея же доказательства состоит в том, что у основной системы всего $n-2$ неизвестных $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ и столько же (линейных) уравнений, притом эти уравнения неависимы, и потому имеют единственное решение.

Уражения

1. Найдите другое доказательство теоремы 1, опирающееся на основную теорему (см. с. 14).

2. Проверьте, что в случае графов $2,a$ и $2,6$ ток действительное нечетet по ребрам с сопротивлением $R_0$ (то есть разность потенциалов на концах этих ребра равна нулю).

3. Докажите в общем случае, что при $\varphi_1 = \varphi_n$ общий ток (см. формулу 2)) равен нулю.

4. Составьте основную систему уравнений для графа на рисунке 4 и прикиньте, сколько нужно времени для ее решения вручную. Если вы имеете программировать, подумайте, как подключить к этой задаче компьютер.

5. Удвойте одно из сопротивлений на графе $2,a$ и сосчитайте, на сколько уведомится его общее сопротивление.

6. Докажите, что из уравнения (1), (2) и закона Ома следует (2).

Для любого нагруженного графа (электрической цепи) Г с вершинами $\langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \dots, \langle n \rangle$ и положительных нагрузками (сопротивлениями) $R_{ij}$ на ребрах мы знаем, что можно считать гармоничный потенциал $\varphi$ этого графа, то есть для произвольных значений потенциала $\varphi_1, \varphi_n$ на входе и выходе находить остальные значения $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ потенциала, решая систему уравнения (1). Далее, подставляя полученные значения потенциала в соответствии (2), мы можем найти общее сопротивление цепи $R$. Для конкретизации цепи всегда можно также обозначить, уменышилось ли общее сопротивление при уведомлении одного из $R_{ij}$ или нет. Но нам этого мало — мы хотим доказать общий факт, установить, что при уведомлении одного сопротивления общее сопротивление никака не уменышается, неависимо от конкретиного выбора цепи.

К сожалению, доказать этот факт не посредством из уравнения (1) и формулы (2) не удалось (!). Как говорится — нужна идея!

Квадратная функция (или тепловая мощность цепи)

Эту идею нам подсказет не математическая интуция, а один из тех принципов минимального, о котором шла речь в начале статьи: направление в резисторной электрической цепи распределяется согласно таким принципу. Оказывается, так «ленивый»: из всех возможных вариантов поведения он выбрает тот, при котором его энергетическая затрата (мощность, выделяющаяся на проводниках электрической цепи) минимальны. Номним, что при прохождения по проводнику с сопротивлением $R_{ij}$

14

така $I_{ij}$, соответствующего разности потенциалов $U_{ij} = \varphi_i - \varphi_j$, на проведение $\langle i, j \rangle$ выделяется тепловая мощность (то есть количество теплла за единицу времени), равная $q_{ij} = R_{ij} I_{ij}^2 = U_{ij} I_{ij} = U_{ij}^2 / R_{ij}$, а на всей цепи—мощность $Q = \Sigma q_{ij}$, где сумма берется по всем ребрам $\langle i, j \rangle$ нашего графа. Общая мощность $Q$ зависит от значений потенциалов $\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n$; поэтому общую мощность мы будем записать в виде $Q[\varphi]$.

Таким образом, мы ввели в рассмотрение функции

$$Q[\varphi] = \Sigma q_{ij}, \quad \text{где } q_{ij} = \frac{(\varphi_i - \varphi_j)^2}{R_{ij}},$$

которую мы будем называть квадратной. (Сумма в выражении (3) берется по всем ребрам $\langle i, j \rangle$ нашего графа.)

Подчеркием, что с математической точки зрения мы просто должны определение некоторой функции $Q$ на множество всех потенциалов $\varphi$ графа $\Gamma$ и (исходя из физических соображений) интересемся ее минимумом.

Квадратная функция $Q$ сама зависит не от числовой переменной, а от другой функции — потенциала $\varphi$. Такие «функции от функции» математики называют функциональными. Поиск их экстремумов — одна из важных задач варцационного исчисления, заменительной ветви математики, зародившейся еще в работах Я. Бернулли, Эйлера и Лагранжа.

Уражение 7. Выпишите квадратную функцию $Q$ для графа на рисунке 4. Подумайте, есть ли у вас методы для поиска его минимума.

Указание. Функция $Q$ зависит от $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{11} (= \varphi_{n-1})$, то есть от нескольких переменных. В школе изучают только методы поиска экстремумов функций от одной переменной, поэтому поиск минимума $Q$ — пока недоступная для вас задача.

Минимальный принцип (или приципи наименьшего действия)

Наша близкая цель — найти минимум квадратной функции $Q$. Но есть ли у нее минимум? Начнем с ответа на этот вопрос. Наш читатель, конечное же, угадал, что ответ — положительный (это тоже «физические оценки»). Те, кто готов принять на веру это утверждение, могут пропустить доказательство следующего теоремы.

Теорема 2. Для функции $Q$ существует набор значений переменных $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-1}$, при котором она достигает минимального значения.

Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем считать, что $\varphi_1 \geqslant \varphi_n$. Обозначим через $M$ множество значений переменных $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-1}$, удовлетворяющих условиям $\varphi_1 \geqslant \varphi_i \geqslant \varphi_n$ при всех $i$. Расмотрим какой-нибудь набор значений ($\varphi_2', \dots, \varphi_{n-1}$) $M$ и построим по нему новый набор значений ($\varphi_2'', \dots, \varphi_{n-1}$) $M$, заменив все значения, больше чем $\varphi_1$, на $\varphi_1$, и все значения, меньше $\varphi_n$, на $\varphi_n$. При этом, как легко видеть, значение функции $Q$ уменьшится:

$$Q(\varphi_2', \dots, \varphi_{n-1}) \leqslant Q(\varphi_2', \dots, \varphi_n).$$

Таким образом, наименьшее значение $Q$ на множество значений $Q$ на всем множестве потенциалов. Настоящее соглашение на теорему Вейерштрасса из анализа, которая утвердает, что непрерывная функция ($Q$) на замкнутом ограниченном множестве ($M$) достигает своего минимального значения. (Эту теорему в школе не проходят: точное obяснение понятный непрерывности, замкнутости и ограниченности, использующая в ней, завершение нас слишком далего, так что мы не станем здесь этим заниматься.)

Доказательство — типичное для математической «теоремы существования» — не дает нам ни способа найти интерсуцию нас минимум, ни способа как-либо описать его. Однако следует теорема, выражющая минимальный принцип для нашей ситуации, характеризует исключый минимум.

Основная теорема. Потенциал, на котором достигается минимное значение функции $Q$, — гармоничческий.

Доказательство. Пусть $\varphi^0$ — потенциал, на котором достигается минимшее значение. Нам нужно доказать, что числа $\varphi_1^0, \varphi_2^0, \varphi_3^0, \dots, \varphi_{n-1}^0, \varphi_n^0$, где $\varphi_1^0 = \varphi_1, \varphi_n^0 = \varphi_n$, являются решением системы уравнений (1). Зафиксируем все переменные, кроме одного — $\varphi_j$. Тогда функция

$$Q(\varphi_2^0, \dots, \varphi_{j-1}^0, \varphi_j, \varphi_j^0+1, \varphi_j^0-1)$$

одной переменной $\varphi_j$ также достигает минимума при $\varphi_j = \varphi_j^0$.

Эта функция является квадратным трехлелем по $\varphi_j$: $Q = a\varphi_j^2 + b\varphi_j + c$, причем коэффициенты $a$ и $b$ лежат выше, раскрывая скобки в выражении (3):

$$a = \sum \frac{1}{R_{ij}}, \quad b = -2\sum \frac{\varphi_i^0}{R_{ij}}$$

(здесь суммы берется по всем $i$, для которых $\langle i \rangle \in S_j$).

Так как минимум функции $a\varphi_j^2 + b\varphi_j + c$ ($a > 0$) достигается в точке $\varphi_j^0$, которая удовлетворяет уравнению $a\varphi_j^0 + b/2 = 0$, мы получим, подставляя в него выражения для коэффициентов $a$ и $b$,

15

Σφ₁ᵢ/Rᵢᵢ — Σφ₁ᵢ/Rᵢᵢ = Σ(φ₁ᵢ−φ₁ᵢ)/Rᵢᵢ = 0.
Таким образом, φ₁ᵢ, φ₂ᵢ, …, φₙᵢ−1, φₙᵢ — решение системы (1), что и требовалось доказать.

И, наконец, последний вопрос, на котором мы ответим: чем равно минимальное значение функции Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — удивительная значительная функция Q. Как чему? — ошибка сопротивления электрической цепи.

Доказательство. Пусть φ₂, …, φₙ−1 — набор чисел, на котором доступа минимум функции Q. Тогда, по основной теореме, — это решение системы уравнения (1). Следовательно, нам нужно показать, что (φ₁−φₙ)²/R = (φ₁−φₙ)I равно выражению

Σ(φ₁−φₙ)Iᵢᵢ (сумма по всем ребрам〈ij〉), где величины токов I и Iᵢᵢ подчиняются первому правилу Кирхгофа (1), (2). Раскроем скобки в (1) и вычислим коэффициент при φ₁. Значение потенциальа φ₁ умножается на величины всех токов Iᵢᵢ, проходящих по ребрам〈i, j〉, выходящим из вершины〈i〉 (если номер j меньше номера i, то φ₁ умножается на −Iᵢᵢ=Iᵢᵢ). Поэтому коэффициент при φ₁ равен

ΣIᵢᵢ (сумма по〈j〉 ∈ Sᵢᵢ)
и, значит, равен нулю для всех i≠1, n, из (1). Коэффициенты при φ₁ и φₙ равны соответствению I и −I из (2) и (2′), следовательно, суммиру по всем ребрам,

Σ(φ₁−φₙ)Iᵢᵢ = φ₁·I + φₙ(-I) = (φ₁−φₙ)I.

Решение исходной задачи

Пусть мы уведомили одно (или неоторные) из сопротивления ребер: Rᵢᵢ′ ≥ Rᵢᵢ. Тогда для функции Q = Σ(φ₁−φₙ)²/Rᵢᵢ′ и Q′ = Σ(φ₁−φₙ)²/Rᵢᵢ′ (суммирование по всем ребрам〈ij〉 нашего графа) справедливо неравенство Q′[φ] ≤ Q[φ] для любого потенциальа φ, с данными φ₁ и φ₂ на входе и выходе. Очевидно, что это неравенство справедливо и для их минимальных значений:

min Q′ = (φ₁−φₙ)²/R′ ≤ min Q = (φ₁−φₙ)²/R′,
а значит R′ ≤ R′, что и требовалось доказать.

Другие примения
нашей математической модели

А стоит ли игра свеч? — может спросить читатель. Нужно ли развоить такой математической формулиzm ради задачи, которая и так физически очень интересна?

Matематические модели создаются не только для того, чтобы математикам было удобнее работать. Отбрасывая конкретную спецификацию прикладной задачи, часто приходит к модели, которые оказываются применными к совсем другим задачам, из совсем других областей человекаской деятельности. Исследование таких модели позволяет, образно говоря, одним камнем убить много зайцев.

Здесь мы ограничимся перечислением некоторых ситуаций, в которых наш аппарат нагруженных графов (или его модификации) успешно работает.

1. Сеть из резинок на прямой. В системе из n точек на прямой неокотые пары соединены резинками известной жесткости; концевые точки растягиваются (к ним прикладываются известные силы); требуется определить положение равновесия точки.

2. Второе правило Кирхгофа и формула Эйлера. Это правило (см. с. 27 в этом номере) также удобно применять при расчете электрических цепей. Оказывается, что соответствующая математическая теория связана с формулой Эйлера B−P+Γ=1, где B, P, Γ числа вершин, ребер и области, ограниченных плоским графом.

3. Транспортные потоки. Плокский граф может изображать сеть дорог (авналиней, железных дорог) между городами, нагрузки — определенные стороны перевозок между соседними городами; требуется найти минимальное по стоимости распределение транспортировки потоков. Интересно, что на практике такие экономические задачи решаются моделированием транспортировки сети с помощью электрической сети: оператор вводит данные о количестве транспортировного товара и о стоимости перевозок, ставит себе под напряжение и считывает ответ с соответствующим амператором!

4. Совершенные прямолинники. Так называются прямолинники, которые можно разить на конечное число квадратов разных размеров. Как это ни странно, все совершенные прямолинники находятся построением и расчетом некоторых нагруженных графов!

Этот список можно было бы продолжить, но к этим вопросам «Квант» надеется в скором времени вернуть.