Избранные школьные задачи

34

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Сколькими нулями оказается число, равное произведению всех натуральных чисел от 1 до 1984 включительно?
2. Докажите, что для любых чисел $a, b, c$ выполено неравенство
   $$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca.$$
3. Некоторые простейший организм размножается делением на два организма, которое произходит по истечении одной минуты. В пустую пробирку помещили один экземпляр только что возникшего организма и начали отсчет времени; через 1 час пробирка заполнили организами до краев. В какой момент времени было заполнен организами полробирки?
4. На плоскости лежат прямая и две точки $A, B$, расположенные по одному сторону от этой прямой. Указите на прямой точку $M$, такую, что сумма расстояний $AM + MB$ является наименьшей из всех возможных.
5. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанием трапеции. Вычислите длину отрезка этой прямой, заключенного между боковым сторонами трапеции, если основания трапеции имеют длину $a$ и $b$.

Девятый класс
6. Докажите, что число $\log_4 18$ является инрациональным.

7. Нарисуйте график функции $y = \text{tg} x \cdot \text{ctg} x$.
8. Решите уравнение sin $x + \sin 2x + \dots + \sin nx = n$, где $n \in N, n > 1$.
9. Обязательно ли равны между собой два плоских острых угла, расположенные в пространстве так, что их стороны соответствуют перпендикулярны?
10. Сколько может существовать в пространстве скрещивающихся прямых, любые две из которых взаимно перпендикулярны?

Десять класс
11. Можно ли найти 1984 подряд идущих натуральных числа, таких, что среди них нет ни одного простого числа?
12. Вычислите, чем равна разность $2^{\log_3 5} - 5^{\log_3 2}$.
13. Решите неравенство $\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x} > 1$.
14. Четые произвольные точки $A, B, C, D$, расположенные в пространстве, соединены между собой отрезками $AB, BC, CD, DA$; середины этих отрезков обозначаем соответствующее $M, N, P, Q$. Какая получится фигура, если проведится отрезки $MN, NP, PQ, QM$?
15. Какую форму имеет тень куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали, от пучка лучей света, параллельных этой диагонали?

Публикация подготовлен
Н. Х. Розов