Задачи М901—М905; Ф913—Ф917

42

Задачи

M901—M905; Ф913—Ф917

M901. Бискетрисы AK и BM треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что если OK=OM, то либо углы A и B треугольника равны, либо угол C равен 60°.

M902. Натуральный ряд 1, 2, 3,… разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на ее разность.

A. B. Келарев

M903. Существует ли выпуклый многогранник, либо сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с a) четным, b) нечетным числом сторона?

A. A. Дороговцев

M904. Для каждой натурального числа
$$A=10^n a_n+10^{n-1} a_{n-1}+\dots+10 a_1+a_0$$
(c десятический записью $a_n a_{n-1}...a_1 a_0$) положим $D(A)=a_n+2 a_{n-1}+2^2 a_{n-2}+\dots+2^{n-1} a_1+2^n a_0$.
Например, $D(1985)=1+2 \cdot 9+2^2 \cdot 8+2^3 \cdot 5=91$, $D(91)=9+2 \cdot 1=11$, $D(11)=3$.
a) Докажите, что для любого натурального $A=A_0$ в последовательности $A_1=D(A_0)$, $A_2=D(A_1)$,… встретиется число $A^*=A_k<20$, для которого $D(A^*)=A^*$.
b) *Чему равно $A^*$ для $A=19^{85}$?

E. И. Гурвиц, А. Л. Федоров

M905. Докажите, что уравнение $4x^n+(x+1)^2=y^2$ относительно натуральных чисел x и y a) не имеет решений при n=1, 6) имеет по крайней мере два решения при n=2, в)* имеет бесконечную много решений при n=2, г)* не имеет решений для натуральных n≥3.

M. Гараев (уч. 10 класса)

Ф913. С горизонтальной поверхности земли бросили под углом α=60° к горизонту со скоростью $v_1=12$ м/с комок сырной глины. Оно временно комок вдвое большей массы бросили

43

навстречу первому под углом β=30° к горизонту, причем наальные скорости комков оказались лежащими в одной вертикальной плоскости. В результате столковения комки слиплись. Найти скорость (по модулю) упавшего на землю слипшегося комка.

В. И. Чивилёв

Ф914. В закрытом сосуда объема V=33,6 дм³ находится азот и =1 моль воды. При температуре t=100 °C давление в сосуда равно p=2·10⁵ Pa. Определить количество азота в сосуда.

С. М. Коршунов

Ф815. Жидкость с диэлектрической пропищемое ε протекает между пластинами изолированного плоского конденсатора со скоростью v. Перpendикулярно скорости $\vec{v}$ и параллельно пластинам направлено магнитное поле с индукцией B. Определить напряжение на пластинах конденсатора. Расстояние между пластинами a.

А. И. Киркинский

Ф916. В схеме, приведенной на рисунке 1 (Д — идеальный диод), ключ K замыкают на время τ, а затем размыкают. В момент размыкания сила тока в катушке индуктивности равна I₀. Через сколько времени после размыкания ключа ток Iₙ в катушке достигает максимального значения, если оно равно 2I₀? Построить график зависимости Iₙ от времени t (0<t<∞).

А. И. Киркинский, Е. А. Ромищевский

Ф917. Предмет находится между линзой и плоским зеркалом, перpendикулярным главной оптической оси линзы. Зеркало, линза и предмет заключены в кожух из светопроницаемой матовой пластмассы (рис. 2). Такая система создает два изображения предмета и изображение линзы. Оба изображения предмета имеют одинаковые размеры независимо от расстояния между линзой и предметом. С каким уведомлением изобрается линза?

Е. П. Кузнецов

Problems

M901—M905; P913—P917

M901. The bisectors AK and BM of triangle ABC intersect at the point O. Prove that OK=OM implies that either angles A and B of the triangle are congruent, or that the angle C is 60°.

M902. The natural numbers 1, 2, 3,… are partitioned into several arithmetical progressions. Prove that at least one of them has an initial term divisible by the progression’s difference.

A. V. Kelarev

M903. Does there exist a convex polyhedron every section of which by a plane not containing any