Пары чисел и действия с ними

19

Пары чисел и действия с ними

Кандидат физико-математических наук
Н. В. ВАСИЛЬЕВ,
кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

Содержание этой статьи в основном доступно ученкам сельмого класса. Однако мы рекомендуем ее также и старшеклассика. В статье речь идет о решениях уравнения с двумя переменными в целых числах. В связи с этим рассматриваются различные правила умножения пар чисел, в том числе и умножение комплексных чисел.

1. Уравнение $ax - by = c$
   в целых числах
   Рассмотрим уравнение
   $$8x - 5y = 19.$$

На примере этого уравнения мы продемонстрируем метод решения в целых числах линейных уравнений вида $ax - by = c$ с целыми $a, b$ и $c$.

Поскольку $8 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 19$, пара чисел $x = 3, y = 1$ является решением исходного уравнения. Это решение мы нашли простым подбором.

Покажем теперь, как, имея одно решение, можно записать все остальные решения (их бесконечного много). Вычитая из уравнения $8x - 5y = 19$ равенство $8 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 19$, получаем $8(x - 3) - 5(y - 1) = 0$, или $x - 3 = 5(y - 1)/8$. Из последнего равенства видно, что число $x - 3$ будет целым тогда и только тогда, когда $y - 1$ делится на 8, то есть $y - 1 = 8n$, где $n$ — какое-нибудь целое число. Подставляя $y - 1 = 8n$ в числитель дроби $5(y - 1)/8$ и сокращая ее на 8, получаем $x - 3 = 5n$.

Тем самым, все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

$$\begin{cases} x = 3 + 5n, \\ y = 1 + 8n, \end{cases}$$

или $(x/y) = \frac{3}{1} + n\frac{5}{8}$;

здеся $n$ — любое целое число.

Второй вид записи будет подробно объяснен в следующем пункте, а сейчас часетим, что тем же методом по-лучается формула для всех целых решений любого уравнения $ax - by = c$ (где $a$ и $b$ — взаимно простые числа):

$$(x/y) = \left( \frac{x_0}{y_0} \right) + n\left( \frac{b}{a} \right),$$

где $(x_0; y_0)$ — какое-нибудь одно его целое решение.

Для решения предложенных ниже задач надо иметь виду следующие остояльства. Если целые числа $a$ и $b$ имеют общие делители (кроме 1 и —1), то надо разделить все целые уравнения на их наиболее общий делитель. В случае, когда $c$ не делится на него, уравнение, очевидно, не имеет целых решений, а в случае, когда делится, такие решения существует — надо только подобрать одно какое-нибудь решение и записать по формуле (*) все остальные.

Для любых чисел $a$ и $b$ имеет общий метод нахождения одного решения уравнения: этот метод основан на алгоритме Евклида (см. [1] и [5]).

Задание и

1. Имеют ли следующие уравнения решения в целых числах: a) $7x - 5y = 0$; b) $7x - 5y = 1$; b) $15x - 9y = 6$; г) $39x - 63y = 47$?

Если уравнение имеет решения, то указывает одно из них и записите по общей формуле все его решения.

2. Сколько решений в натуральных (целых положительных) числах $x, y$ имеет уравнения: a) $19x + 85y = 1985$; b) $7x + 5y = 99$?

3*. Автомат делает на ленте длиной 2 м синине пометки от ее начала через каждые 7 см и красные пометки тоже от ее начала через каждые 5 см. Сколько раз сияя и красная пометки оказутся на расстоянии 1 см друг от друга?

2. Пары чисел

Если уравнения с одним переменным $x$ представляют собой отдельные числа, то уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ — это уже пары чисел. В предыдущем пункте мы показали, как из одного целого решения уравнения $ax - by = c$ получать все остальные решения: надо к одному его решение — паре чисел $(x_0; y_0)$ — прибавить пару чисел $(b; a)$, умноженную на какое-нибудь целое число. Сейчас мы придам точный смысл сложению пар чисел и умножению их на числа.

Для большей нагладности нам удобно пары чисел $(x; y)$ записывать в виде столбик $(x/y)$; а сами числа $x$ и $y$ будут называть соответственно первой и второй компонентами данной пары (столбика). (Не надо путь столбик $(x/y)$ с дробью $\frac{x}{y}$!)

20

Два столька считаются равными тогда и только тогда, когда равны их компоненты:

$$\binom{x_1}{y_1} = \binom{x_2}{y_2},$$

только если $\begin{cases} x_1 = x_2, \\ y_1 = y_2. \end{cases}$

Сложить два столька — это значит сложить их компоненты:

пусть $u = \binom{x_1}{y_1}, v = \binom{x_2}{y_2},$

тогда $u + v = \binom{x_1 + x_2}{y_1 + y_2}$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма чисел не меняется: $a + b = b + a$, то же самое можно сказать и про стольки: $u + v = v + u$. Для стольков верно также правило $(u + v) + w = u + (v + w)$.

Умножить стольк $u$ на число $k$ — это значит умножить на $k$ обе его компоненты:

если $u = \binom{x}{y},$ то $ku = \binom{kx}{ky}$.

Особую роль, подобную той, которую для чисел играет число 0, для стольков играет нулевой стольк $\binom{0}{0}$. Если это не приводит к путанице, то его обозначают тоже через «0». Для всякого столька $u$ верно равенство $u + 0 = u$.

Казалось бы, стол же естественно ввести умножение стольк:

$$\binom{x_1}{y_1} \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1 x_2}{y_1 y_2}.$$

Для такого умножения выполнения все те же свойства, что и для умножения чисел: 1) $uv = vu$, 2) $u(vw) = (uv)w$, 3) $(u + v)w = uw + vw$. Роль «единицы» играет стольк $e = \binom{1}{1}$.

Но в отличие от чисел, здесь не всегда возможность деление на нулевой стольк. Например, если $u = \binom{1}{0}$, то не существует столька $v$ такого, что $uv = e$.

В конце статьи мы познакомимся с другими, как оказывается, тоже естественным и более содержательным правлом умножения пар чисел:

$$\binom{x_1}{y_1} \binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1 x_2 - y_1 y_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1}.$$

Это правило заменительно тем, что для него обратная операция — деление на нулевой стольк — всегда возможна.

Пара чисел $(x; y)$, записанная не в виде столька, а в виде строчки, используется обычно для обозначения координат точки на координатной плоскости $Oxy$. Метод координат поэлеметрует связать алгебру с геометrienей. Так, например, уравнение $ax - by = c$ соответствует прямой на координатной плоскости, а целые решения этого уравнения — точкам с целыми координатами (рис. 1). С помощью правил сложения пар чисел и умножения их на число можно записывать формулы для координат точки на прямой, например, если $A = (x_1; y_1), B = (x_2; y_2)$ — две точки, то точка

$$C = \frac{1}{2} \left( (x_1; y_1) + (x_2; y_2) \right) =$$

$$= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

— середина отрезка $AB$.

Задание и
4. Данные стольки

$$u = \binom{7}{-1}, v = \binom{-2}{5}, w = \binom{1}{3}.$$

Найдите стольки: a) $2u$; b) $2u - v$; b) $u + 2v - 3w$.

5. Найдите числа $x$ и $y$, удовлетворяющие равенству

$$x \binom{-7}{-1} + y \binom{-2}{5} = \binom{1}{3}.$$

Сравните результаты с 4 в).

6. a) Пусть данные точки $A = (7; -1)$ и $B = (-2; 5)$. Найдите координаты такой точки $C = (x; y)$, что $B$ — середина отрезка $AC$. 6) Найдите координаты точки $D$ и $E$, которые делят отрезок $AB$ на три равные части.

7. Уравнение $x^2 - dy^2 = 1$ в целых числах

В первом пункте мы показали, как, исходя из одного решения уравнения $ax - by = c$, получать и записывать бесконечную серию его решения. Подобный результат мы получим и для уравнения $x^2 - dy^2 = 1$, где $d$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом. Но для этого потребуется свой, более сложный метод. Мы продемонстрируем его на примере уравнения

$$x^2 - 2y^2 = 1.$$

Это уравнение имеет очень решения (1; 0) и (-1; 0). Ясно, что если $(x; y)$ — решение уравнения, то $(-x; y), (x; -y)$ и $(-x; -y)$ — тоже решения. Поэтому можно ограничиться поиском только положительных (натуральных) решений. Вот два таких решений: (3; 2), (17; 12) — дальней в их

21

Понсках продвинутся трудно.

Неожиданную помощь здесь оказалась играющей играционнойное число $\sqrt{2}$. Пользователь тождеством $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ разложим левую часть уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$ на множители

$(x + y\sqrt{2}) (x - y\sqrt{2}) = 1$

и подставим сюда наше первое решение в натуральных числах $x = 3, y = 2$:

$(3 + 2\sqrt{2}) (3 - 2\sqrt{2}) = 1.$

Оказывается, что второе решение можно получить, если, пользователь тождеством $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, возвсти в квадрат число $3 + 2\sqrt{2}$ (или $3 - 2\sqrt{2}$):

$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2},$

$(3 - 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}.$

Пара (17; 12) является вторым решение. Проверим это следующим образом. Возведем обе части верного равенства (2) в квадрат:

$(3 + 2\sqrt{2})^2 (3 - 2\sqrt{2})^2 = 1$

и получим

$(17 + 12\sqrt{2}) (17 - 12\sqrt{2}) = 1$, или

$17^2 - 2 \cdot 12^2 = 1.$

Следующое новое решение можно получить, возвремя число $3 + 2\sqrt{2}$ в куб:

$(3 + 2\sqrt{2})^3 = (3 + 2\sqrt{2})^2 (3 + 2\sqrt{2}) = 99 + 70\sqrt{2}.$

Совершенно аналогично получим $(3 - 2\sqrt{2})^3 = 99 - 70\sqrt{2}$. Поскольку $(3 + 2\sqrt{2})^3 (3 - 2\sqrt{2})^3 = 1$, имеем $(99 + 70\sqrt{2}) (99 - 70\sqrt{2}) = 99^2 - 70^2 \cdot 2 = 1$, то есть $(99; 70)$ — тоже решение уравнения $x^2 - 2y^2 = 1.$

Теперь, наверное, уже ясен способ получения новых решений — надо и дальше возводить $3 + 2\sqrt{2}$ в степень, то есть если

$(3 + 2\sqrt{2})^n = x_n + y_n\sqrt{2},$

где $x_n$ и $y_n$ — натуральные числа, то пара $(x_n; y_n)$ является решением уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$. Можно доказать, что этот способ дает все его решения в натуральных числах.

Рассмотрим теперь более общие уравнения такого вида:

$x^2 - dy^2 = 1,$

где $d$ — натуральное число, не являющееся полным квадратом.

Оказывается, что все его решения в натуральных числах получаются таким же методом. Надугадать самое меньше его решение $(x_0; y_0)$ и возводить число $x_0 + y_0\sqrt{d}$ в степень $n$:

$(x_0 + y_0\sqrt{d})^n = x_n + y_n\sqrt{d}.$

(Смым меньшим решением называется такое решение $(x_0; y_0)$, что для любого другого решения $(x; y)$ выполняется неравенство $x_0 + y_0\sqrt{d} < x + y\sqrt{d}$.)

Для любых чисел $d$ имеет общий метод нахождения наименьшего натурального решения, основанный на разложении чисел в целые дроби (см. [1] и [2]).

Задание 1.

7*. Найдите четые решения в натуральных числах уравнения: a) $x^2 - 3y^2 = 1$; b) $x^2 - 5y^2 = 1$; b) $x^2 - 2y^2 = -1$.

8 *. Докажите, что

$x_n = \frac{1}{2} ((3 + 2\sqrt{2})^n + (3 - 2\sqrt{2})^n),$

$y_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} ((3 + 2\sqrt{2})^n - (3 - 2\sqrt{2})^n) -$

целые числа, удовлетворяющие уравнению $x^2 - 2y^2 = 1$, a) для $n = 1, 2, 3, 6$ для любого натурального $n$.

9. Найдите все целые решения уравнения $x^2 - 4y^2 = 13$.

10*. Докажите, что уравнение $x^2 - 3y^2 = -1$ не имеет решения в целых числах.

4. Числа вида $p + q\sqrt{2}$

Обратим внимание на то интересное обстоятельство, что числа вида $p + q\sqrt{2}$ с разнональными $p$ и $q$ можно естественно сопоставить пару чисел $(p; q)$. При этом равенство двух чисел $p_1 + q_1\sqrt{2} = p_2 + q_2\sqrt{2}$ имеет место в том и только в том случае, когда $\binom{p_1}{q_1} = \binom{p_2}{q_2}$.

В самом деле, пусть $p_1 + q_1\sqrt{2} = p_2 + q_2\sqrt{2}$ и $q_1 \neq q_2$; тогда получится, что $\sqrt{2}$ равеняемую числу $(p_1 - p_2)/(q_2 - q_1)$, а это неверно. Следовательно, должно выполнять равенство $q_1 = q_2$; но тогда из равенства $p_1 + q_1\sqrt{2} = p_2 + q_2\sqrt{2}$ сразу получаем, что $p_1 = p_2$.

22

Правило сложения чисел $p_1 + q_1\sqrt{2}$ и $p_2 + q_2\sqrt{2}$ такое же, как для стольников:
$$p_1 + q_1\sqrt{2} + (p_2 + q_2\sqrt{2}) = (p_1 + p_2) + (q_1 + q_2)\sqrt{2},$$
$$\binom{p_1}{q_1} + \binom{p_2}{q_2} = \binom{p_1 + p_2}{q_1 + q_2}.$$

Тепер переменная числа $p_1 + q_1\sqrt{2}$ и $p_2 + q_2\sqrt{2}$:
$$p_1 + q_1\sqrt{2}(p_2 + q_2\sqrt{2}) = (p_1 + p_2) + (q_1 + q_2)\sqrt{2}.$$
В результате мы приходим к числу такого же вида и получаем новое правило умножения для стольков с рациональными комплексами $p_1, q_1, p_2, q_2$:
$$\binom{p_1}{q_1}\binom{p_2}{q_2} = \binom{p_1 p_2 + 2 q_1 q_2}{p_1 q_2 + p_2 q_1}.$$

(3)

Если следовать такому правилу, то можно записать решение умножения $x^2 - 2y^2 = 1$ так:
$$\binom{x_n}{y_n} = \binom{3}{2}^n$$ (возвеси стольник $n$ раз на себя).

Для правила (3) выполнен общие свойства умножения; роль единцы здесь играет стольник $\binom{1}{0}$, так как он соответствует числу $1 = 1 + 0\sqrt{2}$.

Оперировать с числами $p + q\sqrt{2}$ очень помогает интересная симметрия в множестве таких чисел: каждому числу $a = p + q\sqrt{2}$ соответствует число $\bar{a} = p - q\sqrt{2}$, которое называется сопряженным к $a$. (Для стольников переход к сопряжному ознакомает просто изменение знака $y$ второй компоненты.)

Для операции сопряжения выполнены такие свойства:
$$\bar{a} + \bar{b} = \bar{a} + \bar{b}, \bar{a}\bar{b} = \bar{a}\bar{b}, \bar{a} = a.$$

Но самое важное — это то, что произведение сопряженных чисел $(p + q\sqrt{2})(p - q\sqrt{2}) = p^2 - 2q^2$ уже не содержит $\sqrt{2}$; $\bar{a}\bar{b}$ — рациональное число. Это позволяет делить числа вида $p + q\sqrt{2}$ друг на друга, получая при этом число такого же вида. Чтобы разделить $\beta$ на $a$, достаточно умножить $\beta$ на $\bar{a}$ и разделить результат на $\bar{a}\bar{b}$.

Мы уже пользовались параметрами сопряженных чисел при решении умножения $x^2 - 2y^2 = 1$. Левую часть $x^2 - 2y^2$ мы представили как произведение двух сопряженных чисел
$$a = x + y\sqrt{2}, \bar{a} = x - y\sqrt{2}.$$

Возьем теперь два числа $a = x_1 + y_1\sqrt{2}$ и $\beta = x_2 + y_2\sqrt{2}$ и сопряженные к ним $\bar{a} = x_1 - y_1\sqrt{2}$ и $\bar{b} = x_2 - y_2\sqrt{2}$. Расмотрим произведение $\alpha\bar{a}\beta\bar{b}$. Произведение вычисления в определенном порядке — сначала $\bar{a}\bar{b}$, потом $\beta\bar{b}$ и затем $(\alpha\bar{a})(\beta\bar{b})$ — получаем:
$$\alpha\bar{a}\beta\bar{b} = (x_1^2 - 2y_1^2)(x_2^2 - 2y_2^2).$$

(4)

Если вычисление того же произведение $\alpha\bar{a}\beta\bar{b}$ произвести в другом порядке, то мы получим
$$\alpha\bar{b} = (x_1x_2 + 2y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)\sqrt{2},$$
$$\bar{a}\bar{b} = (x_1x_2 + 2y_1y_2) - (x_1y_2 + x_2y_1)\sqrt{2},$$
$$\alpha\bar{a}\beta\bar{b} = (x_1x_2 + 2y_1y_2)^2 = 2(x_1y_2 + x_2y_1)^2.$$

(5)

Из равенств (4) и (5) получаем также $(x_1^2 - 2y_1^2)(x_2^2 - 2y_2^2) = (x_1x_2 + 2y_1y_2)^2 - 2(x_1y_2 + x_2y_1)^2.$

Из этого тоже соответствует интересная связь между целыми решениями умножения более общего вида $x^2 - 2y^2 = c$.

Если для пары целых чисел $(x_1; y_1)$ выполнен равенство $x_1^2 - 2y_1^2 = c_1$, а для пары целых чисел $(x_2; y_2)$ выполнен равенство $x_2^2 - 2y_2^2 = c_2$, то пара целых чисел $(x_1x_2 + 2y_1y_2; x_1y_2 + x_2y_1)$ является решением умножения $x^2 - 2y^2 = c_1c_2$.

Все сказанное про числа вида $a + b\sqrt{2}$ верно и для чисел вида $a + b\sqrt{d}$, где $d$ — простое число (или натуральное, не делится на квадрат). В частности, оно верно и при $d = -1$; получающейся при этом тожество будет игреть центральную роль в следующем пункте.

Задачи
11. Переножьте числа $(2 - \sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})(2 + \sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})$.

12. Разделите числа, изображенные от irrationalности в знаменателе
    a) $\frac{9 + 4\sqrt{5}}{9 - 4\sqrt{2}}$; b) $\frac{p_1 + q_1\sqrt{d}}{p_2 + q_2\sqrt{d}}$.

13*. Докажите, что произведение чисел вида $x^2 + 5y^2$, где $x$ и $y$ — целые числа, есть снова число того же вида. Найдите все такие числа меньше 100.

5. Замечательное тожество и композиция Виета

Любые две пары чисел $(a_1; b_1)$ и $(a_2; b_2)$ связаны таким тожеством, известным еще Диофанту:
$$a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2) = (a_1a_2 - b_1b_2)^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)^2.$$

Оно получается из тожества (8) при $d = -1$ и часто используется в алгебре и теории чисел. Мы рассекем здесь о другом его применении: интересном способе, позволяющим получить из двух прямоугольных треугольников новый прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной произведению их гипотенузи.

Возьем один прямоугольный треугольник с квадратами $a_1, b_1$ и гипотенузой $c_1$ и другой — с квадратами $a_2, b_2$ и гипотенузой $c_2$. Поскольку по теореме Пифагора
$$a_1^2 + b_1^2 = c_1^2$$ и $a_2^2 + b_2^2 = c_2^2,$
то жество (9) можно записать так:
$$(c_1c_2)^2 = (a_1a_2 - b_1b_2)^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)^2.$$

23

Из этого равенства видно, что существует прямогольный треугольник с квадратами $|a_1a_2-b_1b_2|$, $a_1b_2+a_2b_1$ и гипотенузой $c_1c_2$. По-видимому, это впервые заметил в XVI века французский математик Франсуа Виет (см. [7]), поэтому назовем такой способ получения из двух прямогольных треугольников нового прямогольного треугольника «композицией Виета».

Рассмотрим два одинаковых прямогольных треугольника с квадратами $m, n$ и положим в точдестве (9) $a_1=a_2=n$, $b_1=b_2=m$. Получим

$$(m^2+n^2)^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2.$$

Мы видим, что композиция Виета дает новый прямогольный треугольник с квадратами $|m^2-n^2|$, $2mn$ и гипотенузой $m^2+n^2$. Интересно, что все прямогольные треугольники с целыми (взаимно простыми) сторонами $a, b$, $c$ — так называемые «пифагорвы тройки» — могут быть получены по этим формулам

$$c=m^2+n^2, a=m^2-n^2, b=2mn, (10)$$

где $m$ и $n$ — (взаимно простые) натуральные числа разной четности, $m>n$.

Самое же необходимое заключается в том, что при композиции Виета двух прямогольных треугольников получается новый прямогольный треугольник (рис. 2), у которого угол против квадрата $a_1b_2+a_2b_1$ равен сумме $\varphi+\psi$ углов $\varphi$ и $\psi$ исходных треугольников против квадратов $b_1$ и $b_2$ (если $\varphi+\psi<90^\circ$; если $\varphi+\psi>90^\circ$, то этот угол равен $180^\circ-(\varphi+\psi)$). Таким образом, композицию Виета можно задать число геометрической. Композиция Виета двух прямогольных треугольников является прямогольный треугольник с гипотенузой $c_1c_2$. По-видимому, это впервые заметил в XVI века французский математик Франсуа Виет (см. [7]), поэтому назовем такой способ получения из двух прямогольных треугольников нового прямогольного треугольника «композицией Виета».

Рассмотрим два одинаковых прямогольных треугольника с квадратами $m, n$ и положим в точдестве (9) $a_1=a_2=n$, $b_1=b_2=m$. Получим

$$(m^2+n^2)^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2.$$

Мы видим, что композиция Виета дает новый прямогольный треугольник с квадратами $|m^2-n^2|$, $2mn$ и гипотенузой $m^2+n^2$. Интересно, что все прямогольные треугольники с целыми (взаимно простыми) сторонами $a, b$, $c$ — так называемые «пифагорвы тройки» — могут быть получены по этим формулам

$$c=m^2+n^2, a=m^2-n^2, b=2mn, (10)$$

где $m$ и $n$ — (взаимно простые) натуральные числа разной четности, $m>n$.

Самое же необходимое заключается в том, что при композиции Виета двух прямогольных треугольников получается новый прямогольный треугольник (рис. 2), у которого угол против квадрата $a_1b_2+a_2b_1$ равен сумме $\varphi+\psi$ углов $\varphi$ и $\psi$ исходных треугольников против квадратов $b_1$ и $b_2$ (если $\varphi+\psi<90^\circ$; если $\varphi+\psi>90^\circ$, то этот угол равен $180^\circ-(\varphi+\psi)$). Таким образом, композицию Виета можно задать число геометрической. Композиция Виета двух прямогольных треугольников получается newest straight line of the triangle with vertices $a, b, c$.

Задание

14. На клипописной таблице, изображенной в древнем Вавилоне примерно 1500 лет до н. э., среди других пифагоровых треугольников указан такой: 4961, 6480, 8161. Каким $m$ и $n$ в формулах (10) он соответствует?

15*. Найдите cos $75^\circ$, используя композицию Виета для двух прямогольных треугольников с углами $30^\circ$ и $45^\circ$.

16. В пифагорных треугольках со стороны 5, 12, 13 и 7, 24, 25 гипотенуза на 1 большие одного из катетов.

a) Найдите еще два таких пифагоровых треугольника.

b) Найдите общую формулу для сторона таких треугольников.

b) Укажите среди них треугольники, у которых гипотенуза есть полный квадрат (как у треугольника 7, 24, 25=5²).

6. Комплексные числа $a+bi$

В предыдущих пунктах мы с помощью чисел видна $a+b\sqrt{d}$ пришли к точдеству (8), которое оказывается верным при любом $d$. Затем мы положили в этом точдеству $d=-1$; при этом сами выражения $a+b\sqrt{d}=a+b\sqrt{-1}$ потеряли смысл, так как среди чисел нет $\sqrt{-1}$ — ведь квадрат любого числа является неотрицательным числом. Тем не менее оказывается целесообразным в употребление новое «минимое» число, квадрат которого равен -1. Его обозначают буквой $i$ (от латинского слова imaginary — миный, воображаемый).

Выражение вида $a+bi$, где $a$ и $b$ — общчные числа, называют компплексными числами. Два компплексных числа, по определению, равны тогда и только тогда, когда равны их комппONENTы:

24

$a_1 + b_1 i = a_2 + b_2 i$, только если $a_1 = a_2$ и $b_1 = b_2$.

Сложение и умножение комплексных чисел $a + bi$ производится аналогично тому, как они производились для чисел вида $a + b\sqrt{2}$ с разциональными $a$ и $b$. Однако здесь $a$ и $b$ могут быть любыми числами, а $i^2 = -1$. В результате этих операций мы снова получаем выражение вида $a + bi$:

$$(a_1 + b_1 i) + (a_2 + b_2 i) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i,$$
$$(a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) i.$$

Мы видим теперь, откуда взялось умножение (1) стольков, которое мы указали в пункте 2. Это умножение по существу уже обсуждалось в предыдущем пункте — как композиция Виета двух прямоугольных треугольников с катетами $(a_1; b_1)$ и $(a_2; b_2)$.

Особую роль играют нулевое комплексное число $0 = 0 + 0i$, единица $1 = 1 + 0i$ и миная единица $i = 0 + 1i$. Заметим, что если какая-нибудь компонента $a$ или $b$ комплексного числа $a + bi$ равна нулю, то соответствующее часть комплексного числа при записи опускают.

В мире комплексных чисел можно делить на любое число, отличное от нуля $0 = 0 + 0i$. Вычисляя частное двух чисел, удобно умножить оба эти числа на сопряжение число $c - di$ к делению $z = c + di$:

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \left( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} \right) + \left( \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} \right) i.$$

Комплексные числа возникли впервые в алгебре, в задачах о решении алгебраических уравнений треугольей и более высокой степени. Однако применения комплексных чисел охватывают едва ли не все основные области математики и физики — геометрию, теории чисел, математической анализ и теории вероятностей, расчет электрических целей, гидродинамику и квантовую механику.

Мы получили комплексные числа как пары действительных чисел, определяв для них умножение правилом (1), удовлетворяющее естественным условиям — коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. Для математики интересна задача классификации всех таких пары. Оказывается, все они укладываются в общую схему: пары $(x, y)$ записываются в виде «обобщенных комплексных чисел» $x + yj$ и $j^2$ в вычислениях заменяется на $r + sj (r, s$ — фиксированные числа, см. задачу 19); здесь возможно три существенного различных слугая (которым можно свести остальные):

$$(1) j^2 = 1$$

(к этому типу относится подробно изученное нами правило $j^2 = 2$); (2) $j^2 = 0$ (любопытно, что соответствующее правило умножения, записанное для столбков):

$$\left( \frac{x_1}{y_1} \right) \left( \frac{x_2}{y_2} \right) = \left( \frac{x_1 x_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1} \right)$$

— это перевернуть правило сложения дробей

$$\frac{y_1}{x_1} + \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_1 x_2 + x_2 y_1}{x_1 x_2}$$

и, наконец, (3) $j^2 = -1$ — настоящие комплексные числа.

Задание и

17. Будем изобразать комплексное число $x + iy$ точкой $(x; y)$ на координатной плоскости. Пусть $u = 1 - i$, $v = -2 + 5i$. Найдите a) $u$; 6) $v$; b) $uv$; г) $u/v$ и изобразите все эти числа на координатной плоскости.

18. Пусть $z = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$, $w = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$. Найдите a) $z^2, z^4, z^8$; 6) $w^2, w^3, w^6, w^2 + w + 1$.

19*. Пусть $r$ и $s$ — два фиксированных числа. Зададим умножение на парах чисел (все, а не только рациональных) формулой

$$\left( \frac{x_1}{y_1} \right) \cdot \left( \frac{x_2}{y_2} \right) = \left( \frac{x_1 x_2 + ry_1 y_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1} \right).$$

(Это правило соответствует умножению «обобщенных комплексных чисел» $x + jy$, где $j^2 = r + sj$.) a) Проверьте, что для этого умножения выполнен основные свойства 1) — 3) из пункта 2. b) Какая пара $e$ играет роль единицы? b) При каких $r$ и $s$ для любой пары $u$, отличной от $0 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$, существует такое $v$, что $uv = e$? r) При каких $r$ и $s$ существует такая пара $u \neq 0$, что $u^2 = 0$? 20. Зададим умножение пар чисел $(a; b)$ так: каждой пар чисел $(a; b)$ соответствует линейная функция $u(t) = at + b$, а произведение $(a_1; b_1)$ на $(a_2; b_2)$ соответствует композиция функции $u_1(t) = a_1 t + b_1$ и $u_2(t) = a_2 t + b_2$, то есть подстановка первого во вторую $u_2(u_1(t)) = a_2(a_1 t + b_1) + b_2 = a_2 a_1 t + a_2 b_1 + b_2$, или

$$\left( \begin{array}{c} a_1 \\ b_1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_2 \\ b_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_1 a_2 \\ a_2 b_1 + b_2 \end{array} \right).$$

Какие из следующих законов выполнен для этого умножения: $uv = vu$, $(uv)w = u(vw)$, $u(v + w) = uv + uw$, $(u + v)w = uw + wv$?

Список дополнительной литературы

1. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: Наука, 1983. — (Популярные лекции по математике, вып. 8).
2. Нестеренко Ю. В., Никшин Е. М. Очерк о целых дробях. Квант, 1983, № 5, 6.
3. Вагутен Н. Сопряженные числа. Квант, 1980, № 2.
4. Ашманов С. Числа и многочлены. Квант, 1980, № 2.
5. Заочные математические алгебры. М.: Наука, 1981.
6. Понтрягин Л. С. Комплексные числа. Квант, 1982, № 4.
7. Башмакова И. Г. Становление алгебры. М.: Знание, 1979.