Московский институт электронного машиностроения

56

Московский институт электронного машиностроения

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{2 \sin x} = -\sqrt{3} \mathrm{tg} x.$$
2. Сторона основания правильно треугольной прямых равна $a$; боковое ребро равно $b$. Определите ее объем и площадь сечения, проходящего через сторону основания перpendicularно к боковому ребру, противолежащему этой стороне.
3. Что значит $a \geq b$? Докажите, что если $a > b$ и $b \geq c$, то $a > c$.
4. Расположите в порядке возрастания следующие числа:
   $$1; 0,37; \frac{65}{63}; \frac{61}{59}; \mathrm{tg} 33^\circ; \mathrm{tg} (-314^\circ).$$
5. Докажите, что если $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{3}$, то
   $$2f(x+2) + f(-x-1) = x^2 + 4x + 4.$$
   Верно ли обратное утверждение?

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$|\sin x + \sin 2x| (2x-5) = \sin x + \sin 2x.$$
2. В кубе $ABCD_A B_1 C_1 D_1$ с ребром длины $a$ последовательно соединительный ребер $AA_1, A_1 B_1, B_1 C_1, C_1 C, CD, DA$ и $AA_1$. Докажите, что полученная фигура — правильный шестиугольник и вычислите его площадь.
3. a) При $a = b = 2$ решите уравнение
   $$\frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{2-b}{x-1} = 0.$$

6. Изображите на координатной плоскости множество точки $M(a; b)$, для которых это уравнение имеет единственное решение.

4. Расположите в порядке возрастания следующие числа:

58

3. Найдите объем параметры, основанием которого служит прямогольный треугольник с гипотенузой длиной 6 см и острым углом с величиной в 30°, если боковые ребра наклоны к плоскости основания под углом α=45°.
4. Решить уравнение

$$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{3 + \sin \left(\frac{7\pi}{2} + 6x\right)}{4}$$

Вариант 3
(индивидуально-педагогический факультет)

1. Двое рабочих, работа вместе, выполют неокоторую работу за 6 дней. Если каждый из них выполнил бы эту работу один, то первый из них потребил бы на 5 дней больше второго. Определите за сколько дней кажд из них отделности может выполнить эту работу?
2. Решите уравнение
   $$\sin 5x - \sin x = \sin 2x$$
3. В цилиндрическом колодце, внутренний диаметр которого 2,5 м, приблюло воды на 30 см. Сколько кубометров воды прибавилось?
4. Решите уравнение
   $$2^{3x} = \sqrt[3]{512}$$
5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции
   $$y = x^3 - 27x + 15$$

Вариант 4
(геодратический факультет)

1. Население города за два года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения этого города.
2. Решите уравнение
   $$(\sin 2x + \cos 2x)^2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
3. На одной из параллельных сторон трапеции взята точка A, на другой — точка B. Доказите, что отрезок AB делится средней линии трапеции пополам.
4. Постройте график функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$.

Физика
Задание устного экзамена

1. Два бруска массой $m_1=0,4$ кг и $m_2=0,6$ кг движутся без трения равноскорено под действием силы ($F=2$ Н), приложенной ко второму бруску. С каким ускорением движутся бруски? Какова сила наяжения связьюшей их нити?

2. Шарик массой $m=100$ г подвешен к нити. В натурутом положении нить располжили горизонтальное, и отпустили шарик. Чему равна сила наяжения нити, если она в данной момент образует с горизонтальным направлением угол $\alpha=30°$? Какой прочитью на разрыв должна обладать нить, чтобы она не оборвалась в данном опите?

3. Тело весит в воздухе $P=3$ Н, в воде $P_B=1,8$ Н и в жидкости с неизвестной плотностью $P_{ж}=2,04$ Н. Какова плотность жидкости?

4. Горизонтальное летящая пуля попадает в деревянный брус, лежащий на гладкой горизонтальной плоскости, и пробивает его. Определите, какая часть энергии пуля перешла в телло. Масса пуля $m=10$ г, масса брусса $M=1$ кг, начальная скорость пуля $v_0=500$ м/с, скорость пуля после вылета $v=300$ м/с.

5. При изготовлении льда в бытовом холодильнике потребовалось $\tau_1=16$ мин для охлаждения воды от $T_1=289$ К до $T_2=273$ К и еще $\tau_2=1$ ч 20 минут, чтобы превращить ее в лед. На основании этих данных определите удельную теплоту отвердевания воды. Удельная тепломкость воды $c=4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К).

6. В комнате затопили печь, и температура поднялась с $t_1=16^\circ\text{C}$ до $t_2=21^\circ\text{C}$. Давление воздуха в комнате при этом не изменилось. Какая часть воздуха ушла из комнаты?

7. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока, если при силе тока $I_1=2$ А во внешней цепи выделяется мощность $P_1=3$ Вт, а при силе тока $I_2=4$ А — мощность $P_2=4$ Вт.

8. Электрическая плитка имеет в нагревале две секции. При включении одной секции вода в кастрюле закипает через $\tau=8$ мин, а при включении второй (без первой) — через $\tau_2=20$ мин. Через сколько минут закипит вода в кастрюле, если обе секции включить: а) параллельно? б) последовательно? Условия нагрева во всех случаях одинаковы.

9. На дне сосуда, наполненного водой до высоты $H=2$ м, находится точный источник света. На поверхности воды плавает круглый диск, что центр диск находится над источником света. При каком минимальном радиусе диска ни один луче света не выйдет через поверхность воды? Коэффициент преломления воды $n=4/3$.

10. На каком расстоянии от линзы с фокусным расстоянием $F=20$ см надо поставить предмет, чтобы его действительное изображение было в $\Gamma=4$ раза больше самого предмета?

Публикацию подготовили
А. В. Жмулева,
О. Ю. Овчинников

59

Отражение кривых и преобразования формул
(см. с. 29)

1. $M(y; x)$ и $M(-y; -x)$.
2. а) $y = f(-x)$; б) $y = -f(x)$; в) $y = |f(x)|$; г) $y = f(|x|)$; д) $y = |f(x) - 2| + 2$; е) $y = f(-|x|)$; ж) $y = f(1 - |x - 1|)$; з) $y = f(1 + |x - 1|)$;
   и) $y = -f(-x)$;
   см. также рис. 1.
3. а) $f(-x, y) = 0$; б) $f(-|x|, y) = 0$; в) $f(x, -y) = 0$; г) $f(|x|, y) = 0$; д) $f(-|x|, |y|) = 0$; е) $f(|x|, |y|) = 0$; ж) $f(|x|, -|y|) = 0$; з) $f(-2|x|, 2|y|) = 0$; и) $f(-|x|, |y|) f(-2|x|, 2|y|) = 0$;
   см. также рис. 2.
4. а) $y = ||x| - 1$; б) $y = ||x| - 2| - 1|$; в) $|y| = ||x| - 2|$; г) $|y| = 2 - ||x| - 1| - 2|$; д) $|y| = 2 - ||x| - 1| - 2|$; е) $|y| = 3 - ||x| - 1| - 2|$; ж) $2|y| = ||x| - 2| - |x| + 4$.
   Указание. Обратитесь к графику функции $y = |x| - x$ и использовать его для получения изображенной функции и «конструирования» подходящей формулы.

3. $2|y| = ||x| - 4| - |x| + 2|$. Указание. Воспользовитесь указанием к предыдущей задаче 4, ж.
   и) $|y| = |x| - |x - 2| - x + 2$. Указание. Расмотите графику функции $y = f(x) - |x|$, где $f(x)$ — функция с «изгзагообразным» графиком, часть которого, лежащая в верхней полу-
   кое разложение (окAZывается, что $\frac{1984}{5}$ + $+\frac{1984}{25}$ + $\frac{1984}{125}$ + $\frac{1984}{625}$ раз), и убедиться, что множество 2 будет больше. ([x] — целая часть числа $x$).

2. Указание. Справедливо следующее положение точки:
   $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$
   $= (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$.

*) Для решения подобных задач можно воспользоваться общим методом конструкирования управления ломаньх, содержащимся в решении задачи M848 (см. «Квант», 1984, № 5, c. 47).

60

3. Ответ: полпробирки было заполнен через 59 минут.
4. Ответ: пусть $B^*$ — точка плоскости, симметричная точке $B$ относительно данной прямой; тогда точкой $M$ является точка пересечения данной прямой с прямой $AB^*$. Заметание. Если $A^*$ — точка, симметричная точке $A$ относительно данной прямой, то данная прямая и прямая $A^*B$ пересекаются в той же точке $M$.
5. Ответ: $2ab/(a+b)$. Указание. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$, а $MN$ — отрезок, о котором идёт речь в условия (причем точка $M$ лежит на боковой стороне $AB$). Для вычисления длины $MO$ можно воспользоваться тем, что $\Delta ABD \sim \Delta MBO$, $\Delta BAC \sim \Delta MAO$.
6. Указание. От противного: если бы оказалось, что $\log_4 18 = \frac{p}{q}$, то имею бы место равенство $2^{2p-q} = 3^{2q}$, а оно невозможно (почему?).
7. Ответ: прямая $y=1$. из которой выключаются все точки $(\pi k/2; 1)$, $k \in \mathbb{Z}$.
8. Ответ: уравнение не имеет корней ни при каком натуральном $n>1$. Указание. Необходимо воспользоваться неравенством $\sin \alpha \leq 1$.
9. Ответ: не обязательно.
10. Ответ: три прямые. Указание. Для доказательства нужно привести пример трех прямых, удовлетворяющих условиям, и объяснить, почему больше числа таких прямых существует не может.
11. Ответ: можно. Указание. Рассмотрите 1984 натуральных числа, следующего за числом
    $$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 1985+1.$$
12. Ответ: 0. Указание. Спправедливо следующее полезное равенство:
    $$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}, a > 0, b > 0, c > 0, b \neq 1.$$
13. Ответ: $2\pi k < x < (\pi/2) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Указание. Докажите предварительно следующий факт: если значение $x$ таково, что $0 < \sin x < 1$, то для этого значения $x$ выполено неравенство $\sqrt{\sin x} > \sin^2 x$ (анаалогичное утверждение верно и для косинуса).
14. Ответ: параллелограмм. Указание. Достаточно убедиться, что
    $$[MN] \parallel [AC] \parallel [QP], [MQ] \parallel [BD] \parallel [NP].$$
    Таким образом: если последовательно соединить отрезки середины сторона произвольного пространственного четырехугольника, то получится плоская фигура — параллелограмм.
15. Ответ: правильный шестиугольник. Указание. Если $ABCD_1B_1C_1D_1$ — данный куб $(ABCD$ — нижнее основание, $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ — боковые ребра), а лучок лучей света параллелен диагонали куба $BD_1$, то teng является шестиугольником с вершинами в серединах тех ребер куба, которые не прямыхот к вершинами куба $B$ и $D$.

Московский физико-технический институт
Matematika
Вариант 1

1. ] 0; +∞ [.

2. $\frac{1}{2}$. Указание. Данное уравнение равно сльно уравнение $6x - 3 + \sqrt{x} \sqrt{6x - 3} = 0$. При $x = \frac{1}{2}$ левая часть этого уравнения равна нулю,
   $$a \propto x > \frac{1}{2}$$

3. $r_1 = 3, r_2 = 12$. Решение. Касательная $l$, имеющая уравнение $y = \frac{4}{3}(x - 6)$, пересекает оси $Ox$ и $Oy$ в точках $B(6; 0)$ и $C(0; -8)$. На оси $Oy$ существует две точки $Q_1$ и $Q_2$ (рис. 4), являющиеся центрами окружностей, касающими оси $Ox$ и прямой $l$. Прямы $(Q_1B)$ и $(Q_2B)$ перпендикулярны и являются бисекtrисами внутри него угла $B$ и внешнего угла $B$ треугольника $OBC$ соответствен. По свойству бисекtrисы угла треугольника $\frac{|OQ|}{|Q_1C|} = \frac{|OB|}{|BC|} = \frac{3}{5}$. Кроме того, $|OQ_1| + |Q_1C| = 8$. Поэтому $r_1 = |OQ_1| = 3$. Из подобия прямолинных треугольников $Q_1OB$ и $Q_2OB$ следует, что $r_2 = |OQ_2| = \frac{|OB|^2}{|Q_1C|} = 12$.

4. $\left\{ \left(\frac{\pi}{4} + \pi n; \pi k\right), \left(\frac{\pi}{4} + \pi n; -\frac{\pi}{2} + \pi m\right), \left(-\arctg 3 + \pi n; 2 \arctg 3 + \pi m\right) \right\}(k, m, n \in \mathbb{Z})$. Указание. Числа $\frac{1}{2}$ стg $x, 2 \cos(x+y), 4 \sin 2x, 16 \sin(x-y)$ образуют геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда эти числа отличны от нуля:
   $$\text{ctg } x \neq 0, \cos(x+y) \neq 0, \sin 2x \neq 0, \sin(x-y) \neq 0, \text{ и выполнены равенства}$$
   $$\frac{1}{2} \text{ctg } x \cdot 4 \sin 2x = (2 \cos(x+y))^2,$$
   $$2 \cos(x+y) \cdot 16 \sin(x-y) = (4 \sin 2x)^2.$$
   Решая полученную систему, получаем ответ.

5. $V = 4$; плоскость $P$ делит отрезок $AC$ в отношении 3:13. Решение. Опустим из точки $N$ перпендикуляр $(NN_1)$ на плоскость $ABCD$. Покольку $(BB_1C_1C) \perp (ABCD)$, а $N \in (BB_1C_1C)$, основание $N_1$ перпендикулярa $(NN_1)$ лежит на прямой $BC$ (рис. 5). При этом $(NN_1) \parallel (BB_1)$, $N_1 \in [BC]$, $|BN_1|:|N_1C| = 2:3$. Высота прямых равна отрезка $NN_1$. Следовательно, ее

61

Объем $V = S_{ABCD} \cdot |NN_1| = \frac{1}{2} |AC| \cdot |BD| \cdot |NN_1|$.

Треугольник $MNN_1$ прямогоугольный: $|NN_1| = \sqrt{|MN|^2 - |MN_1|^2}$. Учитывая, что по условию $|AC| = 4, |BD| = 2, |MN| = \sqrt{5}$, получим $V = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{5 - |MN_1|^2} = 4 \sqrt{5 - |MN_1|^2}$.

Остается найти длину отрезка $MN_1$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$. Точка, симметричная точке $M$ относительно $O$, лежит на отрезке $BC$, делит его в отношении 2:3, считая от точки $B$, и, значит, совпадает с точкой $N_1$. Таким образом, $O$ — середина отрезка $MN_1:|MN_1|=2|ON_1|$. В ромбе $ABCD$ $|BO|=1, |OC|=2, (BO)\perp (OC)$.

Следовательно, $|BC|=\sqrt{5}, |BN_1|=\frac{2}{\sqrt{5}}, \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$, где $\alpha=\widehat{OBC}$. По теореме косинусов для треугольника $OBN_1$ имеем $|ON_1|^2=|BO|^2+|BN_1|^2-2|BO| \cdot |BN_1| \cos \alpha=1$.

Отсюда $|ON_1|=|MO|=1, |MN_1|=2, V=4$.

Для ответа на второй вопрос задачи докажем лемму.

Лемма. Пусть $A \neq A_1$ и $M \neq N$ — точки пространства, расположенные на непараллельных прямых $(AA_1)$ и $(MN)$. Пусть из всех плоскостей, проходящих через прямую $(MN)$, выбрана та плоскость $P$, проекция на которую отрезка $AA_1$ имеет минимальную длину. Тогда плоскость $P$ перепределикулярна плоскости $MNN_1$, где $N_1$ — такая точка пространства, что $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{N_1N}$.

Доказательство. Пусть $K$ — основание перепределикуляра, опущенного из точки $N_1$ на $(MN)$, а $P_*$ — плоскость, проходящая через прямую $(MN)$ и перепределикуляра прямой $(N_1K)$ (плосость $P_*$ перепределикулярна плоскости $MNN_1$). Доказем, что $P_*$ и есть $P$, что завершит доказательство утверждения.

Возьемем произвольную плоскость $Q$, проходящую через прямую $(MN)$ и отличную от плоскости $P$. Обозначим через $L$ основание перепределикуляра, опущенного из точки $N_1$ на плоскость $P$ (рис. 6). Проверим, что длина $|LN|$ проекции отрезка $N_1N$ на плоскость $Q$ больше длины $|KN|$ проекции этого отрезка на плоскость $P$ (плосость проекции отрезков $AA_1$ и $N_1N$ на любую плоскость одинаковы, это и будет означать, что $P_*=P$). По построению, $(N_1K) \perp (KN)$. Применяя теорему о трех перепределикулярах, получаем, что и $(LK) \perp (KN)$. Но это означает, что треугольник $LKN$ прямогоугольный, а отрезок $LN$ — его гипотенуза. Следовательно, $|LN|>|KN|$. Что и требовалось доказать.

62

Физика
Вариант 1

1. Из того, что центр масс стержня находится в стыковочном сечении, а составляющие стержень цилиндры имеют одинаковые сечения $(S)$, но изготовлены из различных материалов, следует, что длины цилиндров размещены. Обозначим их через $l_1$ и $l_2$. Тогда массы цилиндров равны соответствующим

$$m_1 = q l_1 S \quad m_2 = 2 q l_2 S.$$

Запишем условие равенства моментов сил тяжести относительно центра масс системы:

$$m_1 g \frac{l_1}{2} = m_2 g \frac{l_2}{2}.$$

Отсюда получаем

$$m_2 / m_1 = \sqrt{2}.$$

2. Из данной изотермы ясно, что сначала водяной пар, содержащийся в воздухе, ненасыщенный. В точке 2 он становится насыщенным и остается таким на всем участке 2-3. Таким образом, относительная влажность в точках 2 и 3 равна 100 %:

$$\varphi_2 = \varphi_3 = 100 \%.$$

Для точки 1 имеем

$$\varphi_1 = \frac{p_{\pi 1}}{p_{\pi 2}} 100 \% = \frac{p_{\pi 1}}{p_{\pi 2}} 100 \% = \frac{p_1}{p_2} 100 \%.$$

3. Если конденсатор вначале не был заряжен, после замыкания ключа по цепи проходит заряд $C_0$, источник тока совершает работу $C_0^2$, а конденсатор прибретает энергию $C_0^2/2$. Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, выделившееся на резисторе, равно разности работы источника и энергии конденсатора:

$$Q = C_0^2 - C_0^2/2 = C_0^2/2.$$

Теперь рассмотрим случай, когда вначале правая пластина конденсатора была заряжена. Обозначим этот заряд через $q$. В этом случае еще до замыкания ключа в конденсатор есть электрическое поле с напряженной $E = q/(2\varepsilon_0 S)$, и это поле обладает запасом электрической энергии $W = \varepsilon_0 E^2 S/d/2 = q^2/(8C)$ (здесть $S$ — площадь пластин конденсатора, $d$ — расстояние между пластинами, $C = \varepsilon_0 S/d$ — емкость конденсатора). Что произойдет после замыкания ключа, когда разность потенциаль между пластинами станет равной $\Phi$? Отметим два важных обстоятельства. Во-первых, имеющийся заряд $q$ не изменится: включение батареи приводит только к его перераспределению. Следовательно, можно использовать закон сохранения заряда. Во-вторых, даже при замкнутом ключе две пластины не представляют собой конденсатор в обычном смысле этого слова, так как полный заряд не равен нулю и электрическое поле имеет не только между пластинами, но и снаружи. Однако в данном случае электрического поля вне пластин, в силу неизменности общего заряда, остается одной и той же. Меняется только энергия поля в пространстве между пластинами:

$$\Delta W = \frac{C_0^2}{2} - \frac{q^2}{8C}.$$

Пусть налевой пластине теперь будет заряд $q_1$, а на правой $q_2$. Из закона сохранения заряда $q_1 + q_2 = q$. (1)

Заряд $q_1$ создает поле с напряженной $E_1 = q_1/(2\varepsilon_0 S)$, а заряд $q_2$ — поле с напряженной $E_2 = q_2/(2\varepsilon_0 S)$. Результатрушая направляя

женность равна $E_2 - E_1 = (q_2 - q_1)/(2\varepsilon_0 S)$. С другой стороны, $(E_2 - E_1)d = \varepsilon_0 S$. Поэтому $q_2 - q_1 = 2\varepsilon_0 S/d = 2C_0$. (2)

Из равенств (1) и (2) получаем

$$q_1 = \frac{q}{2} - C_0, \quad q_2 = \frac{q}{2} + C_0, \quad \Delta q = q_2 - q = C_0 - q/2.$$

Этот заряд $Δq$ и протек через источник, поэтому работа источника равна $(Δq = C_0 - q/2)$.

В соответствии с законом сохранения энергии, $A = ΔW + Q,$

или

$$C_0 - \frac{q}{2} = \frac{C_0^2}{2} - \frac{q^2}{8C} + \frac{C_0^2}{2}.$$

Отсюда получаем

$$q = 4C_0.$$

4. Из условия задачи видно, что линза — рассеивающаяся. Тогда из формулы линзы (записанной для данного случая)

$$\frac{1}{F} - \frac{1}{f} = -\frac{1}{F}$$

найдем

$$f = F/2.$$

Увеличение предмета

$$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d},$$

откуда размер предмета

$$h = H \frac{d}{f} = 2H = 2 \cdot 0.7 \text{ см} = 1.4 \text{ см}.$$

Вариант 2

1. $\alpha = \arccos \sqrt{0.25} = 60^\circ.$
2. $\Delta l_1 = L/4$ (левый поршень расположится после редактирования сосуда), $\Delta l_2 = 0$ (при достаточно большой скорости диффузии правый поршень практической не сдинитется с места).
3. $T \approx 22.4$ ч.
4. $d < F_1 \frac{2F_2 + L}{F_2 + L - F_1} = 16$ см.

Московский институт электронного машиностроения

Matematika

Вариант 1

1. $x_1 = k\pi, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2l\pi \quad (k, l \in Z).$ Указание.

Уравнение равnocльно системы

$$2 \sin x = 3 \mathrm{tg}^2 x, \quad S = \frac{a^2}{4b} \sqrt{3b^2 - a^2}.$$ Указание. При вычислении площади сечения $S$ восполняет равность $V = \frac{1}{3} bS.$

3. Неравенство $x \geq y$ означает, что $x - y \geq 0$. Утверждение задачи следует из оцененного равноства $a - c = (a - b) + (b - c).$

4. $0.37 < \mathrm{tg} 33^\circ < 1 < \frac{65}{63} < \frac{61}{59} < \mathrm{tg} (-314^\circ).$

Указание. $\mathrm{tg} (-314^\circ) = \mathrm{tg} 46^\circ = \frac{1 + \mathrm{tg} 1^\circ}{1 - \mathrm{tg} 1^\circ},$ но $\mathrm{tg} 1^\circ = \mathrm{tg} 1^\circ = \frac{1}{1 - \mathrm{tg} 1^\circ}.$

$$\mathrm{tg} 1^\circ = \mathrm{tg} 1^\circ = \frac{1}{1 - \mathrm{tg} 1^\circ}.$$

63

Рис. 7.

$$\frac{2}{1 - \mathrm{tg} 1^\circ} - 1 > \frac{2}{1 - \frac{1}{60}} - 1 = \frac{61}{59}.$$

5. Верно. Решение. Требуем равенство легко проверяется. Доказем обратное утверждение. Пусть некоторые функции при любом $x$ удовлетворяют условиям $2f(x+2) + f(-x-1) = x^2 + 4x + 4$. Подставляя в это равенство вместе $x$ выражение $-x-3$, получим $2f(-x-1) + f(x+2) = (x+3)^2 - 4(x+3) + 4$. Вычитая из первого равенства, умноженного на 2, второе, получим $2f(x+2) = x^2 + 6x + 7$. Заменив здесь $x$ на $x-2$, получим $f(x) = \frac{1}{3}((x-2)^2 + 6(x-2) + 7) = \frac{x^2 + 2x - 1}{3}$.

Вариант 2

1. $x_1 = \frac{2k\pi}{3}, x_2 = \pi (2l+1) (k, l \in \mathbb{Z})$. Указание. При $x + \sin 2x > 0$ уравнение принимает вид $2x-5=1$, откуда $x=3$, но $sin 3+sin 6 < 0$. При $x + \sin 2x < 0$ получим $x=2$, но $sin 2+sin 4 > 0$. Остается случай $x + \sin 2x = 0$.

2. $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$. Указание. Отрезки, соединяющие середины перечисленных ребер с центром куба, перpendикularядиагонали $BD_1$ и потому лежат в одной плоскости. Кроме того, длинные этих отрезков равны. Отсюда легко следует, что шестиугольник равный с длиной стороны $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. а) $x = -\frac{1}{2}$; 6) см. рисунок 7.

Указание. Уравнение равносильно системе $(a+2)x^2 + (2-2b)x-a=0^*, x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1$. Квадратное уравнение $(a \neq -2)$ имеет единственный корень при $\frac{D}{4} = (1-b)^2 + a^2 + 2a=0$, или, иначе, при $(b-1)^2 + (a+1)^2=1$. При $a=-2$ приходим к уравнению $(2-2b)x=-2$, которое имеет единственный корень при $b \neq 1$. Уравнение (*) имеет корень $x_1=0$ при $a=0$. При этом $x_2=b-1$. Поэтому у исходного уравнения будет в этом случае единственный корень, если $b \neq 2, b \neq 1, b \neq 0$. Аналогично рассматривается случай $x_1=1, x_1=-1$.

4. $0,02 < 0,85 < -\cos(-571^\circ) < \frac{\sqrt{3}}{2} < \sqrt{0,762} < 1$.

Решение. Все неравенства, кроме $\cos(-571^\circ) = \cos 31^\circ > 0,85$, проверяются без труда. Доказем, что $\cos 31^\circ > 0,85$.

$$\cos 31^\circ = \cos(30^\circ + 1) = \cos 30^\circ \cdot \cos 1^\circ - \sin 30^\circ \cdot \sin 1^\circ = \frac{1}{2} (\sqrt{3} \cos 1^\circ - \sin 1^\circ) = \frac{1}{2} (\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{180} - \sin \frac{\pi}{180}) > \frac{1}{2} \left(\sqrt{3} \left(1 - \frac{\pi^2}{2 \cdot 180^2}\right) - \frac{\pi}{180}\right) > \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\pi^2}{180^2} - \frac{\pi}{360} > \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{2 \cdot 80^2} - \frac{\pi}{360} > 0; 86-0,01>0,85$$

(мы воспользовались неравенством $\sin x < x$ при $x > 0$ и вытекающим из него неравенством $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ при $x > 0$, а также тем, что $\pi < 3,2$).

5. $\max f(x) = 1$. Обратное утверждение (если $2 \leq x \leq 4$) $\max |2x^2 - 12x + 17|$ принимает наиболее значение в одной из точек $x=2$, $x=3$ или $x=4$.

Для доказательства обратного утверждения следует заметить, что при выполнении условий задачи справедливны неравенства $f(2) \leq 1, f(3) \leq 1$ и $f(4) \leq 1$ или $|8+2a+b| \leq 1, |18+3a+b| \leq 1$ и $|32+4a+b| \leq 1$.

Из первых двух неравенств с использованием неравенства $|u-v| \leq |u|+|v|$, получаем $|a+10| \leq 2$, а из второго и третього — $|a+14| \leq 2$, откуда $a=-12$.

Физика

1. $\alpha = \arctg(1/6\sqrt{3}) \approx 6^\circ$.
2. $F = mg(1-v^2/(2gl)) \approx 0,44$ H.
3. $\Delta t = \alpha \mu gl/c \approx 1,4 \cdot 10^{-3}$ K.
4. $\alpha = 1 + c(t_n^-t)/r = 1,15$.
5. $p' = 3/2p \approx 10^5$ Pa.
6. $Q = -\frac{(4h^2+d^2)^{3/2}}{4d^3} \approx -3,8 \cdot 10^{-6}$ Kл.
7. $U_{\max} = U(1+C_1/C_2) = 350$ B.
8. $R_\pi = U_0/I_0 - R_0 = 599$ Ом; $P_\pi = I_0^2R_\pi = 0,599$ Вт; $P_0 = I_0^2R_0 = 1$ мВт.
9. См. рисунок 8.
10. $d = d_0/(1-d_0D) = 14,3$ см (здесь $d_0 = 25$ см — расстояние на лушщero зреня для нормального глаза).

Московский государственный институт им. В. И. Ленина

Matematika

Вариант 1

64

Рис. 9.
2. $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2} (n \in \mathbb{Z})$.
3. $\frac{a^2 \sqrt{6}}{9}$.
4. {3}.
5. $4 \frac{41}{45}$.

Вариант 2

1. $\sqrt[3]{v}; \arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. ] 12; +∞ [.
3. $\frac{9 \sqrt{3}}{2} \text{cm}^3$.

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: Л. Г. Асламазов, В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция: М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, А. И. Климанов, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. Б. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Беляев, В. В. Буховцев, Е. П. Велихов, И. Я. Верченко, В. В. Воздиженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Ermолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, Л. В. Канторович, В. А. Криплов, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. Н. Виленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров, В. М. Ивлев, Т. С. Петрова; А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформили:
М. В. Дубах, В. К. Егоров, В. С. Коваль, А. Я. Коршунов, Д. А. Крымов, В. И. Савела, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина, Е. С. Шабелиник

Фото представили:
Ю. Белозеров (фотохроника ТАСС), Л. Д. Шварц

Заведующая редактор Л. В. Чернова

Редактор отдела худоместственного оформления
Э. А. Смирнов

Худоместный редактор Т. М. Макарова

Корректор Н. В. Румянцева

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, •Квант•,
тел. 250-33-54

Сдано в набор 21.11.84.
Подписано к печати 27.12.84
Печать офсетная
Бумага 70×108 1/16. Усел. кр.-отт. 23,80.
Усел. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,46. Т-23648
Цена 40 коп. Заказ 3109. Тираж 175628 экз.

Ордена Трудового Красного Заменини
Чеховский полиграфический комбинат
ВО •Союзполиграфия*
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Чехов Московской области