Пока чайник не закипел...

Квант 1987, №8 с. 9, 10, 12, 14, 15 Тег IFAD

ПОКА ЧАЙНИК
НЕ ЗАКИПЕЛ…

Кандидат физико-математических наук
А. А. ВАРЛАМОВ,
А. И. ШАПИРО

Ритулу чаепития посвязываны восточные трактаты и главы в специальных книгах. И все же, посмотрев на этот процесс под несколько иным углом зрения, в нем можно найти множество интересных физических явлений, объяснения которых нет даже в самом толстом кулинарном руководстве. Давайте именно с этой точки зрения подойдем к процессу чаепития, а точнее — к процессу подготовки к нему.

Начнем с эксперимента. Поставим два совершенного одинаковых чайника с равными количеством холодной воды на конфорки одинаковой мощности. Один из них закроем крышкой, а второй оставим открытым. Какой чайник закипит раньше?

Ответ на этот вопрос знает любая опитная хозяйка. Желая вскипить воду побистее, она, не задумываясь, накрывает кистрюю крышкой, и на поставленный вопрос сразу ответит, что скорее закипит чайник, накрытый крышкой. Ну что же, убедимся в ее правоте — вначале опитным путем, дждавшись кипения наших чайников, а потом обясним результат поставленного опита с точки зрения молекулярной физики.

Пока чайники нагреваются, поставим на третью конфорку плиты еще один точно такой же чайник с тем же количеством холодной воды, что и первыше два, и попробуем его вскипить быстрее (при той же мощности конфорки). Для этого нужно каким-либо способом быстро повысить температуру воды в нем, «обогнав» ее нагрев в двух первых чайниках. Например, опустить в чайник еще и кипятильник. Ну, а если кипятильник нет?

Вспомним, что для того чтобы повысить температуру воды в какой-либо емкости, в нее достагоно добавить более горячей воды. Можно быть, такой приемускорит закипание воды в третьем чайнике? Отнюдь. Не только неускорит, но еще и замедлит. Чтобы убедиться в этом, представим себе, что вода массой $m_1$ , находившаяся perвоначально в чайнике при температуре $t_1$ , не смешивается и не обменывает теплом с долитой горячей воды массой $m_2$ и температурой $t_2$ ( $t_2 > t_1$ ). Тепло, которое необходимо было perвоначально передать воде массой $m_1$ для доведения ее до кипения (до температуры $t_1$ ) — $Q_1 = cm_1(t_1 - t_1)$ . Тепрьже придется дополнительно разогреть от $t_2$ до $t_1$ еще и допитую горячую воду массой $m_2$ . Поэтому полное количество теплоты составляет

$Q = cm_1(t_1 - t_1) + cm_2(t_1 - t_2).$

(Понятно, что нашей «абсурдное» предположение о том, что порции воды остались неперемешанным, никак не повлияло на закон сохранения энергии в системе, а лишь позволило нам рассмотреть явление процесса и быстрее.)

Пока мы безупресно возились с третьим чайником, первией, с закрытой крышкой, уже начинает «петь». Попробуем выяснить причину этого заккомого всем звука и оценить его характерную часть.

Первой причиной можно предположить колебания жидкости, возникшие при отрыве пузырьков пара от дня и стенок сосуда. Эти пузырьки чаще всего зарождаются на недорогодостях и микротрещинках поверхности. Характерные размеры пузырьков до закипания воды порядка 1 мм (при кипении они значительно возрастают и могут доходить до сантиметра). Для оценки частоты возникающего звука нам нужно найти время отрыва пузырьков от дня т. Именено это время характеризует длительность толчка, который получает жидкость в процессе отрыва пузырька, и, следовательно, период возникающих в жидкости колебаний. Соответствие, час-

тоа генерируемого звука определяется величины, обратной этому времени: $v \sim \tau^{-1}$ .

Пока пызырек пребывает на дне в покое, на него действуют выталкивающая его вверх сила Архимеда $F_A = \rho_B g V_\pi$ ( $V_\pi$ — объем пызырка) и удерживающая его на дне сила поверхностного натяжения. Заведом малой силой тяжестии мы преберегаем. По мере увеличения объема пызырка сила Архимеда возвращает и в некоторый момент становится большие силы поверхностного натяжения. Пузырек начинает свое движение вверх. Понятно, что полная сила, действующая на пызырек в процессе его отрыва от дна, по порядку величины равна $F_A$ . Масса пызырка, движущегося в жидкости, определяется не его собственнойничтожно малой массой (массой заключенного в нем воздействия и пара), а так называемой «присоединенной» массой, которая для сферического пызырка составляет $m^* = \frac{2}{3} \pi r_0^3 \rho_\pi$ (в этой формуле $\rho_\pi$ — плотность жидкости, а $r_0$ — радиус пызырка). Величина $m^*$ фактически определяет ту массу жидкости вокруг пызырка, которая оказывается вовлеченной в движение при перемещении пызырка.

Таким образом, для ускорения пызырка на начальном этапе движения находится:

$a \sim \frac{F_A}{m^*} = \frac{\rho_B g \cdot \frac{4}{3} \pi r_0^3}{\frac{2}{3} \pi r_0^3 \rho_B} = 2g.$

Время отрыва пызырка от дна можно теперь оценить, считая его движение равноускоренным. На расстояние порядка своего размена он поднимается за время:

$\tau_1 = \sqrt{\frac{2r_0}{a}} \sim 10^{-2} \text{ с.} \quad (*)$

Соответствующая характеристика генерируемого при отрыве пызырков звука составляет $v_1 \sim \tau_1^{-1} \sim 100$ Гц.

Существует и вторая причина шума, возникающего при нагревании воды в чайнике. Для того чтобы добраться до нее, проследим судьбу пызырка пара после его отрыва от дна. Всплывая, пызырек попадает в еще не достаточно прогреты вверхные слоны воды. Заполняющий пызырек насыщенный пар при этом охлаждается, его давление падает и уже не может компенсировать внешнего давления на пызырек со стороны воды. В результате пызырек быстро схлопывает — в жидкости распространяется звуковой импульс.

Оценим характерную часть генерируемого при отрыве пызырков звука. Запишем уравнение Ньютона для массы воды $m$ , устремляющийся внутри пызырка при его схлопании:

$ma = F_\pi = S \cdot \Delta p.$

Здесь $S = 4\pi r^2$ — площадь поверхности пызырка, на которой действует сила давления $F_\pi$ , а $\Delta p$ — разность давления на границе пызырка, $a$ — ускорение движения границы к центру пызырка. Понятно, что в процессе такого схлопивания ввлечена масса воды, по порядку величины равна произведению плотности воды на объем пызырка: $m \sim \rho_B r^3$ . Таким образом, уравнение Ньютона может быть переписано в виде

Клапейрона:

$\rho_{\pi} = \frac{p_{\text{нк}} \mu_{\text{H}_2\text{O}}}{RT_{\kappa}} \approx 0,6 \text{ кг/м}^3.$

Таким образом, для скорости вытекания пара из носика получаем окончательно:

$v = \frac{PRT_{\kappa}}{rp_{\text{нк}} \mu_{\text{H}_2\text{O}} s}.$

Подставляя для оценки $P=500$ Вт, $s=2$ см $^2$ , $r=2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг, $p_{\text{нк}}=10^5$ Па, находим, что $v \sim 1$ м/c.

И вот, наконец-то, закипел чайник с открытой крышкой. Он заметно отстал от первого. Кстати, chimать с плиты его следует с осторожностью — можно здорово обжчься паром. А что обжгает сильнее — пар или кипятак? Прежде чем ответить на этот вопрос, следует его уточнить: что сильнее обжгает — определенная масса кипятка или такая же масса пара? Обратимся снова к оценкам.

Пусть объем, занятый насыщенным стогадусным паром под крышкой чайника, составляет $V_1=1$ л и, скажем, одна десята его часть при открывании крышки сконденсируется на руке. Как мы уже выяснили, плотность пар при $t_{\kappa}=100^\circ\text{C}$ составляет 0,6 кг/м $^3$ . Поэтому на руке оказывается около 0,06 г пара. При конденсции и последующем охлаждении от 100 °C до температуры тела $t_0$ ( $t_0 \approx 37^\circ\text{C}$ ) выделится тепло $\Delta Q = rm_{\pi}+cm_{\pi}(t_{\kappa}-t_0) \approx 150$ Дж. Легко убедиться, что для того же теплого воздуха понадобится почти вдесят раз большая масса кипятка. Кроме того, при охоте паром значительное большей оказавется площадь поражения. Таким образом, пар обжгает сильнее кипятка в первую очередь из-за выделяющегося при конденсции значительного теплла.

Но мы отвлеклись от обсуждения результата нашего опыта с двумя чайниками. Почему же все-tаки отстал чайник с открытой крышкой? Разберемся в этом подробнее. Ответ почти оченьiden: в процессе нагрева воды в открытом чайнике наболее быстрый ее молекулы имеют возможность беспрерывственного покидать чайник, унося с собой энергию и как бы охлаждая этим оставшуюся в чайнике воду (этот процесс не что иное, как испарение). Поэтому нагревалено в этом случае приходится не только довести воду в чайнике до кипения, но и часть ее испарить в процессе нагрева. Понятно, что на это уходит больше количества энергии (а следовательно, и времени), чем при кипячении воды в закрытом чайнике, где выравнивается из воды «быстры» молекулы очень скоро образуют в замкнутом пространстве под крышкой насыщенный пар и, возврашаясь в воду, отдают свою избыточную энергию обратно.

Однако имеют место и два эффектива, противодействующих расстоянию. Во-первых, в процессе испарения несколько уменьшается масса воды, которое следует доводить до кипения. Во-вторых, кипение в открытом чайнике при нормальном атмосферном давлении наступает при температуре 100 °C, а в закрытом — при более высоком температуре. Действительно, если чайник наит так, что пары не могут выходить через носик, из-за интенсивного испарения перед кипением давление у поверхности повышается, поскольку оно теперь опередляется суммой парциальных давлений наодящегося под крышкой небольшого количества воздуха и са-

$\frac{\rho c S}{P} \sqrt{r} e^{-\frac{\mu H_2 O}{RT}} \cdot \Delta T.$

При нагревании чайника температура меняется от комнатной до $T_k=373$ К. Принимая во внимание, что основная потеря массы происходит при достаточно высоких температурах, подставим в экспоненту некую среднюю температуру $T=350$ К. Для остальных величины применем: $\Delta T \approx 80$ К, $S \approx 10^{-3}$ м $^2$ , $\rho = 10^3$ кг/м $^3$ , $\mu H_2 O = 0,018$ кг/моль, $c = 4,19 \cdot 10^3$ Дж/кг. С учетом этих значений найдем, какая часть воды испаряется в процессе нагревания открытого чайника.

$\frac{\Delta M}{M} \sim \frac{\rho c S}{P} \sqrt{r} e^{-\frac{\mu H_2 O}{RT}} \cdot \Delta T \sim 3 \cdot 10^{-2}.$

Таким образом, в процессе нагревания чайника без крышки его покидает несколько процентов всей массы воды. Испарение всей этой массы воды идет за счет нагревателя и, естественно, удлиняет процесс закипания открытого чайника. Чтобы понять, на сколько, достаточно заметить, что такое испарение для нагревателя эквивалентно доведению до кипения 1/4 массы воды в чайнике (убедитесь в этом сами).

Тепер перейдем к рассмотрению эффективов, заменяющих закипление открытого чайника. О первом из них — неизменности массы в процессе нагревания — и говорить нечего. Только что было сказано, что испарение 3 % массы эквивалентно нагреву 25 % массы, так что необходимо нагрева эти 3 % в закрытом чайнике можно пренебреть.

Второй эффектив — повышение давления под закрытой крышкой — также не может составить конкуренции испарению воды из открытого чайника. Действительно, избежать (по сравнению с атмосферным) давление под крышкой не может превысть в esa крышки, относного к его площади (в противном случае крышка начинает подрыгивать, выпуская пар):

$\Delta p \leq \frac{m_k g}{S} \sim \frac{3 H}{10^{-3} M^2} \sim 3 \cdot 10^3 \text{ Pa}.$

Взглянув еще раз в приведенную выше таблицу (см. с. 11), видим, что также повышение давления с неокотого давления; до этого момента она герметична. В результате испарения жидкости в замкнутый объем давления в картриле повышаетсяprimерно до $1,4 \cdot 10^5$ Па, когда сраввается клапан, и температура кипения сди-

гается до $t^*_{\text{к}} = 108 \,^{\circ}\text{C}$ (см. ту же таблицу на с. 11). Это позволяет свариить пшщу гораздо быстрее, чем в обычной частрюле.

Но мы заговорились, а чайники на плите исходят паром. Сняв чайник с закрытой крышкой с плиты, вы видите, что кипеть он перестает не сразу — неокторое время из его носика еще вырывается струя пара. Какая же часть воды выкипает после снять чайника с плиты?

Для того чтобы ответить на эти вопросы, обратимся к рисунку, на котором показано распределение температуры воды по высоте при кипении ее в сосуде, к которой через дно подводится тепло. Из рисунка видно, что тонкий придонный слой воды толщиной $\Delta h \approx 5$ мм сильно перегрет — на его протяжении температура падает от $t_{\text{л}} = 110 \,^{\circ}\text{C}$ до $t_{\text{м}} = 100,5 \,^{\circ}\text{C}$ . Температура остальной массы воды в чайнике (мы предполагаем уровень воды $h = 10$ см) около $100,5 \,^{\circ}\text{C}$ , а у свободной поверхности жидкости пронсходит скачок температуры на $\Delta t = 0,4 \,^{\circ}\text{C}$ . Таким образом, после прекращения подачи тепла в массе воды запасено избыточное относительное равновесного количества тепла

$\Delta Q_1 = c\rho S_{\text{л}} \cdot \Delta h \frac{t_{\text{л}} - t_{\text{м}}}{2} + c\rho S_{\text{л}} (h - \Delta h) \cdot \Delta t,$

где $S_{\text{л}}$ — площадь дна чайника (который мы предполагаем цилиндрической формы). Это тепло поддет на испарение массы $\delta m$ жидкости:

$S_{\text{л}} \rho c \left( \Delta h \frac{t_{\text{л}} - t_{\text{м}}}{2} + (h - \Delta h) \cdot \Delta t \right) = r \cdot \delta m = \rho S_{\text{л}} \cdot \delta h \cdot r,$

где $\delta h$ — понжение уровня жидкости в результате этого

Temperature graph

А стаканы как сосуды для питья чаев в обиход в XIX веке в связи с дороговизной фарфоровых чаек. Эти произведения декоративного искусства уступались желанием, а мужчины пили чай из стеклянных стаканов, которые постепенно обзавелись сербрянными подставками с вензелем хозяйна.

В заключение подумайте, хорошо ли с физической точки зреня серебро и аломиний в качестве материалов для изготовления подставников? Каким требованием должен в первую очередь удовлетворять материалы, из которой делается подставник?