Работа, энергия, тепло

55

Работа, энергия, тепло

Кандидат физико-математических наук
А. И. БУЗДИН,
кандидат физико-математических наук
С. С. КРОТОВ

Значительное число задач на вступительных экзаменах по физике касается процессов превращения механической энергии в тепловую и наоборот. Впервые цикл таких задач появляется в разделе «Механика» школьного курса физики при изучении механических движений, в которых необходимо учитывать силы трения, при рассмотрении неупругих соударений тел и т. п. Второй раз школьники встречаются с аналогичными задачими в разделе «Тепловые явления. Молекулярная физика» при знакомстве с различными тепловыми процессами, с работой тепловых движателей и т. д.

Превращение механической энергии в теплую

В основе решения задач на эту тему лежит закон сохранения энергии, формулированный в виде: при взаимодействии тел в замкнутой системе выделившее количество теплоты равно разности механической энергии системы до и после взаимодействия.

Задача 1. Пула массой m, легшая горизонтальная со скоростью v,астревает в мешке с песком, движущемся ей навстречу со скоростью u. Определите выделившее при этом количество теплоты.

При решении этой задачи будем считать, что процессастревания пуля в мешке с песком происходит настолько быстро, что изменением потенциальной энергии пуля можно пренебречь (это будет иметь место, если сила, действующая на пуля со стороны мешка с песком, значительное больше силы тяжестей пуля). Тогда, в соответствии с законом сохранения энергии, выделившее при «торможении» пуля количество теплоты бу-

57

Как «работает»
первый закон термодинамики

Напомним, что этот закон является частью случая закона сохранения энергии в применении к тепловым процесам. Вот его формулировка: изменение внутренней энергии ($\Delta U$) термодинамический системы при переходе ее из одного состояния в другой равно сумме количества теплоты ($Q$), переданного системе, и работы ($A$) внешних сил, т. е.

$$\Delta U = Q + A.$$

Первый закон термодинамики можно записать несколько иначе:

$$Q = \Delta U + A'$$

где $A'$ — работа системы над внешними телами.

Про каждое состояние можно сказать, что ему отвечает тот или иной запас внутренней энергии. Однако нельзя сказать, что в системе содержится определенное количество теплоты или работы. Как количество теплоты, так и работа характеризует процесс изменения энергии системы, и поэтому для одного и того же $\Delta U$, но для разных процессов и $Q$ и $A$ разные.

Задача 3. В теплозолыновном цилиндре с поршнем нахождения азот массой $m=0,2$ кг при температуре $t=20^\circ C$. Азот, расширясь, совершает работу $A'=4,47$ кДж. Найдите изменение внутренней энергии азота и его температуре после расшириения. Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме $c_V=745$ Дж/(кг·К).

Подвода теплка к газу не производится — ведь цилиндр теплозолынован. Поэтому первый закон термодинамики позволяет записать:

$$0 = \Delta U + A'$$

т. е.

$$\Delta U = -A' = -4,47$$ кДж.

В этом случае изменение внутренней энергии газа отрицательно — азот охлаждается.

Зная теплоемкость при постоянном объеме и изменение внутренней энергии, мы легко можем найти изменение температуры газа. Действительно, при постоянном объеме газ работы не совершает ($p\Delta V=0$), и подводимое количество теплоты $Q = c_V m\Delta T$ совпадает с изменением внутренней энергии $\Delta U$:

$$\Delta U = c_V m\Delta T.$$

Отсюда найдем изменение температуры газа $\Delta T = t_2 - t_1$ (зесь все равно, какой температурой шкалой пользоваться — Цельсия или Кельвина) и температуру азота после расшириения:

$$t_2 = t_1 + \frac{\Delta U}{c_V m} = t_1 - \frac{A'}{c_V m} = -10^\circ C$$ (или $T_2=263$К).

Задача 4. На $p-V$-диаграмме (рис. 2) изображен процесс расшириния газа, при котором он переходит из состояния 1 с давлением $p$ и объемом $V$ в состояние 2 с давлением $p/2$ и объемом $2V$. Найдите количество теплоты, которое сообщили этому газу. Линия 1—2 — отрезок прямой.

Основным моментом при решении этой задачи является вывод о том, что начальная и конечная температуры газа одинаковы. Действительно, произведение $pV$ и $(p/2)(2V)$ равны, а значит, равны и температуры (воспомним закон Мендлеева—Клапейрона). Но сколько не изменяется температура газа, не изменяется также и его внутренняя энергия (см. решение предыдущей задачи): $\Delta U=0$. Тогда из первого закона термодинамики следует, что сообщенное газу количество теплоты равно работе, совершенной газом: $Q=A'$. На $p-V$-диаграмме работа изображается защищенной на рисунке плоскостью трапеции, поэтому

$$A = \frac{1}{2} \left( p + \frac{p}{2} \right) (2V-V) = \frac{3}{4} pV.$$

Задача 5. Над газом совершают два тепловых процесса, переводя его из одного и того же начального состояния и нагрева до одинаковой

58

конечной температуры (рис. 3). При каком процессе газу сообщается больше количество теплоты?

Прежде всего представим процессы на $p - V$-диаграмме. Заметим, что конечные точки $1(p_1,V_1)$ и $2(p_2,V_2)$ лежат на одной изотерме (пунктирная линия на рисунке). В соответствии с первым законом термодинамики подводимое к газу количество теплоты равно сумме совершенной газом работы и изменения его внутренней энергии. Поскольку иначе, и конечные температуры для обихх процессов одинаковы, изменения внутренней энергии тоже одинаковы. Следовательно, подводимое количество теплоты будет больше в том процессе, в котором газ совершает большеую работу.

Вычисляя площадь соответствующих границ (см. решение предыдущей задачи), находим, что работа в первом процессе равна

$$A_1 = \frac{1}{2}(p_0 + p_1)(V_1 - V_0),$$

а во втором —

$$A_2 = \frac{1}{2}(p_0 + p_2)(V_2 - V_0).$$

Учитывая, что конечные точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, т. е. $p_1V_1 = p_2V_2$, можно записать

$$2(A_1 - A_2) = p_0(V_1 - V_2) + V_0(p_2 - p_1) = (V_1 - V_2)\left(p_0 + p_1\frac{V_0}{V_1}\right).$$

Таким образом, разность работы положительная, если $V_1 > V_2$, и полный ответ на поставленный вопрос следует: большее количество теплоты подводится в том процессе, где конечный объем газа больше.

Задча 5. Телловая машина имеет коэффициент полезного действия

$$\eta = \frac{A}{Q_\pi} = \frac{Q_\pi - Q_{\text{от}}}{Q_\pi} = 1 - \frac{Q_{\text{от}}}{Q_\pi}.$$

Вначале $\eta = 20\%$, и отношение $Q_{\text{от}}/Q_\pi$ равно 0,8. Затем количество теплоты, потребляемое за цикл, увеличилось на 40% и стало равным $Q'_\pi = 1,4Q_\pi$, а количество отдаваемой холодильнику теплоты уменьшилось на 20%, т. е. стало равным $Q'_\pi = 0,8Q_{\text{от}}$. Таким образом, новое отношение $Q'_\pi/Q'_\pi = 0,8Q_{\text{от}}/1,4Q_\pi \approx 0,46$, и КПД машины стала

$$\eta' = 1 - 0,46 \approx 0,54,$$

т. е. увеличился и теперь составляет примерно 54%.

Упражнения

1. Моль идеального одноатомного газа с начальной температурой $T = 600$ К адиабатическая увеличивает свой объем в 3 раза. Какую работу совершает при этом газ, если в теплом процессе, при котором давление линейно изменяется с объемом, газу при расширении из того же начального в то же конечное состояние было подведено количество теплоты $Q = 1,9$ кДж?

2. В цилиндрическом сосуде под поршнем при температуре $T$ находится насыщенный водной пар. При изотермическом вдвигании в сосуде поршня выделилась количество теплоты $Q$. Найдите совершенную при этом работу. Молярная масса пара М, удельная теплота плавания льда $r$.

3. За время $t = 1$ ч в холодильнике превращается в лед при температуре $t_0 = 0^\circ\text{C}$ масса воды $m = 3,6$ кг, имеющая начальную температуру $t = 20^\circ\text{C}$. Какая мощность потребляется холодильником от электросети, если он отдаёт в окружающей пространство в единицу времени энергии $Q_\tau = 840$ Дж/с? Удельная тепловимость воды $c = 4,2$ кДж/(кг·К), удельная теплота плавания льда $\lambda = 0,33$ МДж/кг.