48
Об одной рекуррентной последовательности
В. В. ГУРАРИЙ, К. А. СТЫРКАС
(ученки 10 кл.)
В журнале «В мире науки» № 3 за 1984 год была опубликована статья Брайана Хэйса «Взлеты и падения чисел-градиин». В этой статье расссказывалось об одной интерсейной задаче о числовых последовательностях. Мы хотели бы расссказать о ней и о некоторых любопытных результатах, связанных с попытками ее решения.
Формулировка этой задачи предельно проста. Возьмем некоторое натуральное число. Если оно четное, разделим его на 2, в противном случае умножим на 3 и прибавим 1. С полученным числом снова повторим те же операции. Вопрос задачи состоит в следующем: как будет выгладеть полученная последовательность в зависимости от начального числа?
Вообщее можно ожидать две возможности: либо данная последовательность является расходящей, то есть получаемые числа будут неограниченно увеличивать, либо после каждого-то количества операций мы получим число, уже равное встречавшееся в нашей последовательности. В этом случае числа в ней начнут периодически повторяться, и данная последовательность «зациклистя».
Рассмотрим самое первое натуральное число — единицу. Наша последовательность будет такой: 1→4→2→1. Далее все повторяется сначала. Числа 2 и 4 рассматриваются не имеет смысла, так как они уже встречались, и новый последовательность чисел мы не получим.
Перейдем к числу 3. Как нетрудно убедиться, за ним следует числа 10, 5,16,8,4,2,1,… Мы снова пришли к замкнутому циклу 1,4,2,1,…