Преобразования плоскости в задачах на построение

Квант 1987, №8 с. 40-42 Тег 4OJV

Математика 8, 9

Стация «Преобразование плоскости в задачах на построение» предназначена в первую очередь для воспользования, а статья «Нераавенство Коши — Буняковского» — для девятиклассников.

Преобразование плоскости в задачах на построение

В этой заметке мы рассекjem об одном способе преобразования плоских на построение — самом простом, но, пожалуйста, и самом распространном. Начнем с обсуждения двух задач из «Кванта» №1 (с. 36).

Задча 1. Даны прямая и две окружности по разные стороны от нее. Построите квадрат, диagonаль которого лежит на данной прямой, а концы других diagonali — на данные окружности.

Пусть вершины A и C искомого квадрата ABCD лежат на данной прямой l, а вершины B и D на данные окружности ω₁ и ω₂ (рис. 1; мы предполагаем, что окружности ω₁ и ω₂ не симметричны относительно прямой l). Поскольку точки B и D должны быть симметричны относительно прямой l и D∈ω₁, точка B должна лежать на окружности ω₁’, симметричной окружности ω₁ относительно l. Построив окружность ω₁’ и найти ее точки пересечения с ω₂ (их может быть две, одна или ни одной — и столько же решений имеет задача), получим возможность положения вершины B. После этого найти остальные вершины уже совсем легко.

Задча 2. Даны точка A, окружность и прямая. Построите квадрат ABCD такой, что на данной окружности лежит его вершина B, а на данной прямой — вершина C.

Рис. 1.

Здесь, как и в задаче 1, нужно догадаться, что вершина $C$ получается из вершины $B$ при выполнении преобразования $F$ плоскости; это преобразование состоит в последовательном выполнении поворота на $45^\circ$ вокруг центра $A$ ( $\angle BAC = 45^\circ$ ) и готовии с коэффициентом $AC/AB = \sqrt{2}$ и центром $A$ (порядок, в котором выполняются поворот и готовтия, в данном случае поля не играет; говорят, что $F$ — это композиция указаных поворота и готовтии*). Таким образом, для решения задачи достаточно построить окружность $\omega' = F(\omega)$ , т. е. образ данной окружности $\omega$ при преобразования $F$ , и взять в качестве вершины $C$ любую из точек пересечения окружности $\omega'$ с данной прямой. Центр $O'$ окружности $\omega'$ можно построить как вершину прямого равноведренного треугольника $AOO'$ ( $\angle AOO' = 90^\circ$ ), а радиус окружности $\omega'$ в $\sqrt{2}$ раз больше радиуса окружности $\omega$ . Отметим, что поворот на $45^\circ$ можно делать как по, так и против часовой стрелки; при этом получается два преобразования $F_1$ и $F_2$ , которые отвечают две окружности $\omega'$ и $\omega''$ , так что задача может иметь от 0 до 4 решений (рис. 2).

Обе эти задачи укладываются в следующую схему (рис. 3):

Заданы две фигуры $M_1$ и $M_2$ и некоторое преобразование плоскости $F$ ; требуется найти на этих фигурах такие точки $X$ (на $M_1$ ) и $Y$ (на $M_2$ ), что при преобразования $F$ точка $X$ переходит в точку $Y$ .

Для решения надо построить фигуру $F(M_1)$ , в котором переходит фигура $M_1$ при преобразования $F$ , и найти ее пересечение с фигурой $M_2$ ; тогда $Y$ — это любая из точек пересечения фигура $M_2$ и $F(M_1)$ , а $X = F^{-1}(Y)$ , где $F^{-1}$ — преобразование, обратное к $F$ .

Конечно, преобразование $F$ , а часть и фигуры $M_1$ и $M_2$ не задаются в явном виде. Их надо уметить «выудить» из условия — и здесь все уже зависит от искусства решения. Чтобы найти читательным было легче ориентироваться, приведем полный список, названия и обозначения всех преобразований подобия и, в частности,

*) О композиции преобразования можно прочитать, например, в учебном пособии: Геометрия 6—8 под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1980.— С. 191.

Двijженный плоскости. (Некоторые из них не изучаются в школе, но являются композициями преобразования, известных из курса 7-го класса.)

Двijжения:
параллельный перенос $T_a$ на вектор $a$ ;
поворот $R_a^\alpha$ на угол $\alpha$ вокруг центра $O$ ;
освязывает симметрия $S_l$ с осью $l$ ;
скользацая симметрия $S_l, a = T_a^\circ S_l$ , где $l \parallel a$ , — композиция осей симметрии и параллельного переосвольства оси ( $\circ$ — знак композиции).
Преобразование подобия, не вошедшие в список движений:
гомотетия $H_o^k$ с центром $O$ и коэффициентом $k$ ;
поворотная homotетия (по другой терминологии спиральное подобие) с центром $O$ , углом $\alpha$ и коэффициентом $k$ — это композиция $H_o^k \circ R_o^\alpha$ homотетии и симметрии относительно оси, проходящей через центр homotетии.
Для удобства некоторых преобразования мы включили в этот список фактически дважды (поворот, освязываемая симметрия и homotетия являются частными случаями других преобразований — каких?), однako можно доказать, что здесь перечислены все возможные преобразования подобия плоскости.

По нашей схеме фигуры $M_1$ , $M_2$ и преобразование $F$ в задаче 1 — это данные окружности и симметрия относительно прямой, а в задаче 2 — окружность, прямая и поворотная homotетия $H_a^\alpha \circ R_a^\alpha$ .

Рассмотрим теперь две задачи, в ко-

торых наша схема пространства не столять явно.

Задача 3. Вписите параллелограмм, подобный данному, в другой данной параллелограмм так, чтобы на каждой стороне описано параллелограмма лежала одна вершина вписанного.

Пусть ABCD — данный описанный параллелограмм, а KLMN — искомый вписанный (рис. 4). Их центры должны совпадать, поскольку при центральной симметрии относительно центра параллелограмма KLMN параллелограмм ABCD должны перейти в себя. Следовательно, центр O искомого параллелограмма нам известен; известны также $\angle KOL = \alpha$ и отношение $LO:KO = k$ , поскольку задана форму параллелограмма KLMN. А это значит, что можно применить нашу схему, взяв за $M_1$ и $M_2$ прямые AB и BC, за F — поворотную готовую $H_0^\circ R_0^\alpha$ , а за X и Y — искомые точки K и L ( $L = F(K)$ ). Дальнейшее в разьяснениях не нуждается. Отметим только, что в этой задаче интересно проведи полное исследование.

Задача 4. Построите треугольник ABC, если известны длина его биссергрысы AD и длины сторона AB и AC.

Построим отрезок AD и проведем окружности β и γ радиусов AB и AC с центром A (рис. 5). Это и будет множество M1 и M2, а точки B и C — это точки X и Y в нашей схеме. Что же будет преобразованием F? Согласно теореме о биссергрисе (см., например, «Квант» № 2 за 1985 г., с. 29) отношение $k = CD:DB$ , в котором делится сторона CB основанием биссергрицы, равно отношению AC:AB сторон треугольника, и следовательно, нам известно. А так как $C = H_D^{-k}(B)$ , в качестве F можно взять готовую $H_D^{-k}$ , т. е. C — это точка пересечения окружностей γ и $H_D^{-k}(\beta)$ .

Задачи для самостоятельного решения

Постройте треугольник по биссергрисе и отрезкам, на которые основание биссергрысы делит сторону треугольника.
Постройте окружность с данным центром так, чтобы один из отрезков, соединяющих точки ее пересечения со сторонами данного угла, был параллелен данной прямой.
В два из известных момента времени с коравььями замерены углы между направлениями на два маяка, отмещенные на карте. Нправление и скорость движения коравья также известны. Как найти на карте положения коравья в эти моменты?
Построите треугольник ABC по медиам AA1 и BB1 и углу C.
5 (для читателей, знакомых с инверсей). Вписите в данной параллелограмм ромб данной площади так, чтобы на каждой стороне параллелограмма лежала одна вершина ромба.

В. Н. Дубровский

Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши — Буняковского смело можно отвести к числу популярейших в математике. Не раз появлялось оно и на страницах нашего журнала (см., например, «Квант», 1986, № 12, с. 31). Выглядит неравенство Коши — Буняковского так:

$\begin{align*} |a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n| &\leq \\ \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2}. \end{align*}$

Тем не менее мало где приводится его доказательство. Здесь мы даим одно весма простое доказательство неравенства Коши — Буняковского, обсудим его геометрический смысл и с его помощью еще раз решим одну задачу, предлагавшуюся в 1984 году