Что такое непрерывность

22

ЧТО ТАКОЕ НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Доктор физико-математических наук
В. А. ЕФРЕМОВИЧ

Это основное понятие математики. Оно принадлежит как называемой качественной геометрии, т. е. той части геометрии, которая вовсе не интерсегуется понятыми измерительного характера (расстояниями, длинами, объемами, …). Несмотря на это (а быть может, благодаря этому?), на нем стоит все здание математического анализа и почти вся геометрия.

Эти понятим владелели (на интуитивном уровне) математики древности, но точное определение ему было дано лишь в первой половине XIX века заменить французским математиком О. Коши (1787—1857). Чтобы посянить это определение, нам потребуется

Общее понятие функций

Понятие функций претерпело ряд важных обобщений. Сначала рассматривали только численные функции числового аргумента, например $x^3$, тg $x$, $e^x$, и притом заданные тем или иным аналитических выражением. Позднее выяснились, что последнее не существует. Важно лишь, что каждому значению аргумента $x$ соответствует свое числовое значение функции. Непрерывная функция при этом изображается непрерывной кривой, получаемой движением карандаша без отрыва от бумаги (на рисунке 1 — непрерывная функция, на рисунке 2 — разрывная).

Далее можно рассматривать численные функции точного аргумента, например температуру или атмосферное давление в различных точках пространства. Еще пример. Плоккий участок земли покрыт снегом; тогда высота $h$ снежного покрова в каждой точке $p$ есть значение некоторой функции: $h=f(p)$. Если на участке установлен координаты $x$, $y$, каждая точка получит свое «имя»: $p=(x, y)$, и рассматриваемая функция $f$ может быть записана так: $f(p)=f(x, y)$. Это — функция одной переменной точки $p$, или функция двух числовых переменных $x$, $y$. График этой функции служит поверхность снежного покрова.

Наконец, можно рассматривать (самый общий случай) точную функцию точного аргумента, т. е. отображение $f: X \rightarrow Y$ функуры $X$ в функции $Y$. Таково изобравнение на плоском чертеже пространственной функции, например ortogonalная проекция тела на плоскость. Любую картину художника или фотографию можно рассматривать как функцию (т. е. отображение), где каждой точке $x$ изображается соответствует точке $x'$ изображения. В этом случае $x'=f(x)$ называется образом точки $x$. Таким функциями-отображениями занимались прежде всего художники. Особо ценен вклад Великого Леонардо да Винчи (1452—1519), одного из первых художников, основших математическое теорию перепективы.

Непрерывность

Самое общее понятие функций-отображения позволяет полне наглядно и вместе с тем строго математических

Рис. 1.
Рис. 2.

23

объяснить понятие неперрывности. Для этого сначала рассмотрим пример, где проискит разрыв, т. е. нарушение неперрывности.

Пусть $X$ — резинка для упаковки лекарств, грубая модель окружности. Предположим, что в процессе деформации она вдруг разрывается в некоторой точке $a$. Что это значит? Некоторые ее часть $B$, примыкавшая равные к $a$, т. е. находившаяся от $a$ на нульом расстоянии (пишем $B\delta a$), после разрыва (телер мы ее обозначим $B'$) оказывается неблизкой к $a'$ (новому положению точки $a$ — см. рисунок 3). Итак, разрыв в точке $a$ — это такое событие, когда некоторые часть $B$, близкая к $a$ ($B\delta a$), становится неблизкой к новому положению $a'$ точки $a$: $B\delta a$, но $B'\delta a'$. Телер понятно следующего определения:

Отображение $f$: $X \rightarrow Y$ называется неперрывным в точке $a \in X$, если всякая часть $B \subset X$, близкая к $a$, после отображения переходит в положение $B'$, близкое к $a' = f(a)$, т. е.

$$B\delta a \Rightarrow B'\delta a'.$$

Обозначение $B\delta a$ имеет точный смысл: для всякого сколь угодно малого положительного $\varepsilon$ в фигуре $B$ есть точка $x$ такая, что $xa < \varepsilon$ (здесь $xa$ — расстояние от $x$ до $a$; всуду дальше через $pq$ мы обозначаем расстояние от $p$ до $q$). Аналогично $A\delta B$ означает, что в фигурах $A$, $B$ есть точки $x \in A$, $y \in B$ такие, что $xy < \varepsilon$ при любом положительном $\varepsilon$. Заметим, что две линии e точки не могут быть в этом смысле близкими: если $a \neq b$, то $a\beta b$ (далее $ab = 10^{-100}$).*

Это определениеравносимую классическому определению Коши:

Отображение $f$: $X \rightarrow Y$ неперрывно в точке $a \in X$, если для всякого $\varepsilon > 0$ существует такое $a > 0$, что из $xa < \alpha$ следует $x'a' < \varepsilon$ (здесь $a' = f(a)$, $x' = f(x))$.

Равносильность двух определений доказана в конце нашей заметки.

Если функция неперрывна в каждой точке $x \in X$, то говоря, что она неперрывна на всем множестве $X$.

Это определение, вместе с определением Коши, не так легко освободить. Сам измененный Коши не раз ошибался, нечаяно подменя требование неперрывности более сильным — тем, что теперь называют равномерной неперрывностью. Это весна важный часть случай неперрывности, и мы на нем остановимся.

Равномерная неперрывность

Отображение $f$: $X \rightarrow Y$ называется равномерно неперрывным на $X$, если любые две близкие части $A$, $B \subset X$ переходит при $f$ в близкие части $A'$, $B' \subset Y$, т. е. $A\delta B \Rightarrow A'\delta B'$.

Упражнение. Что отображение

$$tg: \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \rightarrow R$$

не равномерно неперрывно на $(-\pi/2; \pi/2)$. (Здесь найти нужные $A$, $B$ такие, что $A\delta B$, но $A'\delta B'$, труднее: это две последовательности точки, например прообразы множества $A' = \{1, 3, ...\}$, $B' = \{2, 4, ...\}$, $A'\delta B'$.)

Имеется принципиальное различие между понятиями неперрывности и равномерной неперрывности. Первое основано на близости между точкой и множеством, второе на близости между двумя множеством относится к топологии, а близость между множеством — к геометрическим близости, более «тонкой» наук, чем топология. Чтобы понять это различие, приведем лишь один пример. С точки зрения топологии ветвь гиперболы и ее асимптоту нельзя отличить от пары параллельных прямых (любая точка гиперболы не близка к ее асимпти-

*) Определение близости, данное здесь, было впервые высказано автором этой статьи в 1936 году. Понятие близости можно задать аксиоматически, не пользоваться расстоянием, и на его основе построить всю топология. (Причем, ред.)

24

отте!), в то время как эти две пары объектов не одинаковы в геометрии близости (асимпота близка к гиперболе!).

Доказательство равносильности определений непрерывности

Пусть отображение $f: X \rightarrow Y$ непрерывно в точке $a$ по Коши, где $X, Y$ — фигуры, для которых определено расстояние между точками, обладающей общим свойством. Тогда для каждой $\varepsilon > 0$ найдется свое положительное число $\alpha = \alpha(\varepsilon)$, зависящее от $\varepsilon$, такое, что из $ax < \alpha$ следует $a'x' < \varepsilon$. Пусть часть $B \subset X$ близка к $a$; значит для всякого $\alpha > 0$ в $B$ найдется точка $x$ такая, что $ax < \alpha$. Если $\alpha = \alpha(\varepsilon)$, то $a'x' < \varepsilon$, и так как $\varepsilon$ произвольно мало, то $B' = f(B)$ близко к $a' = f(a)$ ($B\delta a \Rightarrow b'\delta a'$).

Пусть, наоборот, известно, что $f$ удовлетворяет первому определению непрерывности.

Числа и функции
(Начало см. на c. 12)

Позному из равенства (9) следует, что и $PQ' : Q$. Но поскольку $(P, Q) = 1$, то $Q' : Q$. Следовательно, степень $Q$ не выше степени $Q'$. Последнее возможно только если $Q$ — константа. Тоно также из (9) следует, что $P$ — константа. Но тогда и $r_0 = P/Q$ — константа. При построном $r_0$ равенство (8) примет вид $nr_0 = 0$, $r_0 \neq 0$. И так как $n \geq 1$, это равенство противоречиво. Теорема доказана.

Упражнение 11. a) Докажите трансцендентность функции
$y = \sin x; y = \sqrt{e^x} + 1$.

6. Приведите примеры трансцендентных функции $f$ и $g$ таких, что $f + g, fg, f(g(x))$ не являются трансцендентными.

b) Докажите, что если $f$ и $g$ — трансцендентные функции, то по крайней мере одна из функции $f + g$ и $fg$ также трансцендента.

В конце § 2 мы попытались найти какую-либо связь irrationalности функции с irrationalностью ее значений — и потерпели полную неудачу. После этого, веройто, уже никакому не придет в голову искать связь трансцендентности функции с трансцендентностью ее значений. Чтобы окончательно снять все сомнения, достаточно рассмотреть функции, график которого изображен на рисунке 5. Эта функция трансцендента, однако принимает при всех рациональных значениях $x$ не только алгебраические, но даже рациональные значения (докажите самостояльно перечисленные свойства этой функции).