Задачи М1106—М1110; Ф1118—Ф1122

25

Задачи

M1106 — M1110, Ф1118 — Ф1122

M1106. Каждый из трех примых, соединяющих середины противоположных сторон выпukлого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три примые пересекаются в одной точке.

В. В. Произволь

M1107. Докажите, что если $a, b$ и $c$ — длины стороны треугольника, то

$$2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3.$$

Л. Д. Курляндчик

M1108. В выпukлом $n$-угольника ($n > 4$) никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наиболее число диагоналей в нем можно проверить так, чтобы все части, на которые они разобьют $n$-угольник, оказались треугольниками?

M. Хованов, ученик 10 кл., Москва

M1109. В одном стором заданияке по геометрии была помещена такая задача: вычислить длину стороны правлого треугольника, высанного в парабoly $y = x^2$. В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной парабoly. Верно ли такое указание? может ли длина стороны правлого треугольника, высанного в эту парабoly, быть равной a) 3; б) 1988?

В. С. Шевелев

M1110. Для данного натурального $n > 1$ выпишем наиболее общие делители всех возможных пар различных чисел от 1 до $n$. Докажите, что а) среднее арифметическое всех $n(n-1)/2$ выписанных чисел неограниченно растет с ростом $n$, но не превыходит $\ln n + 1$; б) их среднее геометрическое не превыходит 10 при любом $n$.

В. Ф. Лев

Ф1118. Рыбак, живший в усте владающей в океан реки, перебрался на новое место жительства на несколько kilометров вверх по течение. К своему удивлению, он обнаружил, что время между началом прилива и началом отлива увеличилось, а время между началом отлива и началом прилива уменьшилось. Как обязывать это обстоятельство?

А. С. Вугов

Ф1119. В узкую кловету с паралельными вертикальными стenkами налили неокоторое количество прикладных осимметрии $O—O$. При неокоторой скоростивращения обнаружется $k$-я часть площади дна. Как при этом изменилась сила давления на дно и на узкие боковые стены (по сравнению со слуаемем неподвижной коветы)? При врашении жидкости не выплескивает. Поверхностным натяжением пренебречь.

Г. С. Ланудс

26

Ф1120. Для сравнения теплопроводности различных материалов предлагалось использовать следующие методы. На горячую плиту ставятся два одинаковых цилиндра из исследуемых материалов (рис. 2). На цилиндрыкладут по кусочку воды. Где скорее воск начнет таять — тот цилиндр и обладает лучшей теплопроводностью. Верен ли этот метод?

А. И. Вуздин

Ф1121. Металлический шар радиусом $r$, удаленный от других предметов, затем через сопротивление $R$. На шар налетает пучок электронов, скорость которых вдали от шара была $v$. В секунду на шар попадает $n$ электронов. Какое количество теплопроводности на шаре за секунду? Каков загадша?

И. Ф. Гинзбург

Ф1122. Известны случаи наблюдания мира моря в пустые. На каком расстоянии от наблюдаателя возникает такой мираж? Считать, что скорость света в приземном слое в пустые меняется по закону $c(z)=c_0(1-az)$, где $c_0$ — скорость света у поверхности земли, $z$ — высота над поверхностью.

В. И. Клячин

Problems

M1106 — M1110, P1118 — P1122

M1106. Each of the three lines joining the midpoints of the opposite sides of a convex hexagon divide its area in half. Prove that these lines intersect at one common point.

V. V. Proizvolov

M1107. Prove the inequality

$$2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3,$$

where $a, b, c$ are the sides of a triangle.

L. D. Kurlyandchik

M1108. No three diagonals of a convex $n$ vertex polygon have a single common point inside it ($n \geq 4$). What largest number of diagonals may be drawn so that all the parts into which they split the polygon are triangles?

M. Khovanov, 10th form student, Moscow

M1109. An old geometry problem book contains the following exercise: compute the length of the sides of an equilateral triangle inscribed in the parabola $y=x^2$. As a hint for finding the solution, the authors claim that one of the vertices must coincide with the parabola’s vertex. Is this correct? Can the side of the inscribed equilateral triangle equal a) 3; b) 1988?

V. S. Shevelev

M1110. For a given integer $n>1$ select all the greatest common divisors of pairs of distinct integers from 1 to $n$.