[Из «Каталога несуществующих объектов»]

71

Задачи
вступительных экзаменов
в различные виды
в 1987 году

Предлагаем подборку задачи вступительных экзаменов по математике и физике в некоторые университеты — Горьковский (1), Донецкий (2), Омский (3), Саратовский (4), Тбилисский (5) и институт — Горьковский политехнический (6), Киевский педагогический (7), Минский радиотехнический (8), Московский архитектурный (9), Томский политехнический (10), Ярославский педагогический (11).

Математика

Алгебра

1(2). Найдите двухначное число, зная, что число его десятков на 4 большие числа его единиц, а произведение этого числа на получимую его цифр равно 153.

2(11). МотошикLIST отправился из пункта A в пункт B, отстоящий от A на 120 км. Обратно он выехал с той же скоростью, но через час после выезда он должен был оставить на 10 мин. После этой остановки он продолжал путь до A, увеличив скорость на 6 км/ч. Какова была первоначальная скорость мотошикLIST, если известно, что на обратный путь он потратил столько же времени, сколько на путь от A до B?

3(7). По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движется две точки. Одна делает полный оборот на 5 с скоре другой и при этом догоняет вторую точку каждой минуту. Найдите скорости точек.

4(7). Найдите скорость и длину поезда, если он проходил mismo неподвижного наблюдаателя с постоянной скоростью в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.

5(7). Два куска латуни имеют (в сумме) массу 30 кг. Первый куском содержит 5 кг чистой меди, а второй куском — 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый куском латуни, если второй содержит на 15 % больше первого?

6(6). Для перевозки 60 т груза на мечеласность использовать несколько грузовиков. Ввиду большого подьема пути на каждый грузовик пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагаюсь, и поэтому потребовалось еще 4 машины. Какое число грузовиков предполагаюсь использовать первоначально?

7(6). Числитель дроби на 2 большие ее значения. Если сложить эту дробь с обратной ей дробью, получится 74/35. Найдите исходную дробь.

8(6). Найдите сумму всех двухначных чисел, кратных 5.

9(6). Докажите точное

$$\sin \alpha - \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}.$$

10. Решите уравнения:

a)(2) $\sqrt{1+4x-x^2} = x-1$;
b)(1) $\lg 5 + (x-2)\lg 0,2 = \lg (26-5^{x-1})$;
b)(1) $\sqrt{\log_5 x^2} + \sqrt{\log_5 x} = \sqrt{2} \log_5 x + 1$;
r)(3) $2x^{1g x} + 3x^{-1g x} = 5$;
d)(3) $2\lg 2 + \left(1 + \frac{1}{2x}\right)\lg 3 - \lg \left(3^{\frac{1}{x}} + 27\right) = 0$;
e)(6) $(\sqrt{3})^x + (\sqrt{3})^{x-10} = 84$;
jx)(9) $2\log_3 (x-2) + \log_3 (x-4)^2 = 0$;
3)(9) $3\sqrt{\lg x} + 2\lg \sqrt{\frac{1}{x}} = 2$;
i)(11) $\sin x (\sin x + \cos x) = 1$;
k)(9) $\sin x \cos x \cos 2x = \frac{1}{8}$;
l)(9) $\cos 2x + \cos^2 x = 0$;
m)(9) $\sin 2x + \sqrt{3} (\sin x - \cos x) - \frac{3}{2} = 0$;
n)(6) $\mathrm{ctg}^4 2x + \frac{1}{\sin^4 2x} = 25$;
o)(7) $2\log_3 (-\sin x) + \log_3 \left(1 - \sin x \times \cos x\right) + 1 = 0$;
p)(7) $2^{3+2\cos 2x} + 4 = 9 \cdot 4\cos^2 2x$;
p)(3) $\frac{2}{\sqrt{3}} (\mathrm{tg} x - \mathrm{ctg} x) = \mathrm{tg}^2 x + \mathrm{ctg}^2 x - 2$;
c)(3) $\sin^2 2x + \sin^2 4x = \sin^2 6x$;

73

конус с радиусом $R$ и высотой $H$.

6(2). Из всех конусов, описанных около шара радиусом $R$, найдите тот, который имеет наименьший объем.

Геометрия

1(11). Сумма углов при основании трапеции равна $90^\circ$. Доказите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

2(6). Площадь прямогольного треугольника равна 54, а катаеты его относятся как 3:4. Определите площадь круга, описанного около треугольника.

3(9). В треугольнике известны длины двух сторон $a$ и $b$ и угол между ними $a$. Найдите длину биссектрисы этого угла.

4(6). Сумма длини диагональной ромба 5, а площадь ромба — 2. Найдите его сторону.

5(9). Около круга, радиус которого равен 4, описан прямогольный треугольник, гипotenуза которого равна 36. Найдите перimeter треугольника.

6(1). $AB$ — диаметр окружности радиусом $r$, $MN$ — хорда. Отрезки $AB$ и $MN$ не пересекаются. Прямые $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $C$, лежащей вне круга, причем $AC=a$, $BC=b$. Найдите $MN$.

7(9). В окружность радиусом $R$ вписан правильный треугольник, в котором вписан круг, а в этот круг квадрат. Определите сторону квадрата.

8(9). Радиусы концентрических окружностей относятся как 7:4, а ширина колба равна 12. Определите радиус меньше окружности.

9(3). Длины оснований трапеции равны $a$ и $b$. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанием трапеции и деляшей ее на две равновеллические фигуры ($a>b$).

10(3). В равновеллический отношение оснований равно 0,75; средняя линия трапеции равна ее высоте и равна 7. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции.

11(3). В основании парамиды лежит прямогольник. Каждое боковое ребро парамиды равно $l$ и составляет смежными сторонами прямогольника углы $a$ и $\beta$. Найдите объем парамиды.

12(11). Основанием парамиды является ромб, сторона которого равна $a$ и острый угол равен $a$. Каждый из двух прямых углов при ребрах основания равен $\phi$. Найдите объем парамиды.

13(7). Боковые ребра правльной треугольной парамиды взаимно перpendикулярны. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

14(1). В прямогольном треугольнике $ABC$ известны длины катетов $a$ и $b$. Точка $O$ находится в плоскости треугольника и удалена от вершин острых углов на расстояние, равное $\frac{5}{8}$ длины гипotenузы, а от вершины прямого угла — на большие расстояние. Найдите расстояние от точки $O$ до вершины прямого угла.

15(6). В признаме $ABCA_1B_1C_1$ точка $M$ лежит на отрезке $[B_1C_1]$ так, что выполяется соответствие $\frac{|B_1M|}{|B_1C_1|} = \frac{2}{3}$. Разложите вектор $\overrightarrow{AM}$ по векторам $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AA}$.

16(7). Шар радиусом $R$ вписан в конус; из центра шара образующую конуса видно под углом $\alpha$. Найдите объем конуса.

17(6). В правильную четырехугольную парамиду со стороны основания $a$ и апфемой $m$ вписан конус. Найдите площадь его полной поверхности.

18(7). Определите ребро куба, вписанного в конус, образующая кторо равна $l$ и наклона к плоскости основания под углом $\alpha$.

19(1). В конус вписаны два касающихся друг друга шара радиусов $r$ и $R$. Найдите площадь части поверхности конуса, заключенной между линиями касания конуса с шарами.

Физика

Механика

1(3). Торможение электропода метро началось на расстоянии $l_0=200$ м от станции. На каком рас-

74

стоянни от станции окажется поезд, идущий со скоростью $v_0=30$ м/с, через $t=7$ с после начала торможения сускорением $a=-5$ м/с²?

2 (1). Звук выстрела и пуля одновременного достигают высоты $H=680$ м. Выстрел произведен вертикально вверх; сопротивление движению пуля со стороны воздуха отсутствует. Какова начальная скорость пуля, если скорость звука $v=340$ м/с?

3 (4). В комедии А. С. Грибоедова «Горе от ума» есть строки:

Строящие бзантрелл я этом господам
На выстрел подъезжать к столцам.
Выразите это расстояние в метрах для случая, когда выстрел произведется из пушки под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту, а верхняя точка траектории полета снаряда находится на высоте $H=3125$ м. Сопротивлением воздуха пребрежь, ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/с².

4 (5). Даны kinematические уравнения движения тела: $x=R \sin \omega t$, $y=R \cos \omega t$. Найдите его траекторию и ускорение (модуль и направление). Каков смысл построных $R$ и $\omega$?

5 (6). Вагон, масса которого $m=16$ т, движясь по инерции со скоростью $v=36$ km/ч, остававливается, пройдя расстояние $l=0,5$ km. Вычислите силу треня.

6 (10). Автомобиль массой $m=2 \cdot 10^3$ кг, движясь из состояния покоя по горизонтальном пути, через $t=10$ с от начала движения достигает скорости $v=20$ м/с. Коэффициент треня $\mu=0,1$. Определите силу тги движателя автоматия. Результат представьте в килоньютонах (кН). Принять $g=10$ м/с².

7 (5). Найдите силу треня, если коэффициент треня $\mu=0,5$, масса тела $m=0,6$ кг, а приложенная под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту сила равна $F=2$ Н (рис. 1).

8 (1). Вниз по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом, груз может скольить равномерно. Какой путь пройдет этот груз до остановки, если ему сообщить начальную скорость $v_0$, направленную вверх на наклонной плоскости?

9 (1). Тело массой $m$ скольит по гладкому горизонтальному столу и расстояние пружину, с помощью которого оно креплится к стене (рис. 2). Найдите наиболее ускорение тела, если его скорость при нераспятой пружине была равна $v_0$. Жесткость пружины $k$.

10 (1). Шарик массой $m$ врашает с постоянной угловой скоростью $\omega$ в горизонтальном плоскости на стержне длиной $l$, жестко закрылном на оси $AB$ (рис. 3). С какой силой действия на стержень?

11 (11). Радиус рукоятки колоденного ворота в 3 раза больше радиуса вала, на которой наматывается трос. Какова линейная скорость конца рукоятки при поднятии ведра с глубины $h=10$ м за $t=20$ с?

12 (6) Определите мощность, развиваемого трактором, если в гору с уклоном $\alpha=30^\circ$ он движется со скоростью $v=10$ м/с. Масса трактора $m=5$ т, коэффициент треня $\mu=0,3$.

13 (4). Самолет массой $m=1000$ кг должен набрать для взлета скорость $v=25$ м/с на полосе длиной $l=100$ м. Считая движение равноускоренным, оцените минимальное значение мощности motorов в момент взлета. Коэффициент треня $\mu=0,02$.

14 (10). С базни высотой $h=30$ м горизонтального брошен камень. Найдите потенциальную энергию камня

75

спустя $t=2$ с после начала движения. Масса камня $m=200$ г. Результат представьте в единицах СИ. Принять $g=10$ м/c$^2$.

15 (8). Шар массой $m$ подвешен на нитей длиной $l$. Такой мятник отклонил от положения равновесия на угол $90^\circ$ и отпустил. При каком значении угла между нитью и вертикально нить оборвется, если известно, что она выдерживает удвоенный вес шара?

16 (8). Упругий мяч падает с высоты $h=2$ м. После каждого удара мяч сохраняет $k=81\%$ энергии. Через какое время мяч остановится?

17 (5). Три одинаковых упругих шарика высят на параллельных нитях одинаковой длины, касаясь друг друга. Один из шариков отклоняют перpendикулярно к прямой, соединяющей центры двух других шариков, и отпускают. Найдите скорости шариков после соударения, если в момент удара налетаются шарики имел скорость $v_0$.

18 (4). В зажатой между двумя телами пружине запасена энергия $W=100$ Дж. Масса одного тела $m_1=900$ г, а другого $m_2=100$ г. Как распределится энергия после освобождения пружины? Предполагается, что пружина отдает эти тематум такой массью энергию.

19 (4). Какое максимальное количество теплоты выделится при стольновении пластинового шара массой $m=200$ г, движущегося со скоростью $v=10$ м/c, с покоящимся шаром такой массью?

20 (1). Тело массой $m$, утонушее в жидкости плотностью $\rho_1$, давит на доно с силой $F_1$. Какая часть тела будет пружена в жидкость плотностью $\rho_2$, на поверхности которого оно плавает?

21 (10). Через какой промежуток времени после начала колебаний смешение точки из положения равновесия будет равно половине амплитуды, если перiod колебаний $T=24$ с, начальная фаза равна нулю, а колебания совершаются по синусoidальном закону? Результат представьте в единицах СИ.

22 (11). Маятник массой $m$ отклонен от вертикали на угол $\alpha$. Какова сила наяжения нити при прохождения магнитом положения равновесия?

Молекулярная физика

1 (11). Какой скорость обладала молекула паров сербра, если угловое смешение в опите Штерна составляет $\varphi=5,4^\circ$ при частоте вращения прибора $n=150$ с$^{-1}$? Расстояние между внутренним и внешним цилиндрами $d=2$ см.

2 (6). Какова максимальная разница между и летом при нормальном атмосферном давлении ($p=10^5$ Н/m$^2$) в массе воздуха, заполняющего помещение объемом $V=100$ м$^3$, если летом температура в помещении повышается до $t_1=30$ °C, а зимой падает до $t_2=10$ °C? Масса киломоля воздуха $M=29$ кг/кмоль, универсальная газовая постоянная $R=8,31\cdot10^3$ Дж/(кмоль·К).

3 (3). Газ изотермический скалли отвервачального объема $V_1=0,15$ м$^3$ до $V_2=0,1$ м$^3$. Давление при этом повышается на $\Delta p=20$ Pa. Каково было первоначальное давление газа?

4 (6). Колба объемом $V=500$ см$^3$, содержащая воздуха, нагревается до температуры $t_1=227$ °C, после чего опускается горлышком в воду. Какая масса воды будет затянута в колбу в момент, когда температура колбы понизится до $t_2=27$ °C? Изменением объема колбы пренебречь.

5 (8). Два сосуда одинаковой экстенсии содержат воздуха: один при температуре $T_1$ и давлении $p_1$, другой при температуре $T_2$ и давлении $p_2$. Сосуды соединяются, и после выравнивания давления и температур воздуха оказывается нагретом до температуры $T$. Какое давление устанавливается при этом?

6 (8). Смешали $V_1=1$ м$^3$ воздуха влажностью $\varphi_1=20\%$ и $V_2=2$ м$^3$ воздуха влажностью $\varphi_2=30\%$. При этом обе порции были взяты при одинаковых температурах. Определите относительную влажность смеси.

7 (10). С какой высоты должен падать град (с температурой $0$ °C), чтобы градиники при ударе о землю расплавились? Сопротивление воздуха не

76

учитывать. Удельная теплота плавления льда $\lambda=3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг, укорение свободного падения $g=10$ м/c$^2$.
Ответы в километрах (км).

Электродинамика

1 (3). В вершинах квадрата со стороны $a$ расположены четыре заряда: два из них равны $+q$ и два $-q$. Определите направность электрического поля в точке пересечения диагональной квадрата. Расстояние всевозможные случан.

2 (5). Два одинаковых металлических шарика радиусом $a$ каждый составляют конденсатор. Расстояние $r$ между шариками настолько велико, что можно принять распределение зарядов на их поверхностях равномерным. Вычислите емкость такого конденсатора, расстояние предельный случай $r \rightarrow \infty$.

3 (11). Заряды $q_1=40$ и $q_2=-10$ икл расположены на расстоянии $l=10$ см друг от друга. Какой надо взять третий заряд и где следует его помещить, чтобы система нахождения в равновесии? Устойчивым или неустойчивым будет равновесие?

4 (10). Шарик, имеющий массу $m=0,4$ г и заряд $q=4,9 \cdot 10^{-7}$ Кл, подвешен на нити в однородном электрическом поле, силовые линейного горизонтальных. На какой угол от вертикали отклоняется при этом нить, если направность поля $E=8,0 \cdot 10^3$ В/m? Результат представьте в градуах. Принять $g=9,8$ м/c$^2$.

5 (6). К проводному кольцу присоединены подводящие провода. В каком отношении точки присоединения делят длину окружности, если общее сопротивление получившейся цепи в 6,25 раза меньше сопротивления кольца?

6 (8). К батарее с ЭДС $\mathcal{E}=6$ В подключены последовательно амператор и волтметр. Когда параллельно волтметру подключили резистор, показание амператора удвоилось, а показание волтметра уменьшилось вдвое. Определите показание волтметра до подключения резистора. Сопротивления резистора и приборов, а также внутреннее сопротивление источника не известны.

7 (10). При силе тока $I_1=4$ А во внешней цепи батареи аккумуляторов выделяется мощность $P_1=18$ Вт, при силе тока $I_2=2$ А — соответствно $P_2=10$ Вт. Определите ЭДС батареи. Результат представьте в единицах СИ.

8 (1). При перемещении заряда $q=20$ Кл по проводнику сопротивлением $R=0,5$ Ом совершена работа $A=100$ Дж. Найдите время, в течение которого по проводнику шел ток, считая его постоянным.

9 (11). Троллейбус массой $m=11$ т движется равномерно со скоростью $v=36$ km/ч. Найдите силу тока в обмотке двигателя, если направление $U=550$ В и КПД $\eta=80\%$. Коэффициент сопротивления движения $\mu=0,02$.

10 (4). Нагреватель электросамовара состоит из двух элементов. При подключении к сети первого элемента вода в самоваре закипает через $t_1=15$ мин, при подключении только второго элемента — через $t_2=20$ мин. Через сколько времени закипит вода в самоваре, если подключит к сети оба элемента: а) последовательно, б) параллельно?

11 (3). Batарая, имеющая ЭДС $\mathcal{E}=60$ В и внутреннее сопротивление $r=4$ Ом, замкнута на внешнюю цепь, потребляющего мощность $P=200$ Вт. Определите силу тока в цепи, padение направления на внешней цепи, сопротивление внешней цепи.

12 (6). Катушка диаметром $d=0,4$ м находится в переменном магнитном поле. При изменении индекции магнитного поля на $\Delta B=127,4$ Тл в течение $\Delta t=2$ с в обмотке катушки возбуждается ЭДС индекции $\mathcal{E}=200$ В. Сколько витков имеет катушка?

13 (11). Скорость самолета с реактивным двигателем $v=950$ km/ч. Найдите ЭДС индекции, возникающего на концах крыльев такого самолета, если вертикальная составляющая индекции земного магнитного поля $B=5 \cdot 10^{-5}$ Тл и размах крыльев самолета $l=12,5$ м.

14 (4). К конденсатору, заряд которого $q=2,5 \cdot 10^{-10}$ Кл, подключена

78

Рис. 1.

д) (0; $\log_3 4/3$); е) [−29/9; −5/3]; ж) (0; 1/4) ∪ (1; 8); з) (−3; −2) ∪ (0; 2); и) (1; 3/2) ∪ (2; 5/2) ∪ (3; ∞); к) (2$^{-\sqrt{2}}$; 1/2) ∪ (1; 2$^{\sqrt{2}}$); л) (1000; ∞); м) (1−$\sqrt{5}$; −1) ∪ (2; 1+$\sqrt{5}$); н) (0, (3−$\sqrt{5}$)/2) ∪ ((3+$\sqrt{5}$)/2; 3) при 0 < a < 1; (−∞; 0) ∪ (3; +∞) при a > 1; (0; (3−$\sqrt{5}$)/2) ∪ ((3+$\sqrt{5}$)/2; 3) при a = 0; ∅ при остальных a.
12. а) {(−5; −7); (7; 5)}; б) {(2; 1)}; в) {(5,5; 0,5)}; г) {(4$^{-2}$; 4$^{-1}$; (4$^{-1}$; 4$^{-2}$)}; л) {(4; 1)}; е) {(11; 5)}; ж) {(5; 27); (−3; 3$^{-2}$)};
з) $\left\{\left(\frac{\pi}{4}(4k \pm 1); \frac{\pi}{3}(6n \pm 1)\right)\right\}$, k, n ∈ Z;
и) $\left\{\left(\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l\right)\right\}$, k, l ∈ Z.
13. $\left(\frac{1-2a^2}{1-a^2}; \frac{a}{1-a^2}\right)$ при a ≠ ±1.
14. a = −4. 15. a = 2. 16. −9, 1.

Аналіз

1. См. рис. 1 (a, б, е).
2. а) $x_{\min} = 1/4$; б) $x_{\max} = 3$; в) $x_{\min} = 1/6$.
3. а) (−∞; 0) и (3; 12) — промежутки убывания (0; 8) и (12; ∞) — промежутки возрастания, x = 0 и x = 12 — точки минимума, x = 8 — точка максимума;

6. (−∞; 0) и (2; ∞) — промежутки возрастания, (0; 1) и (1; 2) — промежутки убывания, $\bar{x} = 0$ — точка максимума, $x = 2$ — точка минимума.

4. $f(x) = f(\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$, $f(x) = f(3) = -9$.
5. $\pi R^2 H/27$. 6. Конус с высотой 4R и радиусом основания $R\sqrt{2}$.

Геометрия
2. 56,25π. 3. $\frac{2ab \cos \tau/2}{a+b}$. 4. $\sqrt{17}/2$. 5. 80.
6. $r(a^2+b^2-4r^2)/ab$. 7. $R/\sqrt{2}$. 8. 16.
9. $\sqrt{(a^2+b^2)/2}$. 10. 5.
11. $\frac{4}{3} l^3 \cos \alpha \cos \beta \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \beta}$.
12. $\frac{a^3}{6} \sin^2 \alpha \mathrm{tg} \varphi$. 13. arccos $\sqrt{2}/3$.
14. $\frac{1}{8} \sqrt{25(a^2+b^2)+48ab}$.
15. $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA}$.

16. $-\frac{1}{3} \pi R^3 \mathrm{tg}^3 \alpha \mathrm{tg} 2\alpha$. 17. $\frac{\pi a}{4} (a+2m)$.
17. $\frac{l\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} + \mathrm{tg} \alpha}$. 19. $4\pi Rr$.

Физика
Механика

1. $l = l_0 - (v_0 t_0 + at_0^2)/2 = 110$ м, где $t_0 = -v_0/a = 6$ с — время до полной остановки поезда.
2. $v_0 = v + gH/(2v) \approx 350$ м/c.
3. $l = 4H \mathrm{ctg} \alpha \approx 21 650$ м.
4. Уравнение траектории: $x^2 + y^2 = R^2$. Это уравнение окружности, радиус которого равен R. Ускорение тела направлено по радиусу к центру окружности и равно по модулю a = $\omega^2 R$, где $\omega$ — круговая частота.
5. $F_{\text{тр}} = mv^2/(2l) = 1,6$ кН.
6. $F_{\tau} = m(\mu g + v/t) = 6$ кН.
7. $F_{\text{тр}} \pi \rho \cos \alpha = F \cos \alpha \approx 1,7$ Н.
8. $l = v_0^2/(4g \sin \alpha)$.
9. $a_{\max} = v_0 \sqrt{k/m}$.
10. $F = m\sqrt{g^2 + \omega^2 l^2}$.
11. $v = 3h/t = 1,5$ м/c.
12. $N = mgv(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \approx 380$ кВт.
13. $N_{\min} = mv(\mu g + v^2/(2l)) \approx 83$ кВт.
14. $W = mg(h - gt^2/2) = 20$ Дж.
15. $\alpha = \arccos 2/3 \approx 48^\circ$.
16. $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \frac{1 + \sqrt{k}}{1 - \sqrt{k}} \approx 12$ с.
17. $v_1 = -v_0/5; v_2 = v_3 = 2\sqrt{3}v_0/5$.
18. $W_1 = W_m^2/(m_1 + m_2) = 10$ Дж;
    $W_2 = W_m^2/(m_1 + m_2) = 90$ Дж.
19. $Q = mv^2/4 = 5$ Дж.
20. $\frac{V_2}{V} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \frac{mg}{mg-F_1}$.
21. $t = T/12 = 2$ с.
22. $T = mg(3 - 2 \cos \alpha)$.

Молекулярная физика

1. $v = 2\pi nd/\varphi = 200$ м/c.
2. $m_2 - m_1 = pVM(T_1 - T_2)/(RT_1 T_2) = 8,1$ кг.
3. $p_1 = \Delta pV_2/(V_1 - V_2) = 40$ Па.
4. $m_B = \rho_B V(1 - T_2/T_1) = 0,2$ кг.
5. $p = \frac{T}{2}\left(\frac{p_1}{T_1} + \frac{p_2}{T_2}\right)$.
6. $\varphi = (\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2)/(V_1 + V_2) \approx 27\%$.
7. $h = \lambda/g = 33$ км.

Электродинамика

1. E = 0, если на концах диагонали находится

79

одномименные заряды, и $E = \sqrt{2}q / (a^2\pi\varepsilon_0)$, если на концах диагонали находится заряды.

2. $C = \pi\varepsilon_0 a(1 + a/r)$.

3. $q_3 = 40$ нКл; этот заряд должен находиться на расстоянии 10 cm от второго заряда и на расстоянии 20 cm от первого заряда; равное неустойчивое.

4. $\alpha = \arctg \frac{qE}{mg} = 45^\circ$.

5. $l_1:l_2 = 1:4$.

6. $U = 2/3E = 4$ В.

7. $\mathcal{E} = \frac{P_2I_1^2 - P_1I_2^2}{I_1I_2(I_1 - I_2)} = 5,5$ В.

8. $t = q^2R/A = 2$ с.

9. $I = \mu mgv / (\eta U) = 50$ А.

10. a) $t = t_1 + t_2 = 35$ мин; b) $t = t_1 t_2 / (t_1 + t_2) \approx 8,6$ мин.

11. Возможны два случая: 1) $I_1 = 10$ А, $U_1 = 20$ В, $R_1 = 2$ Ом; 2) $I_2 = 5$ А, $U_2 = 40$ В, $R_2 = 8$ Ом.

12. $n = \frac{4\mathcal{E}}{\pi d^2(\Delta B/\Delta t)} = 25$.

13. $\mathcal{E} = Blv \approx 165$ мВ.

14. $I_m = 2\pi vq \approx 0,06$ А.

15. $\delta \approx 41^\circ$ (на грани AC луч испытывает полное отражение).

16. $d = h = 0,2$ см.

17. $\varphi' = \arcsin (3/2 \sin \varphi) = 21^\circ$.

Элементы теории относительнойности

1. $\Delta m = kx^2 / (2c^2) = 50$ акг.

Квантовая физика

1. $\lambda = hc / (eU) = 3 \cdot 10^{-7}$ м.

Головоломки

(см. 4-ю с. обл.)

1. Чтобы снять челнок в позиции В надо сначала продеть в него $(k - 1)$-е колюц — это потребует $L_{k-1}$ ходов — и снять $k$-е колюц (1 ход). Получится позиция В, но для меледы с $k - 1$ колюцами. Тепер, чтобы освободить челнок, нужно выполнить еще $L_{k-1}$ ходов. Итак, $L_k = 2L_{k-1} + 1$. Если в исходном положении челнок пройдёт через все $k$ колец (рис. А), то сначала нужно снять с него колюца 1, 2, …, $k - 2$ ($M_{k-2}$ ходов), а затем $k$-е колюц. Заключительная $L_{k-1}$ ходов также же, как в первом служебке. Таким образом, $M_k = M_{k-2} + 1 + L_{k-1}$.

2. Переписав соответствие для $L_k$ в виде $L_k + 1 = 2(L_{k-1} + 1)$ и заменяя, что $L_1 = 1$, получим: $L_k + 1 = 2^k$, т. е. $L_k = 2^k - 1$. Следовательно, $M_k = M_{k-2} + 2^{k-1}$, причем $M_1 = 1$, $M_2 = 2$. Отсюда легко вывести формулы: $M_k = (2^{k+1} - 1)/3$ при нечетном $k$, $M_k = (2^{k+1} - 2)/3$ при четном $k$. Обозначим через $i$ операцию снять $i$-го колюца с челнока, через $i'$ операцию продевания этого колюца в челнок, через $f_k$ — последовательность ходов для освобождения челнока в позиции В. Рассуждая так же, как в задаче 1), получим, что $f_k = f_{k-1} k f_{k-1}$, где $f_{k-1} = i'$ операция, обратная к $f_k$. Поляга $f^{-1} gf = f * g$, можно переписать это равенство в виде $f_k = f_{k-1} * k = (f_{k-2} * (k - 1)) * k = ... = (...(1 * 2) * 3) * ... * (k - 1)) * k$; например, для $k = 3$ $f_3 = 1'2'131'21$. последовательность для снять челнока в позиции А при произвольном нечетном $k$ выглядел так: $13f_25f_4 \dots kf_{k-1}$, а при четном $k - 214f_36f_5 \dots kf_{k-1}$.

Решение задачи 3) оставляем читателем: никаких прицпппальных отличий от случа меледы здесь нет.

Архимедова сила

в литературных произведениях

(см. «Квант» № 5)

1. Архимедова сила не возникает, так как под лодкой нет воды.

2. Плотность соленой воды больше, чем плотность пресной.

3. Плотность воды умешает с повышением температуры.

4. Условие равновесия листа с грузом массой $m - F_A = mg$, (считаем массу листа много меньше массы груза), т. е.

$$\rho_B gV = mg \Rightarrow \rho_B \pi \frac{d^2}{4} \cdot \frac{h}{2} = m;$$

здеся $d \approx 2$ м — диаметр листа, $h \approx 0,07$ м — высота заборчика, $\rho_B \approx 10^3$ кг/м$^3$ — плотность воды. Отсюда $m \approx 110$ кг.

5. $F_A = (m_\pi + m_K) g$, т. е. $\rho_B V_\pi = \rho_\pi V_\pi + m_K$. Объем льдины $V_\pi = Sh$. Положим только ледной равной $h \approx 0,5$ м, массу коровы $m_K \approx 500$ кг. Тогда площадь льдины —

$$S = \frac{m_K}{(\rho_B - \rho_\pi) h} \approx \frac{500}{(1 \cdot 10^3 - 0,9 \cdot 10^3) \cdot 0,5} m^2 = 10 m^2.$$

6. Ратибор сможет опуститься на дно, если действующая на него сила тяжестки будет больше архимедовой силы.

7. $F_A = 10m_3g + \rho_\pi gV_\pi \Rightarrow V_\pi = \frac{10m_3}{\rho_B - \rho_\pi}$.

Если масса зайца $m_3 \approx 3$ кг, плотность дерева (сосны) $\rho_\pi = 0,5 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, то минимальный объем бревна $V_\pi \approx 0,06$ м$^3$.

8. Стебель кугги полон воздушных ячеек.

9. Давление атмосферы убивает с высотой. Давление газа в оболочке воздушного шара тоже умешается по мере подъема (уменьшается температура), но медленнее, чем внешнее давление. Силы давления газа изнутри могут разовять оболочку.

10. Дирижабли не требуют затрата энергии для поддержания их в воздухе.

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» № 5)

1. Чтовы победить Змя-Горьныча, Иван-царевич должны срубить четное число голов. Новые головы появляются лишь при отрубании хвостов. Так как хвостов три, то при отрубании всех хвостов вырастает не меньше двух голов. Значить, чтоное число голов должно быть уже не меньше, чем шесть. Шестой голов получится, если сначала по очереди отрубить каждый по пале хвостов. После этого нужно срубить трижды по пале голов. Всего 9 ударов.

2. Если предположить, что сложение было выполнено, то две последние цифры дают в сумме числа 15, две предпоследние — 13, далее 11, 15 и 13. Сумма этих чисел равна 67; но это — удвоенная сумма цифр первого числа, так что нечетное число получится не

80

Главный редактор —
академик Ю. А. Осипьян

Заместители главного редактора:
В. Н. Боровишки, А. А. Варламов,
В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция:
А. А. Абрикосов, М. И. Башмаков,
В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский,
А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов,
Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко,
В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин,
В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков,
А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов,
Л. Д. Кудрявцев, А. А. Леонович,
С. П. Новиков, Т. С. Петрова, М. К. Потапов,
В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов,
А. П. Савин, Я. А. Смородинский,
А. В. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет:
А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Е. П. Великов,
И. Я. Верченko, В. В. Воздвиженский,
Г. В. Дорофеев, Н. А. Erpmолаева,
А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, В. А. Кирилин,
Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов,
В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева,
Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенко,
И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев,
В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. Н. Вилленкин, А. А. Егоров, Л. В. Кардасевич,
И. Н. Клумова, Т. С. Петрова,
А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформили:
Ю. А. Ващенко, М. В. Дубах, С. В. Иванов, Д. А. Крымов,
Н. С. Кузьмина, Т. Н. Кольченко, Э. В. Назаров,
Е. К. Тенчурина, И. Е. Смирнова, П. И. Чернуский,
В. В. Юдин

Фото представил
Э. Гунченко

Редактор отдела художественного оформления
С. В. Иванов
Художественный редактор Т. М. Макаров
Заведующая редакцией Л. В. Чернова

Корректор М. Л. Медведская

Сдано в набор 15.04.88. Подписано к печати 27.05.88.
T-12536. Вумага 70×100/16. Печать офсетная
Усл. кр.-отт. 27,09. Усл. печ. л. 6,45. Уч.-изд. л. 7,6.
Тираж 197 364 экз. Цена 40 коп. Заказ 928

Ордена Трудового Красного Замени
Чеховский полигraphический комбинат
ВО «Соизполгrafпром»
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphи
и книжной торговли
142300 г. Чехов Московской области

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант»
тел. 250-33-54