Is this conversation helpful so far?

18

HÌNH HỌC
VA CHẠM

I. A. SMORODINSKY,
E A SURKOV

MỞ ĐẦU NGẮN.

Một trong những bài toán thường gặp trong vật lý hiện đại là bài toán tán xạ đàn hồi. Nó thường được đặt ra như sau: cần xác định vận tốc (về độ lớn và hướng) của hai hạt sau khi chúng va chạm và bay tách ra (như người ta nói, bị tán xạ), nếu hướng chuyển động và năng lượng của chúng trước va chạm đã biết.

Va chạm được gọi là đàn hồi nếu nó không kèm theo sự tỏa nhiệt, và có thể coi tổng động năng của các hạt trước và sau va chạm là bằng nhau. Ngoài ra, các hạt tuân theo định luật bảo toàn động lượng.

Khi hai hạt — các phân tử khí hoặc hai nucleon — va chạm với nhau, kết quả va chạm có thể khác nhau. Nếu các hạt bay qua nhau ở khoảng cách đủ lớn,

19

Phía trên: ảnh chụp một cú va chạm không tâm của một quả cầu đang chuyển động với một quả cầu giống hệt đang đứng yên. Các quả cầu tách ra theo góc vuông. Quả cầu đứng yên sau va chạm chuyển động sang phải. Chụp ảnh hoạt nghiệm, tần số chớp sáng — 25 lần mỗi giây.

thì hướng chuyển động của chúng có thể hầu như không thay đổi và quỹ đạo của các hạt chỉ lệch nhẹ khỏi đường thẳng; trong những trường hợp khác, khi các hạt va vào nhau, có thể nói là «đối đầu», hướng chuyển động của chúng có thể thay đổi mạnh. Nếu biết trạng thái ban đầu của các hạt (các vectơ vận tốc của chúng), thì vận tốc của các hạt sau va chạm được xác định nếu ta cho góc tán xạ — góc mà một

Phía dưới: các lần va chạm liên tiếp của proton với những proton khác ban đầu đứng yên. Ảnh được chụp trong buồng bọt chứa hydro lỏng. Dấu vết của các proton bay được nhìn thấy dưới dạng một chuỗi các bong bóng nhỏ li ti.

hạt bị lệch đi khi va chạm (sau đây chúng ta sẽ định nghĩa khái niệm này chính xác hơn).

Mặc dù về nguyên tắc việc tìm mối liên hệ giữa vận tốc của các hạt và góc tán xạ không khó, tuy nhiên các phép tính phải được tiến hành theo đúng trình tự — nếu không thì khá dễ bị rối.

Một phương pháp hình học rất trực quan và thuận tiện để giải các bài toán va chạm dựa trên việc

20

có thể tương ứng mỗi quá trình va chạm với một tứ giác tạo bởi các vectơ vận tốc. Với phương pháp này, việc xác định các góc và vận tốc có thể quy về bài toán giải tam giác đã biết trong lượng giác. Phương pháp này còn thuận tiện ở chỗ có thể khái quát cho những quá trình phức tạp hơn, chẳng hạn các phản ứng hạt nhân, và thậm chí cho việc giải các bài toán trong cơ học của thuyết tương đối. Ở đây chúng ta chỉ xét những bài toán đơn giản nhất.

Để sử dụng phương pháp hình học, cần đưa vào khái niệm không gian vận tốc. Vì vận tốc là các vectơ nên những phép toán có thể thực hiện với chúng rất giống những phép toán được thực hiện với các vectơ độ dời (khoảng cách). Vì vậy, cũng như mọi độ dời có thể tạo thành (hoặc, nếu muốn, lấp đầy) một không gian chung (chúng ta sẽ gọi nó là không gian tọa độ), mọi vận tốc có thể tạo thành một đối tượng hình học tương tự — không gian vận tốc. Chính trong không gian vận tốc chúng ta sẽ dựng và giải các tam giác.

О свойствах пространства скоростей удобнее всего рассказывать, исходя из аналогии с координатным пространством. Поэтому сначала рассмотрим некоторые свойства последнего.

KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ.

Xét một không gian hai chiều, chẳng hạn như sàn căn phòng, được kéo dài về mọi phía đến vô tận.

Nếu trên mặt phẳng có một số điểm (các vật trên sàn), thì để nói về vị trí của các điểm này, ta cần chọn một vật làm mốc — một trong các điểm, chẳng hạn $O$ (hình 1). Khi đó vị trí của bất kỳ điểm nào $A$ đối với $O$ được xác định bởi vectơ bán kính $\vec{OA}$, hướng từ điểm $O$ đến điểm đó, hay nói cách khác, là vectơ dịch chuyển từ điểm $O$ đến điểm $A$.

Nếu muốn nói cho ai đó biết cách tìm điểm $A$, thì ngoài vật mốc $O$, ta còn phải chọn một điểm nào đó $C$ (hình 2), để nói được góc $\alpha$ mà vectơ $\vec{OA}$ tạo với hướng $OC$. Góc này cùng với độ dài của vectơ bán kính $\vec{OA}$ xác định điểm $A$.

Có thể làm theo cách khác: qua điểm $O$ kẻ hai đường thẳng vuông góc nhau $OX$ và $OY$ (các trục tọa độ), trong đó một đường đi qua điểm $C$, và xác định hai số $A_x$ và $A_y$ — các hình chiếu của vectơ $\vec{OA}$ lên các trục tọa độ.

Về sau, chúng ta chỉ xét những đại lượng không phụ thuộc vào hệ tọa độ, —

21

khoảng cách giữa các điểm và góc giữa các đường thẳng. Vì vậy, chúng ta sẽ không cần đưa vào hệ tọa độ.

Nếu chọn làm vật quy chiếu không phải điểm $O$ mà là một điểm nào khác trên mặt phẳng, chẳng hạn điểm $B$ (hình 1), thì vị trí của điểm $A$ đối với $B$ sẽ được xác định bởi bán kính-vectơ $\vec{BA}$, bằng tổng của các vectơ $\vec{BO}$ và $\vec{OA}$. Nói cách khác, nếu chuyển sang vật quy chiếu mới — điểm $B$, được xác định bởi vectơ $\vec{OB}$ — thì để tìm bán kính-vectơ $\vec{BA}$ xác định vị trí của vật $A$ đối với $B$, cần cộng vào vectơ $\vec{OA}$, xác định vị trí của vật $A$ đối với vật quy chiếu ban đầu thứ nhất $O$, vectơ $\vec{BO} = -\vec{OB}$.

Rõ ràng phép cộng đúng các vectơ được biểu diễn bằng hình vẽ hơi khác. Các vectơ được cộng được vẽ xuất phát từ cùng một điểm, tức là dựng vectơ $\vec{BD}$ song song với vectơ $\vec{OA}$ và có độ dài bằng nó (hình 3). Vectơ $\vec{BA}$ được coi là tổng của $\vec{BO} + \vec{BD}$. Nhưng cũng có thể cộng các vectơ theo cách được chỉ ra trong hình 1. Sau này chúng ta sẽ cần chính phương pháp này để cộng các vận tốc.

Các chốt như vậy có đi theo phương ngang hay phương thẳng đứng, xác định các vị trí tương đối của các vật nằm trên mặt phẳng. Bây giờ chúng ta sẽ quan tâm đến các vận tốc tương đối của các vật chuyển động đều và thẳng trên mặt phẳng.

KHÔNG GIAN VẬN TỐC

Đặt trên mặt phẳng một điểm, ký hiệu nó là $V_0$, và các vectơ vận tốc của mọi vật chuyển động đối với vật quy chiếu $O$ được vẽ sao cho gốc của các vectơ này nằm tại điểm $V_0$. Gọi $V_A$ là điểm mà tại đó đầu mút của vectơ vận tốc của vật $A$ đi tới (hình 4). Vì vận tốc là vectơ độ dời trong một đơn vị thời gian, nên các vectơ vận tốc được cộng chính xác giống như các vectơ độ dời. Do đó, nếu chọn làm vật quy chiếu không phải điểm $O$, mà là một vật nào đó khác, chẳng hạn $B$, có vectơ vận tốc đối với $O$ là vectơ $\vec{V}_0\vec{V}_B$, thì vectơ vận tốc của vật $A$ đối với $B$ có thể tìm được bằng cách sử dụng quy tắc cộng vectơ mà chúng ta đã nói đến khi xét không gian tọa độ. Vận tốc của vật $A$ đối với $B$ bằng tổng các vectơ $\vec{V}_B\vec{V}_O$ và $\vec{V}_O\vec{V}_A$, tức là vectơ-

22

$V_B V_A$. Về thực chất, chúng ta chỉ cần xét vectơ từ điểm $V_B$ đến điểm $V_A$.

Rõ ràng, vận tốc của bất kỳ vật thể $C$ nào trên mặt phẳng của chúng ta phải tương ứng với một điểm $V_c$, là đầu mút của vectơ $\vec{V}_o V_c$ — vận tốc của vật thể $C$ đối với vật thể $O$. Vectơ được kẻ từ điểm $V_c$ đến bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng, chẳng hạn đến $V_A$, biểu diễn vectơ vận tốc của vật thể $A$ đối với vật thể $C$.

Điều này cho phép chúng ta biểu diễn vận tốc của các vật thể không chỉ bằng các vectơ, mà còn bằng các điểm trên mặt phẳng trong không gian vận tốc. Mỗi điểm trên mặt phẳng này biểu thị vận tốc của một vật thể, còn vectơ đi từ điểm này đến điểm kia là vectơ vận tốc tương đối của các vật thể. Rõ ràng, điểm $V_o$ mà chúng ta bắt đầu có ý nghĩa gì. Đó là vận tốc của vật thể $O$.

Dĩ nhiên, khi sử dụng không gian vận tốc, ta không phân biệt các vật nằm ở những điểm khác nhau trong không gian tọa độ nhưng có cùng vận tốc. Tất cả chúng đều tương ứng với cùng một điểm trong không gian vận tốc. Vì vậy, theo hình 4, ta không thể nói vật $C$ đang tiến lại gần vật $O$ hay đang rời xa nó. Điều này được xác định bởi điều kiện chung của bài toán mà ta đang giải và vị trí của các vật trong không gian tọa độ.

BIỂU ĐỒ ĐỘNG HỌC

Bây giờ ta chuyển sang giải bài toán về sự tán xạ. Giả sử một hạt có khối lượng $m_1$ và vận tốc $v_1$ va chạm với một hạt khác có khối lượng $m_2$ và vận tốc $v_2$, và sau va chạm các vận tốc của các hạt tương ứng là $v_1'$ và $v_2'$. Bài toán là tìm các vận tốc

*) Ta coi rằng các hạt va chạm với nhau như các quả bóng bi-a: bản thân cú va chạm kéo dài trong một khoảng thời gian rất nhỏ, còn trong toàn bộ thời gian còn lại các hạt chuyển động tự do. Khi đó các biểu thức «trước va chạm» và «sau va chạm» có ý nghĩa hoàn toàn rõ ràng.

$v_1'$ và $v_2'$, nếu các vectơ $v_1$ và $v_2$ cùng khối lượng của các hạt đã biết.

Các vận tốc $v_1'$ và $v_2'$ tất nhiên không thể có những giá trị tùy ý. Trước hết, chúng phải thỏa mãn định luật bảo toàn động lượng (lượng chuyển động):

$$m_1 v_1' + m_2 v_2' = m_1 v_1' + m_2 v_2' ,$$

(1) thứ hai, chúng phải thỏa mãn định luật bảo toàn năng lượng:

$$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1'^2}{2} + \frac{m_2 v_2'^2}{2} .$$

Trong trường hợp các hạt trước và sau va chạm chuyển động trên cùng một đường thẳng (va chạm như vậy gọi là va chạm xuyên tâm), các phương trình này được giải đơn giản hơn nhiều. Thay cho phương trình vectơ (1), ta có thể viết đúng một phương trình vô hướng như vậy cho độ dài của các vectơ. Khi đó ta nhận được hai phương trình vô hướng với hai ẩn: $v_1'$ và $v_2'$. Nhưng thường gặp hơn nhiều là phải xét va chạm không xuyên tâm, trong đó các hạt tách ra dưới những góc khác nhau. Chiếu các vectơ vận tốc của các hạt lên hai hướng vuông góc với nhau, trong đó một hướng thuận tiện chọn song song với vận tốc của một hạt nào đó trước khi tán xạ, cùng với phương trình (1) ta có thể viết hai phương trình vô hướng chính xác tương tự cho các hình chiếu của các vectơ. Vì vậy các định luật bảo toàn trong trường hợp va chạm không xuyên tâm phải đủ để tìm vận tốc của các hạt sau tán xạ và hai góc mà các vectơ này tạo với hướng đã chọn. Nếu cho trước một trong các đại lượng, thì phương trình có thể được giải.

Phần va chạm trong bất kỳ hệ quy chiếu nào. Ta lấy, chẳng hạn, một hệ trong đó hạt 1 đứng yên trước va chạm (hệ như vậy gọi là hệ phòng thí nghiệm). Trong đó $v_1 = 0$, còn định luật bảo toàn động lượng có dạng:

$$m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' .$$

Điều này có nghĩa là ba vectơ

23

$m_2v_2, m_1v_1'$ và $m_2v_2'$ tạo thành một tam giác. Trong mặt phẳng của tam giác này nằm mọi vận tốc tương đối của các hạt (trước và sau va chạm). Vì vậy ta chỉ cần xét không gian vận tốc hai chiều.

Đánh dấu trên mặt phẳng vận tốc $v_1, v_2, v_1'$ và $v_2'$. Các điểm tương ứng sẽ được ký hiệu đơn giản bằng các số 1, 2, 1’ và 2’ (hình 5). Ta chứng minh rằng các điểm này nằm ở các đỉnh của một hình thang cân. Để làm điều đó, ta đưa vào một hệ quy chiếu mới: hệ khối tâm. Nó được chọn sao cho trong đó động lượng của các hạt va chạm có độ lớn bằng nhau và ngược hướng nhau. Đối với các hạt 1 và 2, điểm $C$ — vận tốc của khối tâm — nằm trên đường thẳng nối các điểm này và chia đường thẳng đó thành các đoạn tỉ lệ nghịch với khối lượng của các hạt. Nếu ký hiệu độ lớn vận tốc của hạt trong hệ khối tâm qua $u_1$ và $u_2$, thì $m_1u_1 = m_2u_2$.

Đẳng thức này giống với quy tắc cân bằng của đòn bẩy. Điểm ứng với hạt nhẹ nằm xa tâm hơn. Rõ ràng tổng động lượng của các hạt trong hệ khối tâm bằng không. Theo định luật bảo toàn lượng chuyển động trong hệ này, tổng động lượng của các hạt sau va chạm cũng bằng không. Điều này có nghĩa là điểm $C$ nằm trên đường thẳng nối các điểm này và chia đường thẳng đó thành các đoạn tỉ lệ nghịch với khối lượng của các hạt.

Không khó để chỉ ra rằng do định luật bảo toàn năng lượng trong hệ khối tâm, độ lớn động lượng của mỗi hạt không thay đổi, mà chỉ thay đổi hướng của chúng. Để làm điều này, cần biểu diễn năng lượng của các hạt qua độ lớn động lượng của chúng và, viết định luật bảo toàn năng lượng dưới dạng

$$\frac{(m_1u_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2)^2}{2m_2} = \frac{(m_1u_1')^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2')^2}{2m_2},$$

thay trong phương trình này các động lượng của hạt 2 bằng các động lượng có độ lớn bằng chúng của hạt 1 hoặc ngược lại. Trong trường hợp thứ nhất ta thu được rằng $m_1u_1' = m_1u_1$ hoặc $u_1' = u_1$, còn trong trường hợp thứ hai, rằng $m_2u_2' = m_2u_2$ hoặc $u_2' = u_2$. Và điều đó có nghĩa là trên hình 5 đã thu được một hình thang cân.

Nếu khối lượng của cả hai hạt bằng nhau, thì hình thang này biến thành hình chữ nhật. (Vì $m_1 = m_2$, nên $u_1 = u_2 = u_1' = u_2'$.)

MỘT SỐ BÀI TOÁN

Xét một số bài toán có thể giải bằng các giản đồ động học.

Ta xét trường hợp va chạm không xuyên tâm của các hạt có khối lượng bằng nhau (hình 6). Nếu điểm 1 trước va chạm đứng yên, thì góc 212’ là góc mà quỹ đạo của hạt 2 lệch đi khi tán xạ. Hạt 1 bay ra theo hướng 1’. Góc 211’ được gọi là góc giật lùi. Từ giản đồ thấy rằng trong hệ tọa độ mà trong đó một trong các hạt (hạt 1) đứng yên trước va chạm, các hạt 1 và 2 sau va chạm bay ra vuông góc với nhau theo các hướng 11’ và 12'.

Xét hai hệ tọa độ: α — góc tán xạ trong hệ tâm khối, β — góc tán xạ trong hệ mà hạt 1 đứng yên trước va chạm. Từ giản đồ thấy rằng α = 2β, vì α — là góc ngoài không kề với góc β trong tam giác cân 12’C. Góc tán xạ đo trong hệ phòng thí nghiệm nhỏ hơn hai lần góc tán xạ trong hệ tâm khối.

Nếu ta quay các đoạn 12 và 12’ quanh điểm C — tuy nhiên thuận tiện hơn là để đoạn 12 đứng yên, chỉ quay đoạn 12’, — thì ta sẽ mô tả tất cả các trường hợp tán xạ có thể xảy ra với các năng lượng đã cho (hoặc tương đương, với các độ lớn vận tốc đã cho) của các hạt trước khi tán xạ, tức là tất cả các trường hợp va chạm có thể xảy ra.

Khi đó ta thấy rằng góc tán xạ α trong hệ tâm khối thay đổi 360°: 180° theo chiều kim đồng hồ và 180° ngược chiều kim đồng hồ. Vì trong hệ phòng thí nghiệm góc tán xạ β nhỏ hơn hai lần góc tán xạ β hai lần góc tán xạ β: v₂’ = v₂cosβ, trong đó v₂—vận tốc ban đầu của hạt 2 trong hệ này.

Bây giờ xét bài toán va chạm của các hạt có khối lượng không bằng nhau. Để mở rộng tất cả các trường hợp tán xạ có thể xảy ra, ta lại quay đoạn 12’ quanh điểm C. Hạt 1 nhẹ hơn, nên điểm 1 vạch một đường tròn lớn hơn

25

điểm $2'$ (hình 7, a). (Vì $m_1u_1 = m_2u_2$, nên khi $m_1 < m_2$, $u_1 > u_2$.) Từ giản đồ 7, a thấy rằng trong hệ quy chiếu mà trong đó hạt nặng 2 đứng yên trước khi tán xạ, hạt nhẹ 1 có thể tán xạ theo mọi góc (góc tán xạ — $121'$).

Khác hẳn là trường hợp nếu phần 1 nhẹ hơn bị tán xạ. Vì điểm $2'$ nằm trên đường tròn bán kính nhỏ, nên rõ ràng đoạn $C2'$ nhất định nằm trong góc mà đường tròn này nhìn thấy được từ điểm 1 (hình 7, b). Điều này có nghĩa là góc tán xạ cực đại của hạt 2 trong hệ tọa độ, trong đó trước khi tán xạ hạt 1 đứng yên (góc $212'$), bằng góc mà từ điểm 1 nhìn thấy nửa đường tròn thu được khi quay đoạn $2'C$ quanh điểm $C$. Từ hình 8 (đây là chi tiết phóng to của hình 7, b) ta tìm được rằng

$$\sin \alpha_{\max} = \frac{u_2'}{u_1} = \frac{u_2}{u_1} = \frac{m_1}{m_2}.$$

Nếu phần nặng tán xạ trên phần nhẹ, thì nó không thể lệch đi một góc quá lớn. Góc cực đại được xác định bởi tỉ số khối lượng.

Như vậy, cần học cách đọc các biểu đồ, còn tiếp theo là vấn đề của lượng giác đơn giản, nó cho câu trả lời cho mọi câu hỏi. Bây giờ chúng ta không cần mỗi lần lại giải các phương trình biểu diễn các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng, mà có thể ngay lập tức vẽ trong không gian vận tốc một biểu đồ động học (đối với nó các định luật này được thỏa mãn một cách tự động) và sau đó xem xét nó từ góc nhìn của các quan sát viên chuyển động với những vận tốc khác nhau. Trên hình 9, cùng một quá trình va chạm được biểu diễn từ góc nhìn của ba hệ quy chiếu khác nhau: a) trong hệ tâm khối, b) trong hệ phòng thí nghiệm, trong đó trước khi tán xạ phần 1 đứng yên, b) trong hệ quy chiếu tùy ý O.

Hãy tự giải các bài toán sau. Hãy tự giải các bài toán sau.