Bài toán

51

do đó, việc chia cả hai vế của phương trình cho cùng một hàm có thể dẫn đến mất nghiệm (cụ thể là các nghiệm của hàm-chia).

THAY CHO KẾT LUẬN

Vậy khi giải phương trình cần theo quy tắc chung nào? Chỉ một quy tắc: giải bất kỳ phương trình nào một cách có ý thức, không máy móc, không bỏ qua sự chú ý đối với bất kỳ bước chuyển đáng ngờ nào, nơi có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai hoặc mất nghiệm. Trước khi bắt đầu giải phương trình, nên ghi ra mọi điều kiện xác định ĐKXĐ (thậm chí không nhất thiết phải giải chúng theo ẩn); chẳng hạn, khi giải phương trình (3) chỉ cần ghi ra các điều kiện: $x^2 + 3x - 4 > 0$ và $2x + 2 > 0$; khi kiểm tra, thấy ngay rằng một trong các nghiệm đã tìm được $x_2 = -3$ không thỏa mãn điều kiện $2x + 2 > 0$. Nếu trong quá trình giải phải thực hiện những bước chuyển mà có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai, thì cuối cùng cần kiểm tra, và trong trường hợp này việc kiểm tra là một phần của lời giải bài toán, chứ không chỉ là sự kiểm soát bổ sung. Đôi khi trong quá trình giải, thuận tiện là chia tập giá trị của biến thành hai hoặc vài phần và nghiên cứu phương trình riêng trên mỗi phần; chẳng hạn, phương trình (14) khi $60 - 3x < 0$ hiển nhiên không có nghiệm, còn khi $60 - 3x \ge 0$ việc bình phương cả hai vế sẽ không dẫn đến xuất hiện nghiệm mới, vì cả hai vế của phương trình đều không âm (nghiệm ngoại lai $x_2 = 362$ tự động bị loại, vì không thỏa mãn điều kiện $60 - 3x \ge 0$).

Lời giải của mỗi phương trình phải có dạng một chứng minh định lý rằng phương trình đã cho được thỏa mãn bởi những số, và chỉ những số, được viết trong đáp số; đồng thời “cuộc đấu tranh” với nghiệm ngoại lai và với việc mất nghiệm khi biến đổi phải linh hoạt.

Bài tập

Giải các phương trình sau:

1. $\frac{x}{2x-1} + \frac{25}{4x^2-1} = \frac{1}{27} - \frac{13}{1-2x}$.
2. $\frac{x^2 - 3x + 2}{x} \left( \frac{x}{3^2 - 1} - 1 \right) = 0$.
3. $\sqrt{x+1} = 1 - \sqrt{2x+3}$.
4. $\sqrt{(x+16)(x-5)} + \sqrt{x^2 - 5x} + \sqrt{x^2 - 5x} + x = 40$.
5. $\log_{5x-2} 2 + 2 \log_{5x-2} x = \log_{5x-2} (x+1)$.
6. $\frac{\lg 2 + \lg (4 - 5x - 6x^2)}{\lg \sqrt{2x-1}} = 3$.
7. $tg x + tg 2x = tg 3x$.
8. $3 tg 2x + 2 ctg x + 3 = 0$.

BÀI TOÁN

1. Một nhân viên điều tra dân số gõ cửa một ngôi nhà và hỏi người mở cửa cho ông ta liệu ngoài người ấy ra còn ai sống trong nhà không. Người đó trả lời: “Có, ở đây còn ba người nữa, tuổi khác nhau. Tổng số tuổi của họ bằng số nhà này (mà nhân viên điều tra dân số đã biết), còn tích số tuổi của họ bằng 1296”. Sau một vài tính toán, nhân viên điều tra dân số hỏi thêm một câu rồi đi. Ông ta đã xác định được các tuổi. Số nhà đó là bao nhiêu?

2. Ba vận động viên chạy $A, B$, và $C$ tham gia chạy 100 mét. Khi $A$ về đích, $B$ ở phía sau anh ta 10 mét, còn khi $B$ về đích, $C$ ở phía sau anh ta 10 mét. $C$ cách $A$ bao xa khi $A$ về đích? Giả sử mỗi người chạy với vận tốc không đổi.

3. Hãy xác định số $A$ qua hai phép chia, trong đó mỗi dấu sao biểu thị một chữ số từ 0 đến 9.

4. Bốn kẻ nói dối $A, B, C$ và $D$ chỉ nói thật một lần trong ba trường hợp. $A$ nói rằng $B$ phủ nhận việc $C$ khẳng định rằng $D$ đã đồng ý. Xác suất để $D$ nói thật là bao nhiêu? Hãy chứng minh rằng xác suất này bằng xác suất để từng người trong số $A, B, C$ nói thật.