Về các kỳ thi tuyển sinh môn toán tại các trường đại học kỹ thuật năm 1969

45

VỀ CÁC KỲ THI
TUYỂN SINH
MÔN TOÁN
TẠI CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC
KỸ THUẬT NĂM 1969
V. A. TONYAN

CÁC KỲ THI Ở MIEM

Trong bài này, chúng tôi sẽ kể về các kỳ thi tuyển sinh môn toán tại Viện Máy điện tử Moskva (MIEM).

Cũng như ở phần lớn các trường đại học kỹ thuật, thí sinh phải thi hai kỳ môn toán: viết và vấn đáp. Bài thi viết kéo dài 4 giờ (4×60 phút).

Cần lưu ý rằng mọi câu hỏi và bài toán được đưa ra đều không vượt ra ngoài phạm vi chương trình đã được phê chuẩn cho các kỳ thi tuyển sinh.

Dưới đây chúng tôi đưa ra các bài toán lấy từ những đề thi viết khác nhau được sử dụng năm 1969, kèm theo những sai lầm điển hình nhất của thí sinh.

Đề 0

1. Một người đi xe máy và một người đi xe đạp đồng thời xuất phát từ các điểm A và B, đi ngược chiều nhau và gặp nhau cách trung điểm của AB 12 km. Vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp 32 km/giờ. Nếu người đi xe máy xuất phát muộn hơn một giờ thì họ sẽ gặp nhau ở giữa đường. Tìm khoảng cách AB.

2. Giải phương trình
   $$x = a - \sqrt{a^2 - x \sqrt{x^2 + a^2}}.$$

3. Giải bất phương trình
   $$\log_{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{27}}{\arctg x} \cdot \log_{\sqrt{3}} \arctg x > 2.$$

4. Giải phương trình
   $$\sin \sqrt{4 + 3x - x^2} + \cos \sqrt{4 + 3x - x^2} = \sqrt{2}.$$

5. Tâm của hai đường tròn có bán kính R và r nằm trên cạnh huyền của một tam giác vuông. Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh góc vuông, đường tròn kia tiếp xúc với một cạnh góc vuông và với đường tròn thứ nhất. Tìm các cạnh của tam giác.

Hãy đưa ra lời giải các bài toán này.

1. Ký hiệu vận tốc của người đi xe đạp là x, còn độ dài AB là 2S; khi đó vận tốc của người đi xe máy sẽ là x+32. Nếu thời gian người đi xe đạp đi trước khi gặp nhau bằng t, thì từ điều kiện bài toán ta được
   $$xt = S - 12,$$
   $$(x + 32)t = S + 12.$$

Nếu người đi xe máy xuất phát muộn hơn một giờ, thì nó đi $t_1$ giờ trước khi gặp nhau, trong khi người đi xe máy — $(t_1-1)$ giờ, và do đó
$$(x + 32)t_1 = S,$$
$$x(t_1+1) = S.$$

Giải hệ này, ta được $S=48$ km.

Bài toán này không khó đối với thí sinh. Đại đa số thí sinh đã giải được nó. Tuy nhiên, nhiều người đã lập những hệ phương trình cồng kềnh do chọn ký hiệu không thích hợp.

2. Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được
   $$x^2 - 2ax = -x \sqrt{x^2 + a^2}$$
   hoặc
   $$x(2a - x - \sqrt{x^2 + a^2}) = 0.$$

Từ đó
$$x_1 = 0$$ và $2a - x = \sqrt{x^2 + a^2}$.

Bình phương một lần nữa, ta được $3a^2 = 4ax$ hoặc $a(3a-4x)=0$. Bây giờ, nếu a=0,

46

thì $x_2 - \text{một số bất kỳ},$ nếu $a \neq 0$, thì
$$x_2 = \frac{3}{4} a.$$

Khi thực hiện phép biến đổi (bình phương), ta có thể làm mất tính tương đương, vì vậy cần kiểm tra các nghiệm tìm được $x_1, x_2, x_3$.

1. $x_1 = 0$. Thay giá trị $x_1$ vào phương trình ban đầu. Khi đó vế trái bằng 0, còn vế phải:
   $$a - \sqrt{a^2} = a - |a| = \begin{cases} 0 & \text{khi } a \geq 0, \\ 2a & \text{khi } a < 0. \end{cases}$$

2. Nếu $a = 0$, thì vế trái của phương trình bằng $x$, còn vế phải:
   $$- \sqrt{-x \sqrt{x^2}} = -\sqrt{-x |x|} = \begin{cases} -\sqrt{-x^2} & \text{khi } x > 0, \\ -\sqrt{x^2} & \text{khi } x \leq 0. \end{cases}$$

3. Thay giá trị $x_3 = \frac{3}{4} a$, ta được rằng vế trái bằng $\frac{3}{4} a$, còn vế phải:
   $$a - \sqrt{a^2 - \frac{3}{4} a \sqrt{\frac{9}{16} a^2 + a^2}} = \begin{cases} a - \sqrt{\frac{a^2}{16}} = \frac{3}{4} a & \text{khi } a > 0, \\ a - \sqrt{\frac{31 a^2}{16}} + a + \frac{a \sqrt{31}}{4} & \text{khi } a < 0. \end{cases}$$

Đáp án. Nếu $a > 0$, thì $x_1 = 0$, $x_3 = \frac{3}{4} a$; nếu $a = 0$, thì $x \leq 0$.

Sai lầm điển hình nhất mà các thí sinh mắc phải khi giải phương trình này là không kiểm tra các giá trị tìm được $x_1, x_2, x_3$. Khi giải phương trình này bằng phương pháp nêu trên, việc kiểm tra là một bộ phận cấu thành của lời giải bài toán.

3. Đặt $\log \sqrt{3}$ arcctg $x = t$, ta được $t^2 - 3t + 2 < 0$, suy ra $1 < t < 2$.
   Trở lại với biến $x$, có thể viết
   $$\sqrt{3} < \text{arcctg} x < 3$$
   từ đó nhận được đáp án: $\text{arcctg} 3 < x < \text{arcctg} \sqrt{3}$.

4. Điều kiện $4 + 3x - x^2 \geq 0$ cho ta $-1 \leq x \leq 4$.

Bây giờ, áp dụng các công thức cộng vào vế trái, ta được
$$\sqrt{2} \sin \left(\sqrt{4 + 3x - x^2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2},$$
suy ra
$$\sqrt{4 + 3x - x^2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$
Vậy cần có $n \geq 0$.

Giải phương trình vô tỉ này, ta được
$$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 - 4 \left(2\pi n + \frac{\pi}{4}\right)^2}}{2};$$
từ đó
$$\left(2n\pi + \frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{25}{4}.$$
Do đó, $n = 0$ và $x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{100 - \pi^2}}{4}$.

Kiểm tra dễ dàng cho thấy cả hai giá trị này đều là nghiệm của phương trình.

Trong lời giải phương trình này, nhiều đã nhận được đẳng thức (1), nhưng chỉ một phần các khảo sát được xây dựng của công thức này đã giữ lại nghiệm tương ứng với $n = 0$.

5. Cho $ABC$ là tam giác đã cho, $\rightarrow ACB$ vuông, $O$ và $O_1$ là tâm các đường tròn có bán kính $R$ và $r$; $D$ và $E$ là các tiếp điểm của các đường tròn với cạnh góc vuông $CA$. Kẻ $EF \parallel AB$ và đặt $\rightarrow BAC = \alpha$. Khi đó từ $\triangle FDE$ ta có
   $$\sin \alpha = \frac{R - r}{R + r}.$$

Nhận thấy rằng $CD = R$ và đặt $AC = b$, từ $\triangle ODA$ ta được
$$\text{tg} \alpha = \frac{R}{b - R}.$$

Từ (1) và (2) có thể viết
$$1 + \left(\frac{R}{b - R}\right)^2 = \left(\frac{R + r}{R - r}\right)^2,$$
suy ra, giải theo $b$, ta được
$$b = R \left[1 + \frac{2\sqrt{Rr}}{R - r}\right].$$