Giáo trình «giải tích toán học»

58

Sách giáo khoa
“giải tích toán học”*)

M. L. SMOLIANSKI

Sự phát triển nhanh chóng của kỹ thuật tính toán, việc đưa các máy tính tốc độ cao vào mọi lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân, khoa học và kỹ thuật, đã dẫn tới sự xuất hiện của những chuyên ngành mới. Một trong số đó là chuyên ngành “lập trình viên-tính toán viên”. Và cùng với sự tăng lên của số lượng máy tính, nhu cầu về các lập trình viên, tính toán viên và những chuyên viên khác phục vụ các máy này sẽ không ngừng tăng lên. Việc đào tạo lập trình viên và tính toán viên được các trường đại học và trường kỹ thuật đảm nhiệm. Một số trường phổ thông cũng đào tạo họ. Hiện nay đã có vài chục, nếu không phải hàng trăm, trường và lớp trong đó toán học được giảng dạy ở trình độ nâng cao. Tuy nhiên, việc giảng dạy đầy đủ ở các trường này gặp rất nhiều khó khăn do không có sách giáo khoa được viết riêng cho những trường như vậy. Học sinh hoặc phải dùng những sách viết cho các trường đại học, hoặc phải tự hạn chế trong phần tài liệu được dạy ở trường trong các giờ học.

Hiện nay đã xuất bản hai cuốn sách: “Đại số”**) và cuốn sách đang được điểm này, mà mục đích chính là khắc phục tình trạng đó. Hai cuốn sách này tạo thành một thể thống nhất không thể tách rời.

*) N. Ia. Vilenkin, S. I. Shvartsburg, Giải tích toán học, sách giáo khoa cho các lớp IX, X của trường phổ thông trung học chuyên toán, “Giáo dục”, năm 1969.
**) N. Ia. Vilenkin, R. S. Guter, S. I. Shvartsburg, B. V. Ovchinski và V. G. Ashkinez, Đại số, “Giáo dục”, năm 1968.

Vậy những cuốn sách này dành cho ai? Tất nhiên, trước hết các tác giả hướng tới học sinh các trường chuyên toán. Nhưng không chỉ họ mới được ích lợi từ những cuốn sách này. Mọi học sinh có mối quan tâm vượt ra ngoài khuôn khổ chương trình phổ thông đều sẽ rút ra được nhiều điều từ đó. Giáo viên toán ở các trường phổ thông trung học và sinh viên các trường sư phạm cũng sẽ tìm thấy trong đó nhiều tài liệu.

Các sách trình bày một khóa toán mở rộng có thể được viết theo những cách khác nhau. Có thể đặc biệt chú ý đến các phép biến đổi đại số phức tạp, các đồng nhất thức lượng giác rắc rối, việc giải các phương trình hóc búa. Mặt khác, có thể trình bày hầu như không thay đổi các môn toán được dạy ở các trường đại học. Các tác giả cuốn sách “Giải tích toán học” đã đi theo một con đường khác. Tất nhiên, sau khi học cuốn sách này, học sinh sẽ biết giải các phương trình lượng giác và mũ, chứng minh các đồng nhất thức lượng giác khác nhau, vi phân và tích phân các hàm khác nhau. Nhưng, khác với đa số sách giải tích toán học dành cho học sinh, trong cuốn sách đang được điểm này, người ta dành nhiều chú ý cho việc làm rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản mà học sinh gặp phải.

Cuốn sách bắt đầu bằng việc trình bày lý thuyết số thực. Có thể các tác giả đã dành quá nhiều chỗ cho vấn đề này. Nhưng nếu không hiểu rõ số thực là gì, thì không thể hiểu đến cùng cả giới hạn là gì, lẫn ngay cả khái niệm đạo-

60

không phù hợp với phong cách chung của cuốn sách. Cần nghĩ rằng việc đưa chương này vào có liên quan đến sự cần thiết, bên cạnh các nhiệm vụ cơ bản của việc dạy học, giải quyết nhiệm vụ chuẩn bị cho học sinh thi tuyển vào các trường đại học về toán học. Mà trong các kỳ thi này, như đã biết, các giám khảo thường say mê đủ loại phương trình mũ, lôgarit và lượng giác, các đẳng thức, v.v. Tuy nhiên, ở đây các tác giả không chỉ đưa ra các bài tập giải đủ loại phương trình, mà còn xem xét những vấn đề chung liên quan đến các phương trình này, các vấn đề về những phương pháp gần đúng giải phương trình. Việc đưa vấn đề cuối cùng vào có liên quan đến chỗ ở một số trường chuyên toán không học toán tính toán, còn việc làm quen với các phương pháp dây cung và tiếp tuyến, với phương pháp xấp xỉ liên tiếp thì có ích cho mọi học sinh tốt nghiệp trường trung học. Hơn nữa, ở những trường có một khóa học riêng về toán tính toán, việc nghiên cứu các vấn đề tương ứng theo cuốn sách này có thể tỏ ra hữu ích.

Chương tám bàn về tích phân (cả bất định lẫn xác định), còn chương chín — về chuỗi. Tiếc rằng chương dành cho tích phân lại quá nặng nề. Ở đây cần phải hy sinh tính chặt chẽ của trình bày, không định nghĩa khái niệm thể tích, mà coi nó là hiển nhiên.

Một phần đáng kể trong sách là các bài tập. Bên cạnh những bài toán thông thường, sách còn bao gồm khá nhiều bài toán có độ khó cao. Các bài tập, theo quy tắc, được sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần. Tuy nhiên, nhịp độ tăng độ khó của các bài toán khá cao, nó đưa học sinh đến những bài tập khó nhanh hơn đáng kể so với các sách giáo khoa thông thường của trường phổ thông. Các bài tập rèn luyện kỹ năng tốt trong việc giải các bài toán khó và cho phép chuẩn bị cho kỳ thi tuyển vào các cơ sở giáo dục đại học có chương trình toán học chuyên sâu. Các bài tập lớn được đánh dấu bằng dấu sao và có thể dùng làm tài liệu cho công tác nhóm.

Nhìn chung, cuốn sách tỏ ra hữu ích và thú vị. Số lượng in nhỏ (30 000) hơi đáng ngạc nhiên. Hy vọng rằng lần xuất bản thứ hai của cuốn sách sẽ không bắt chờ lâu.

60

ĐÁP SỐ, CHỈ DẪN, LỜI GIẢI.

Cho bài “Hình học va chạm”

1. Giản đồ động học của va chạm được đưa ra ở hình 1. Tam giác $2C1'$ vuông và $tg\alpha = \frac{u_1}{u_2} = \frac{u_1}{u_2} = \frac{m_2}{m_1} = 3$. Từ tam giác vuông cân $2'2C$ ta tìm được $v'_2 = \frac{u_2}{\cos\beta}$, và vì $u_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_1$, nên
   $$v'_2 = v_1 \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot \frac{1}{\cos\beta} = v_1 \frac{\sqrt{2}}{4}.$$
   Từ tam giác $2C1'$ ta tìm được rằng
   $$v'_1 = \frac{u_2}{\cos\alpha} = v_1 \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sqrt{1 + tg^2\alpha} = v_1 \frac{\sqrt{10}}{4}.$$

2. Từ giản đồ tán xạ của các hạt có khối lượng bằng nhau (hình 6 ở tr. 23) ta tìm được rằng góc giật lùi bằng $30^\circ$, vận tốc của hạt $\alpha$ sau tán xạ $v'_\alpha = v_\alpha \cos 60^\circ = \frac{1}{2} v_\alpha$, còn vận tốc của hạt nhân giật lùi $v_\alpha = v_\alpha \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} v_\alpha$ ($v_\alpha$ — vận tốc của hạt $\alpha$ trước va chạm với hạt nhân). Vì vậy năng lượng của hạt $\alpha$ sau tán xạ

62

thì ít nhất một trong các số $n_1, n_2$ không lớn hơn $\sqrt{N}$. Từ đó kết quả dễ dàng suy ra.

3. 6. $n^2+n+1=n(n+1)+1; n^2+n+1=(n-1)(n+2)+3$ (khi $n=1$, số dư là 0).
      b) $n^4+1=(n^3-3n^2+9n-27)(n+3)+82$.

4. Khi $n=-1, 0, 1, 2$. Hãy dùng rằng
   $$\frac{n^2+1}{n-1}=n+1+\frac{2}{n-1}.$$

5. Trong ba số liên tiếp, một số chắc chắn chia hết cho 3, và một số (hoặc hai số) chia hết cho 2.

6. $a^2+b^3+c^3-(a+b+c)=a(a-1)(a+1)+b(b-1)(b+1)+c(c-1)(c+1)$.

7. Xét các số nguyên tố dạng $p, p+d, p+2d, \dots, p+14d$. Dễ chứng minh rằng $d$ phải chia hết cho 2, 3, 5, 7, 11, 13 (nếu $d$ không chia hết, chẳng hạn, cho 13, thì trong các số $p, p+d, \dots, p+14d$ sẽ có một số chia hết cho 13), do đó,
   $$d > 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30000.$$

8. $n \equiv 1$ (mod 3).

9. $n \equiv 5$ (mod 7).

10. Lập luận giống như trong bài 3.

11. Viết số $a=\overline{a_n a_{n-1} a_{n-2} \dots a_0}$ ($a_0, a_1, \dots, a_n$ – các chữ số) dưới dạng $a=a_2 a_1 a_0+1000 a_5 a_4 a_3+1000^2 a_8 a_7 a_6+ \dots$. Vì $1000 \equiv -1$ (mod 7) và $1000 \equiv 1$ (mod 37), nên
    $$a \equiv \overline{a_2 a_1 a_0}-\overline{a_5 a_4 a_3}+\dots$$
    $$a \equiv \overline{a_2 a_1 a_0}+\overline{a_5 a_4 a_3}+\dots$$

12. Nếu số $5A$ và $A$ có cùng tổng các chữ số, thì số $5A-A=4A$ chia hết cho 9.

13. Giả sử $15x^2-7y^2=9$, khi đó $y \equiv 0$ (mod 3), do đó $x \equiv 0$ (mod 3); chia cho 9, ta được $15\left(\frac{x}{3}\right)^2-7\left(\frac{y}{3}\right)^2=1$, nhưng đẳng thức $15x^2-7y^2=1$ không thể đúng (hãy tự kiểm tra điều này).

14. Xét đồng dư
    $$n^2+3n+5 \equiv 0$$ (mod 11).

15. Xét các số dư mà bình phương của các số tự nhiên cho khi chia cho 3, 5, 7.

16. Chứng minh rằng trong số học 9 $x^3+y^3+z^3 \neq 5$ với mọi $x, y, z$.

17. Nếu $ab$ chia hết cho số nguyên tố $p$ và $a$ không chia hết cho $p$, thì $b$ chia hết cho $p$, tức là $b=0$.

18. Đây là số dư $m-a$. Rõ ràng $a+(m-a)=0$.

Cộng $-a$ vào cả hai vế của phương trình $a+x=b$, ta được $x=b+(-a)$.

21. Giả sử $m=pq$, trong đó $1<p<m$ và $1<q<m$. Khi đó $pq=0$ trong số học $m$.

22. Hãy dùng việc trong số học 31 $30=-1$; $29=-2; \dots; 16=-15$, cũng như việc với mọi số dư $a$ và $n$ lẻ thì $(-a)^n=-a^n$.

Về bài “Về các kỳ thi tuyển sinh môn toán tại các trường đại học kỹ thuật năm 1969”

Đề 1.

1. 10 m.
2. $\frac{6 \pm \sqrt{100-\pi^2}}{4}$.
3. $4 < x \leq 7; -3 \leq x < -1; -17 < x < -16$.
4. $\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$
5. $\frac{3}{2} h$.

Phương án 2.

1. 6 giờ, 9 giờ.
2. $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
3. $1 < x < 2^4; 2 < x < 2^4; 2^4 < x < 2^{15}$
4. $x = \pm \alpha + 2\pi n; \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{3}$.
5. $\frac{7a \sqrt{3} \pi a^3}{576}$.

Phương án 3.

1. 5 giờ. 10 giờ; 13 giờ, 20 phút; 4 giờ 26 phút 40 giây.

2. Không có nghiệm.

3. $\frac{1}{3} < x < 1; \frac{1}{3^7} < x < \frac{1}{3^{12}}$.

4. $2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
   $$2\pi n - \frac{\pi}{3} < x < 2\pi n.$$

5. $\frac{4\sqrt{3} \pi a^3}{27 \sin^3 2\alpha}$.

Phương án 4.

1. 3 giờ, 2 giờ.
2. $x = \pi n \pm \frac{\pi}{3}$.
3. $\frac{5}{2} < x < 3; x > 4$.
4. $\frac{\pi}{3} + 4\pi k < x < 3\pi + 4\pi k$.

63

5. $a^2 \sin \alpha \left[ 1 + \frac{1}{\cos \beta} \right]$.

Về bài viết
“Ai đó mất, ai đó tìm thấy…”

1. $x = 13$.

2. $x = 2$.

3. $x = -1$.

4. $x = 9$.

5. $x = 1$.

6. Không có nghiệm.

7. $x = \frac{\pi n}{3}$.

8. $x = \arctg 2 + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Về bài viết
“Máy thu hình — người trợ giúp của bạn khi chuẩn bị вруч”

Bài kiểm tra số 1

1. $\frac{1}{1 - 3x}$, nếu $x \leqslant 0; \quad \frac{x + 1}{3x^2 - 4x + 1}$, nếu $0 < x < 1 \left( x \neq \frac{1}{3} \right); \quad \frac{1}{x - 1}$, nếu $x > 1$.

2. $\sqrt{2}$. 3. $-(\sqrt{3} a + 1)$. 4. $m$, nếu $\frac{a}{m^2 - 2a^2} > 0$, và $(-m)$, nếu $\frac{a}{m^2 - 2a^2} < 0$.

3. $S_7 = b_5 - b_1 = 560$.

Bài kiểm tra №2

1. $-2; 3; \frac{1}{2}; \frac{2}{3}$. 2. $3 \pm \sqrt{2}, 3 \pm 3 \sqrt{2}$.

2. $\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \end{cases} \begin{cases} x = 5 \\ y = 3 \end{cases}$

3. 90 rúp, 135 rúp, 5. 60 km/giờ.

Bài kiểm tra №3

1. $x_1 = 1; x_2 = -\frac{1}{3}$. 2. $x_{1,2} = \pm 1$.

2. $x_1 = 1; x_2 = -6$. 4. $8 \mathrm{dm}, 25 \mathrm{dm}, 15 \mathrm{dm}$.

3. $\frac{R^2}{4} (8 \sqrt{3} - 9)$.

Về bài toán
“Lịch từ các khối lập phương”
(“Kvant” №3)

Bài toán có hai cái bẫy (không quá tinh vi).

Dễ thấy rằng trên cả hai khối lập phương phải có các chữ số 1 và 2, vì có các số 11 và 22. Cũng cần có chữ số 0 trên cả hai khối lập phương, vì nếu không thì không thể lập được tất cả các số từ 01 đến 09 (không thể đặt tất cả các số từ 1 đến 9 trên cùng một khối lập phương: nó chỉ có sáu mặt).

Sau khi viết các chữ số 0, 1, 2 lên các mặt của mỗi khối lập phương, ta còn 6 mặt trống, trên đó phải đặt 7 chữ số: từ 3 đến 9. Điều này có thể làm được, vì chữ số 9 nhận được bằng cách lật ngược chữ số 6.

Trước khi đếm có bao nhiêu cách đặt các chữ số trên hai khối lập phương, ta hãy xác định rõ hai “lịch” nào (hai cặp khối lập phương nào) sẽ được coi là khác nhau. Thứ nhất, ta sẽ coi các khối lập phương mà ta viết chữ số lên là hoàn toàn giống nhau và không phân biệt chúng; thứ hai, dĩ nhiên ta coi là giống nhau các khối lập phương mà một khối nhận được từ khối kia bằng phép quay trong không gian; và cuối cùng, ta sẽ không xét chữ số được viết trên mặt như thế nào — đâu là phía trên, đâu là phía dưới, v.v., ta chỉ quan tâm chữ số nào được viết.

Đặt cả hai khối lập phương lên bàn với mặt số không ở dưới. Giả sử trên một khối có các chữ số 0, 1, 2, 3. Trên hai mặt trống phải đặt hai chữ số trong năm chữ số còn lại (4, 5, 6, 7, 8). Có thể làm điều này bằng $C_5^2 = 10$ cách. Giữ số không ở nguyên vị trí (ở dưới), năm chữ số có thể được sắp xếp bằng 5!=120 cách. Một cách trong số đó có thể quy về các cách khác bằng cách quay khối lập phương quanh trục thẳng đứng. Số cách khác nhau sẽ ít hơn bốn lần. Vậy tổng số cách sắp xếp các chữ số cho khối lập phương thứ nhất là $\frac{10 \cdot 5!}{4} = 300$. Trên khối lập phương thứ hai có thể sắp xếp các số còn lại bằng $\frac{5!}{4} = 30$ cách. Như vậy, tổng số cách sẽ là $300 \times 30 = 9000$.

Lời giải của «mật mã» được đăng trong số 4 của «Kvant»

Ở đây mỗi chữ cái được bảo vệ bằng một chữ cái. Các dấu câu và khoảng trống giữa các từ được giữ nguyên vị trí.

Hãy viết theo vòng tròn, theo chiều (hoặc ngược chiều) kim đồng hồ, các chữ cái của bảng chữ cái Nga theo thứ tự của chúng (bỏ qua các chữ cái И và Е). Cũng viết theo vòng tròn 15 số nguyên tố đầu tiên.

Bây giờ có thể trực tiếp bắt đầu giải mã.

Lấy chữ cái đầu tiên của mật mã — К. Nó tương ứng với số đầu tiên trên vòng tròn «số» — 2. Cần đếm từ К trên vòng tròn «chữ cái» ngược (tương ứng theo ) chiều kim đồng hồ (e) chữ cái thứ hai. Đó là chữ cái 3. Chữ cái đầu tiên đã được giải mã.

Chữ cái thứ hai của mật mã Р tương ứng với chữ cái thứ ba, đếm trên vòng tròn chữ cái từ P ngược chiều kim đồng hồ. Đó là chữ cái H. Chữ cái thứ ba Е của mật mã cũng theo cách ấy (lùi nó đi 5 chữ cái) sẽ chuyển thành А, v.v.

Cuối cùng ta được:

“Tri thức chỉ là tri thức khi nó được giành lấy bằng nỗ lực của tư duy riêng mình, chứ không chỉ bằng trí nhớ.”