Gaussian ra mắt

4

Tương đương với bài toán về việc chia hình tròn bán kính 1 thành $n$ phần bằng nhau. Các dây cung của các cung mà vòng tròn được chia là các cạnh của một $n$-giác đều và độ dài của mỗi cung đó là $2\sin \frac{\pi}{n}$ (Hình 2).

Do đó, đối với những $n$ mà $\sin \frac{\pi}{n}$ là số vô tỷ bình phương, người ta có thể dựng các $n$-giác đều bằng hình tròn và thước. Ví dụ: điều kiện này được thỏa mãn bởi các giá trị $n=3, 4, 5, 6, 10$. Đối với $n=3, 4, 6$ điều này được nhiều người biết đến.

Hãy chứng minh rằng $\sin \frac{\pi}{10}$ là một số vô tỷ bình phương. Chúng ta hãy xem xét một tam giác đều $ABC$ (Hình 3), góc ở đỉnh bằng $\frac{\pi}{5}=36^\circ$, chiều dài $AB$ bằng 1; gọi $AD$ là phân giác của góc $A$. Sau đó $x=AC=AD=BD=2\sin \frac{\pi}{10}$.

Chúng tôi có:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}; \frac{x}{1-x}=\frac{1}{x}, x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$

Con số này là một số vô tỷ bình phương; do đó chúng ta có thể dựng cạnh của một hình thập giác đều.

Hơn nữa, từ khả năng chia một vòng tròn thành $p_1 p_2$ phần bằng nhau

Tất nhiên, nó có thể được chia thành $p_1$ phần bằng nhau (một phần có thể dựng được một hình ngũ giác đều). Tuyên bố ngược lại, nói chung, là sai. Hãy để chúng tôi chỉ ra hai trường hợp đặc biệt khi nó vẫn đúng.

1. Từ khả năng chia một vòng tròn thành $p$ phần bằng nhau, suy ra khả năng chia vòng tròn thành $2^k p$ phần bằng nhau cho bất kỳ $k$ nào.

2. Nếu chúng ta rút gọn một hình tròn thành $p_1$ các phần bằng nhau và $p_2$ các phần bằng nhau, trong đó $p_1$ và $p_2$ là các số nguyên tố cùng nhau (ví dụ: $p_1, p_2$ là các số nguyên tố riêng biệt), thì hình tròn có thể được chia thành $p_1 p_2$ các phần bằng nhau.

Một vài lời về số phức

Chúng ta cần biết rất ít về số phức: các phép tính trên chúng và diễn giải hình học; Ví dụ, tất cả những điều này đều có trong sách giáo khoa ở trường của Kochetkovs. Giả sử số phức $z=a+ib$ được liên kết với một điểm có tọa độ $(a, b)$ (Hình 4) và một vectơ có điểm cuối tại điểm này và điểm bắt đầu tại $(0, 0)$. Độ dài của vectơ $r=\sqrt{a^2+b^2}$ được gọi là mô đun của số đã cho. Số phức $z$ có thể viết dưới dạng lượng giác: $z=a+bi=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)$; góc $\varphi$ được gọi là đối số của số $z$.

6

phương trình: đầu tiên, phương trình (4) được giải, các nghiệm của chúng là tổng $\varepsilon_1 + \varepsilon_4$ và $\varepsilon_2 + \varepsilon_3$ của các nghiệm đối xứng (xem Hình 6!) của phương trình (3), và sau đó chính các nghiệm của phương trình (3) được tìm thấy từ phương trình (5).

Bằng cách này, Gauss đã xây dựng được một 17-giác đều đặn: ở đây cũng vậy, các nhóm nghiệm được phân biệt, tổng của chúng được tìm thấy một cách tuần tự từ các phương trình bậc hai. Nhưng làm thế nào để bạn tìm thấy những ban nhạc “tốt” này? Gauss có một cách tuyệt vời để trả lời câu hỏi này…

Xây dựng 17-giác đều đặn

Ngày 30 tháng 3 năm 1796 là ngày rửa tội sáng tạo đối với ông (Gauss)… Gauss đã tham gia một thời gian vào việc nhóm các nghiệm từ các đơn vị trên cơ sở lý thuyết của ông về nghiệm “nguyên thủy”. Và rồi một buổi sáng, khi chúng tôi thức dậy, anh ấy nhận ra rõ ràng và rõ ràng rằng việc xây dựng hình 17-agon tuân theo lý thuyết của anh ấy… Sự kiện này là một bước ngoặt trong cuộc đời Gauss. Ông quyết định lời giải không cống hiến hết mình cho ngữ văn mà chỉ dành riêng cho toán học.

F. Klein

Để khám phá những “sự đối xứng” ẩn giấu mà Gauss tìm thấy trong tập nghiệm lũy thừa bậc 17 của đơn vị và sử dụng immy để chia các nghiệm thành các nhóm cần thiết, chúng tôi giới thiệu một cách đánh số mới cho các nghiệm. Chúng tôi sẽ nâng 3 lên lũy thừa liên tiếp 0, 1, 2, … và mỗi lần lấy số dư chia cho 17. Chúng tôi sẽ giúp người đọc không phải thực hiện các phép tính này và trình bày kết quả cuối cùng trong bảng. Dòng đầu tiên chứa số mũ $k$ và bên dưới là số dư của phép chia $3^k$ cho 17.

Lưu ý rằng dòng dưới cùng chứa tất cả các số từ 1 đến 16; thì $3^{16}$ cho số dư 1 và sau đó số dư định kỳ được lặp lại (chứng minh đi!)

Mẫu mà Gauss chú ý là trường hợp đặc biệt của định lý sau: với mọi số nguyên tố $p$ có một số $l$, được gọi là căn nguyên thủy, sao cho trong số dư của phép chia $l^k$ cho $p$ đều tìm thấy các số 1, 2, …, $p-1$. Thực tế này lần đầu tiên được ghi nhận bởi Euler (1707-1783), nhưng chỉ Legendre (1752-1833) mới có thể chứng minh được điều đó; Gauss đã có được những bằng chứng khác, nhưng rất có thể vào năm 1796, ông vẫn chưa có định lý tổng quát, nhưng đã phát hiện ra một thực tế thực nghiệm đã cho bằng cách thực hiện các phép tính cho các số cụ thể. Đây là một tình huống rất quan trọng, nếu không tính đến yếu tố cơ bản thì khó có thể hiểu đúng bản chất những công trình đầu tiên của Gauss.

Chúng ta hãy gán gốc $\varepsilon_h$, $k=3^l$, một số mới, cụ thể là $l$, mà chúng ta

Bàn

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| 1 | 3 | 9 | 10 | 13 | 5 | 15 | 11 | 16 | 14 | 8 | 7 | 4 | 12 | 2 | 6 | 1 |

9

Phụ lục 1.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh tính vô tỷ bình phương của căn bậc 17 của số 1. Lưu ý rằng $\varepsilon_k \varepsilon_l = \varepsilon_k + l$ (nếu $k + l \geq 17$ thì $k + l$ được thay thế bằng phần còn lại của phép chia cho 17), $\varepsilon_k = (\varepsilon_1)^k$. Hãy đánh số lại gốc của các đơn vị bằng bảng của chúng ta, cụ thể là chúng ta sẽ viết $\varepsilon_{[l]}$ cùng với $\varepsilon_k$ (xem công thức (1)), trong đó $l$ là số ở trên $k$ trong bảng. Hãy chia các nghiệm thành các nhóm, như trong Hình 8. Chúng ta sẽ tìm tổng các nghiệm có số nằm trong một hình chữ nhật (Hình 8), chuyển từ hình chữ nhật lớn sang hình chữ nhật nhỏ hơn. Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng

$$\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_{16} = \varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15} = -1.$$

(Ví dụ, bạn có thể xác minh điều này bằng cách coi biểu thức này là tổng của một cấp số nhân.) Vì vậy, chúng ta đã tìm thấy tổng các nghiệm trong hình chữ nhật lớn nhất (Số 0).

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\sigma_m, r$ tổng của $\varepsilon_k$ với những $k$ có ​​số dư $r$ khi chia cho $m$. Chúng ta hãy xem xét tổng các nghiệm tương ứng với hình chữ nhật tiếp theo (số 1).

chúng tôi nhận được

$$\sigma_{2,0} = \varepsilon_0 + \varepsilon_2 + \varepsilon_4 + \ldots + \varepsilon_{14},$$

$$\sigma_{2,1} = \varepsilon_1 + \varepsilon_3 + \varepsilon_5 + \ldots + \varepsilon_{15}.$$

Rõ ràng là vậy

$$\sigma_{2,0} + \sigma_{2,1} = \varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15} = -1.$$

Nó có thể được hiển thị rằng

$$\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1} = 4 (\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15}) = -4^*.$$

Bây giờ, bằng cách sử dụng định lý Vieta, chúng ta có thể tạo một phương trình bậc hai có nghiệm là $\sigma_{2,0}, \sigma_{2,1}$:

$$x^2 + x - 4 = 0; \quad x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}.$$

Để phân biệt các nghiệm, hãy sử dụng Hình 7. Trong mỗi tổng, các nghiệm được bao gồm cùng với các liên hợp của chúng. Rõ ràng là $\sigma_{2,0} > \sigma_{2,1}$ (trong trường hợp đầu tiên, bạn cần cộng và nhân đôi phần thực của các nghiệm $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_4, \varepsilon_8$, trong trường hợp thứ hai - $\varepsilon_3, \varepsilon_5, \varepsilon_6, \varepsilon_7$). Vì thế,

$$\sigma_{2,0} = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}, \quad \sigma_{2,1} = \frac{-\sqrt{17} - 1}{2}.$$

Chúng ta hãy xem xét tổng các nghiệm tương ứng với hình chữ nhật sau (số 2) trong Hình 8:

$$\sigma_{4,0} = \varepsilon_0 + \varepsilon_4 + \varepsilon_8 + \varepsilon_{12},$$

$$\sigma_{4,1} = \varepsilon_1 + \varepsilon_5 + \varepsilon_9 + \varepsilon_{13},$$

$$\sigma_{4,2} = \varepsilon_2 + \varepsilon_6 + \varepsilon_{10} + \varepsilon_{14},$$

$$\sigma_{4,3} = \varepsilon_3 + \varepsilon_7 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{15}.$$

*) Bạn có thể xác minh điều này, các dây là những thay đổi trực tiếp, có tính đến $\varepsilon_k \cdot \varepsilon_l = \varepsilon_k + l$, và thuận tiện khi sử dụng Hình 7. Tuy nhiên, Phụ lục 2 sẽ chỉ ra cách tránh những phép tính tẻ nhạt này.