Kiểm tra tính hợp lý

20

G. D. Balk, M. B. Balk

Cả sinh viên chuyên ngành toán học và cậu học sinh đều gặp phải những mệnh đề toán học mà cậu nghi ngờ về tính chân thực của chúng. Nếu không, bạn cần “chứng minh hoặc bác bỏ” bất kỳ nhận định nào hoặc chọn câu đúng duy nhất trong số các câu đáp số đến bài toán.

Nếu việc chứng minh một phát biểu gặp phải những phép tính rườm rà thì thường không hữu ích khi bắt đầu bằng những nỗ lực chứng minh mà nên lập một báo cáo riêng về việc liệu giả thuyết này có đúng hay không và liệu nó có dẫn đến những kết luận sai lầm hoặc không chính xác rõ ràng hay không.

Chúng ta hãy tìm hiểu một số lợi ích của loại “kiểm tra hoàn thiện pháp lý” này *).

Đây là những gì Bramagupta đã nói…

Tổng quát hóa công thức nổi tiếng của Heron cho các mặt phẳng của một tam giác, nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Bramagupta (thế kỷ thứ 7 sau Công nguyên) đã đưa ra một tuyên bố có thể được phát biểu theo ký hiệu hiện tại như sau:

*) Bài viết dựa trên stepgram của lớp trong câu lạc bộ toán và cơ học lớp 9 trường số 7 ở Smolensk (17/01/1971).

Diện tích S của một tứ giác bất kỳ (Hình 1) được biểu thị qua các cạnh a, b, c, d theo công thức

$$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$

ở đây p, như thường lệ, là mét của tứ giác:

$$p = \frac{1}{2}(a+b+c+d).$$

Tuyên bố của Bramagupta có đúng không?

Trước khi họ vội vàng chứng minh nhận định này (nếu nó đúng thì việc chứng minh có thể sẽ rườm rà), việc sử dụng nó để bổ sung cho sự thật là điều hợp lý. Hãy sử dụng phương pháp đơn giản nhất: kiểm tra các trường hợp từng phần.

Xét trường hợp tứ giác đã cho là hình vuông; hình chữ nhật tùy ý; một hình thoi không phải là hình vuông.

Trong hai trường hợp đầu tiên, công thức (1) dẫn đến kết quả đúng, trong trường hợp thứ ba, nó dẫn đến sai số: theo công thức $S=a^2$, mặc dù rõ ràng là trong trường hợp này $S<a^2$.

Vì vậy, nhận định của Bramagupta là sai.

Nhân tiện chúng ta hãy lưu ý rằng thất bại này không buộc chúng ta phải từ bỏ