Các lựa chọn thi tuyển sinh môn Toán năm 1971

50

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 4 \lg \sqrt{x} + 2^{y+1} = 3, \\ 24 \lg x + 2 \cdot 4^{y+1} = 37. \end{cases}$$

2. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải
   $$\sqrt{3 \cos 2x} < \sqrt{2} \cos x,$$
   thỏa mãn điều kiện $|x| < \pi$.

3. Tại hiện trường làm việc có các lữ đoàn máy kéo có cùng số lượng máy kéo bánh xích và số lượng máy kéo bánh lốp như nhau, trong mỗi lữ đoàn có số lượng tất cả các máy kéo nhỏ hơn 9. Nếu trong mỗi lữ đoàn số lượng máy kéo bánh xích tăng gấp 3 lần và số lượng máy kéo bánh xích tăng gấp 2 lần thì tổng số máy kéo bánh lốp ở tất cả các lữ đoàn sẽ nhiều hơn tổng số máy kéo bánh xích là 27 chiếc, và ở mỗi lữ đoàn sẽ nhiều hơn 27 máy kéo bánh xích. lữ đoàn, số lượng tất cả các máy kéo sẽ vượt quá 20. Xác định số đội làm việc trên hiện trường và số lượng máy kéo bánh xích và bánh lốp trong mỗi đội.

4. Trong tam giác vuông ABC, độ dài cạnh huyền AB bằng c và góc tại đỉnh A bằng α. Trên phần kéo dài của cạnh huyền AB, điểm B được lấy là điểm M, và trên phần kéo dài của cạnh AC, điểm N được lấy là điểm C sao cho BM=CN. Tìm độ dài dây chung của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và AMN.

5. Đáy của hình nguyên SABCD là hình chữ nhật, góc giữa hai đường chéo bằng α và α < π/3. Chiều cao của bệ đi qua giao điểm của các đường chéo của đế và bằng h. Cho một đáy tam giác có cùng một đỉnh S. Đáy của nó là một tam giác, một đỉnh nằm ở giữa cạnh lớn hơn của hình chữ nhật ABCD, hai đỉnh còn lại nằm trên các đường chéo của nó, và hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy nằm bên trong tam giác này. Tìm thể tích của một đáy hình tam giác nếu biết các mặt bên của nó bằng nhau.

Bộ môn Địa chất tổng hợp

1. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \cos 2x + \sin y = 2 \cos^2 30^\circ, \\ 2 \cos 2x - \sin y = \sin 540^\circ. \end{cases}$$

2. Nhà máy ô tô sản xuất ô tô chở khách và xe tải. Vào ngày đầu tiên, số lượng xe tải được sản xuất nhiều hơn ô tô 100 chiếc. Vào ngày thứ hai, số lượng xe du lịch được sản xuất nhiều hơn ngày đầu tiên là 150 chiếc và số lượng xe tải nhiều hơn ngày đầu tiên là 50 chiếc. Hỏi ngày đầu tiên sản xuất được bao nhiêu ô tô và bao nhiêu xe tải nếu ngày thứ hai sản xuất được số ô tô gấp 1,2 lần số ô tô ngày đầu?

3. Với giá trị nào của a là nghiệm của phương trình bậc hai
   $$x^2 - (2a+1)x + 2a = 0$$
   có bằng nhau không?

4. Hai đường tròn bán kính r tiếp xúc nhau. Ngoài ra, mỗi người trong số họ tiếp xúc từ bên ngoài đường tròn thứ ba bán kính R tại các điểm A và B tương ứng. Xác định bán kính r nếu AB=12 cm, R=8 cm.

5. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\log_4(2x+3) > \log_9 27.$$
   Khoa Địa vật lý, Khoa Địa chất

6. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 0,5 \cdot 3^{x+1} + 7,5 \cdot 5^{y-1} = 12, \\ 2 \cdot 9^x + 5^y = 23. \end{cases}$$

7. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\frac{4-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}} \leq 0.$$

8. Giải phương trình
   $$\sqrt{1-\cos 2x} = \sqrt{2} \sin x \left( \cos x - \frac{3}{2} \right).$$

9. Các số dương a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ theo thứ tự này tạo thành một cấp số nhân. Tổng logarit của các số a₁, a₃, a₄, a₅ cơ số 3 là 9. Xác định các số a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ nếu log₃ a₄ lớn gấp đôi log₃ a₂.

10. Cho tam giác ABC có cạnh AB = √3 cm, BC = 4 cm, AC = √7 cm thì kiểm tra đường trung tuyến BD. Đường tròn nội tiếp tam giác ABD và BDC tiếp xúc với BD lần lượt tại các điểm M và N. Tính độ dài đoạn MN.

51

Khoa Hóa học

1. Một hình thang cân bằng $ABCD$ được mô tả xung quanh một hình tròn có bán kính $r$. E và K là điểm tiếp xúc của đường tròn này với các cạnh của hình thang. Góc giữa đáy $AB$ và cạnh $AD$ của hình thang là $60^\circ$. Chứng minh rằng đường thẳng $EK$ song song với đường thẳng $AB$ và tìm diện tích hình thang $ABEK$.

2. Giải phương trình:

$$2 \log \sqrt{\frac{2}{3}(x-0,5)} + x = x^0, 5x^2 + \cos^4\left(\frac{\pi}{4}\right).$$

3. Ba máy xúc được giao nhiệm vụ đào hố: chiếc thứ 1 và thứ 2 - có công suất 800 $m^3$, và chiếc thứ 3 - có công suất 400 $m^3$. Máy xúc số 1 và số 2 cùng nhau xúc được nhiều đất hơn trong một giờ; máy xúc thứ hai đào được nhiều đất hơn máy thứ 3. Máy xúc thứ 1 và thứ 3 bắt đầu làm việc cùng lúc, và máy thứ 2 vào thời điểm chiếc thứ 1 loại bỏ $300 m^3$ đất. Khi chiếc máy xúc thứ 3 đã hoàn thành 2/3 công việc của mình, chiếc thứ 2 đã loại bỏ $100 m^3$ đất. Máy xúc thứ 3 là chiếc đầu tiên hoàn thành nhiệm vụ. Tính đến thời điểm chiếc máy xúc thứ 3 đào xong hố, máy xúc thứ nhất đã đào được bao nhiêu đất?

4. Giải bất đẳng thức:

$$1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \log_3 \sin x - \log_3 \cos x} > 0.$$

5. Đặc điểm tam giác vuông đều $ABCA'B'C'$ được mô tả xung quanh một quả cầu có bán kính $r$. Điểm $M$ là giữa cạnh bên $BB'$, điểm $N$ là giữa cạnh bên $CC'$. Một hình trụ tròn bên phải được nội tiếp vào một quả cầu sao cho đáy của nó nằm trong mặt phẳng $AMN$. Tìm thể tích của hình trụ này.

Đại học Phong cách sống khác Patrice Lumutba

Khoa Vật lý và Toán học

1. Đoạn $A$ nằm ở một khoảng cách $s$ km từ điểm $B$. Từ đoạn văn $A$ tại điểm $B$ người đi bộ bước ra, và sau đó $T$ giờ một người đi xe đạp đi cùng chiều. Một người đi xe đạp đã đuổi kịp một người đi bộ $p$ km từ $A$, đạt $B$ và lập tức quay lại. Đã vượt qua $p$ km từ $B$, người đi xe đạp lại gặp người đi bộ và tiếp tục hành trình, quay trở lại $A$ muộn hơn so với lúc người đi bộ đến $B$. Mã dành cho người đi bộ đã trở nên bình đẳng như thế nào $B$hơn người đi xe đạp quay trở lại $A$?

2. Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} 2u + v + w = 6, \\ 3u + 2v + w = 9, \\ 3u^3 + 2v^3 + w^3 = 27. \end{cases}$$

3. Giải bất đẳng thức:

$$\cos x \cdot \cos 3x + \cos^2 2x < -\frac{1}{4}.$$

4. Một quả bóng có bán kính $R$ cao bằng hình chóp có đáy hình vuông. Tuy nhiên, các cạnh bên của hình chóp vuông góc với mặt phẳng của đế và cạnh bên lớn nhất tạo thành một góc $\alpha$ với nó. Xác định bề mặt bên của kim tự tháp.

Khoa Kỹ thuật

1. Khoảng cách giữa hai thành phố là 600 km; tàu hàng chạy chậm hơn tàu khách 8 giờ. Nếu tốc độ mỗi đoàn tàu tăng thêm 10 km/h thì đoàn tàu khách sẽ đi tiếp như cũ chỉ nhanh hơn 5 giờ.

hàng hóa. Xác định vận tốc của mỗi đoàn tàu.

2. Giải phương trình:

$$2\cos 2x \cdot (\text{ctg } x - 1) = 1 + \text{ctg } x.$$

3. Giải phương trình:

$$|x^2 - 2x - 4| = 3x - 2.$$

4. Chiều cao của hình trụ bằng chiều cao của hình nón. Bề mặt bên của hình trụ liên hệ với bề mặt bên của hình nón là 3:2. Ngoài ra, người ta biết rằng góc tạo bởi cạnh của hình nón với mặt phẳng đáy bằng $\alpha$. Tìm tỉ số giữa thể tích của hình trụ và thể tích của hình nón.

Khoa Kinh tế

1. Một trong hai máy mất nhiều thời gian hơn ba ngày để xử lý một lô sản phẩm so với máy kia. Hỏi mỗi máy sẽ gia công riêng lô sản phẩm này trong bao nhiêu ngày, nếu biết rằng nếu họ cùng làm việc trên những máy này thì lô sản phẩm đó sẽ được gia công gấp 3 lần trong 20 ngày.

2. Giải phương trình:

$$\frac{2^x + 10}{4} = \frac{9}{2^{x-2}}.$$

3. Giải phương trình:

$$2 - 2\sin^2 3x - \tg^2 3x = 0.$$

4. Tìm thể tích của hình nón được mô tả xung quanh một tứ giác đều có các cạnh bằng $a$ và có hai góc bằng $60^\circ$.