Thí nghiệm với con lắc

26

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”
với KINH NGHIỆM
con lắc
G.L.Kotkin

Thật khó để tìm thấy các thiết bị vật lý có thiết kế đơn giản và sử dụng đáng tin cậy như matnikki. Trong khi đó, các thí nghiệm với chúng có thể dẫn đến những kết quả thú vị, cực kỳ quan trọng không chỉ trong cơ học mà còn trong kỹ thuật vô tuyến và kỹ thuật điện. Cố gắng tự mình thực hiện các thí nghiệm được gợi ý và giải thích những tác động mà bạn sẽ quan sát được. Mặc dù bản thân các thí nghiệm rất đơn giản, tuy nhiên, không dễ để hiểu đầy đủ sự gia tăng của matniki: để làm được điều này, bạn cần phải biết các định luật cơ bản của dao động điều hòa và có kinh nghiệm về các phép biến đổi lượng giác. Rõ ràng, chỉ học sinh lớp 10 mới có thể hiểu hết bài viết này, nhưng học sinh lớp 8-9 có thể thực hiện những thí nghiệm này và giải thích đầy đủ, ít nhất là về mặt định tính.

Matnik với bộ phận treo

Làm một tấm thảm có móc treo chia đôi như trong Hình 1. Chiều dài của tấm thảm $l$ phải dài hơn nhiều so với chiều dài của phần chia trên cùng của móc treo.

Đẩy tấm thảm nghiêng một góc so với mặt phẳng vẽ. Bạn sẽ thấy rằng lúc đầu, matnik sẽ chỉ có hướng về chất lượng, nhưng ngay sau đó chuyển động của nó sẽ chuyển thành chuyển động quay theo vòng tròn của trục thẳng đứng. Khi đó tấm thảm sẽ bắt đầu dao động trở lại trong mặt phẳng, nhưng không còn dao động trong mặt phẳng mà nó được đẩy. Sau đó, vòng quay sẽ bắt đầu lại nhưng theo hướng khác. Dần dần nó sẽ được thay thế bằng chuyển động theo hướng của cú sốc dao động đầu tiên. Sau đó mọi chuyện sẽ lặp lại từ đầu.

Lý do cho hành vi này của matnik là gì?

Matniki liên quan

a) Hai tấm thảm giống hệt nhau (ví dụ: đai ốc trên một sợi) sẽ được treo trên một sợi chỉ căng không chặt lắm $AB$ (Hình 2). Từ chối một trong những matniks và thả ra.

Cơm. 1. Hình 2.

27

Hãy thử thay đổi trọng lượng của các quả nặng, thay đổi độ dài của sợi chỉ của tấm thảm và độ căng của sợi chỉ trên.

6. Gắn hai ma trận vào khung cứng. Sau đó buộc các sợi của matnik bằng chỉ ở một độ cao nhất định (Hình 3). Loại bỏ một trong những tấm thảm và hạ nó xuống. Hãy xem matniki sẽ di chuyển như thế nào.

Thảm đôi

Cấu trúc của thảm đôi được thể hiện trong Hình 4. Trọng lượng phía trên nặng hơn nhiều so với phía dưới và các sợi dài giống nhau. Đẩy trọng lượng phía dưới và xem nó di chuyển.

Bây giờ chúng ta hãy hiểu hành vi của những con matniks này.

1. Hãy bắt đầu với một chiếc matnik có hệ thống treo không liên kết.

Hành vi khá phức tạp của matnik mà bạn quan sát có thể được giải thích bởi thực tế là chuyển động của nó bao gồm hai chuyển động dao động (Hình 5): song song với mặt phẳng $zy$ và vuông góc với nó. Các dao động này xảy ra độc lập với nhau (nếu độ lệch của tấm thảm so với phương thẳng đứng không quá lớn) và chu kỳ của các dao động tương ứng của chúng bằng nhau.

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \quad T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$$

Trước hết, chúng ta hãy học cách mô tả chuyển động của vật nặng bằng tọa độ.

Để điểm $A$ di chuyển dọc theo đường tròn bán kính $a$ với vận tốc góc $\omega$ ngược chiều kim đồng hồ (Hình 6a) hoặc theo chiều kim đồng hồ (Hình 66). Sau đó, hình chiếu $B$ của điểm $A$ lên trục $x$ thực hiện một dao động điều hòa*) với tần số góc $\omega$ bằng $\frac{2\pi}{T}$ và biên độ $a$.

Hình chiếu $C$ của cùng một điểm $A$ lên trục $y$ thực hiện các dao động tương tự, nhưng đạt độ lệch cực đại so với điểm $O$ một phần tư chu kỳ sau - sau thời gian mà bán kính $OA$ quay $\frac{1}{4}$ quanh điểm $O$. Có thể dễ dàng xác minh điều này bằng cách theo dõi chuyển động của các điểm $C$ và $B$ khi quay bán kính $OA$. Tại thời điểm hình chiếu của điểm $A$ lên trục $x$ lệch tối đa so với điểm $O$ thì hình chiếu của nó lên trục $y$ chỉ là

*) Ví dụ, xem bài viết của Ya. A. Smorodinsky “Những chuyển động tương tự”, «Kvant» Số 9, 1971.

29

hướng $OD$ (Hình 7) đến một khoảng $a$ rồi thả ra thì tọa độ của vật nặng sẽ thay đổi theo các công thức:

$$\begin{cases} x = a \cos \omega_1 t, \\ y = a \cos \omega_2 t, \end{cases}$$

Ở đâu

$$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{l}},$$

$$\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \sqrt{\frac{g}{L}},$$

$$a = \frac{b}{\sqrt{2}}.$$

Hãy nhớ rằng $l$ và $L$ có rất ít sự khác biệt với nhau, tức là tần số của $\omega_1$ và $\omega_2$ gần như giống nhau. Do đó, lúc đầu, các dao động dọc theo trục $x$ và $y$ sẽ xảy ra gần như cùng pha.

Vì $\omega_1 > \omega_2$, theo thời gian, dao động dọc theo trục $y$ ngày càng trễ hơn dao động dọc theo trục $x$. Tuy nhiên, như chúng ta đã thấy, khi một điểm di chuyển ngược chiều kim đồng hồ quanh một vòng tròn, dao động của các hình chiếu của nó trên trục $x$ và $y$ sẽ trễ nhau ở chu kỳ thứ tư. Theo đó, khi độ trễ dao động của vật nặng dọc theo trục $x$ và $y$ đạt đến chu kỳ thứ tư, nó sẽ chuyển động dọc theo vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ. Khi dao động của vật nặng trễ dọc theo trục $x$ và $y$ trên trường chuyển động thì vật sẽ chuyển động dọc theo đường thẳng $E'D'$. Khi đó độ trễ của dao động dọc theo trục $y$ sẽ đạt đến chu kỳ $\frac{3}{4}$ - trọng lượng di chuyển quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ. Cuối cùng, khi có độ trễ trong toàn bộ chu kỳ, trọng lượng lại dao động dọc theo đường thẳng $ED$. Đây là những gì bạn quan sát được.

Thật thuận tiện khi “kể lại” những điều kỳ diệu này bằng cách sử dụng các công thức. Hệ thống (5) có thể được biểu diễn dưới dạng

$$\begin{cases} x = a \cos \omega_1 t, \\ y = a \cos (\omega_1 t - \phi), \end{cases}$$

ở đâu $\phi = (\omega_1 - \omega_2) t$. Trong hai hoặc ba thời kỳ, $\phi$ hầu như không thay đổi, nhưng qua nhiều thời kỳ nó tăng đều đặn. Đối với $\phi = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$, công thức (6) trùng theo thứ tự với công thức (3), (1), (4), (2).

Cơm. 9.

Tại $\phi = 2\pi$ vật nặng trở lại chuyển động theo đường thẳng $ED$.

Lý thuyết đã nêu có thể được kiểm tra bằng thực nghiệm. Rốt cuộc, chúng ta có thể tính toán xem trọng lượng sẽ mất bao lâu để di chuyển trong toàn bộ chu kỳ thay đổi. Nếu đến lúc $T_0$, thì $\phi_0 = (\omega_1 - \omega_2) T_0 = 2\pi$, mở $\frac{2\pi}{T_0} = \omega_1 - \omega_2$, hoặc

$$\frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}.$$

Bây giờ bạn cần đo chu kỳ dao động $T_1$ và $T_2$ của con lắc, sau đó trong mặt phẳng $yz$, một thời điểm khác trong mặt phẳng $xz$. Thời gian $T_0$ được đo độc lập. Sau khi đo $T_1$, $T_2$ và $T_0$, hãy kiểm tra tính đúng đắn của công thức (7). Để đo $T_1$ và $T_2$, tốt hơn là xác định thời gian, chẳng hạn như trong 10-15 lần rung. Nó ngay lập tức tiết lộ những lý do dẫn đến sai lệch so với tính toán. Rõ ràng, sự giảm chấn của dao động do lực cản không khí bị ảnh hưởng chủ yếu. Vâng, trọng lượng không nên quá nhẹ.

Trong thực tế, các chuyển động sẽ không diễn ra theo đường thẳng hay đường tròn mà theo một quỹ đạo phức tạp. Quỹ đạo này (Hình 9) ít nhiều đều “lấp đầy” toàn bộ hình vuông.

Nếu góc ban đầu với mặt phẳng đối xứng khác $\frac{\pi}{4}$, thì quỹ đạo “tức thời” đặc trưng của trọng lượng là các đường chéo của góc vuông và các hình elip nội tiếp trong đó.

Việc chuyển động của con lắc bao gồm các dao động độc lập được thể hiện bằng cách nói rằng nguyên lý chồng chất có giá trị đối với các dao động của nó *).

2. Hãy chuyển sang phần giải thích về chuyển động của các con lắc được kết nối (Hình 2 và 3). Nếu chúng ta làm chệch hướng và sau đó thả một trong số chúng ra, chúng ta sẽ thấy rằng cái kia sẽ dần dần bắt đầu chuyển động.

*) Bạn đọc «Kvant» đã gặp phải nguyên lý chồng chất khi giải thích loại sóng trên mặt nước («Kvant» Số 1, 1971, trang 32).

30

Điều này được giải thích là do khi ma trận thứ nhất bị liên kết làm lệch hướng, sợi của chúng bị biến dạng và lực đàn hồi tác dụng lên ma trận kia, truyền gia tốc cho nó. Ma trận đầu tiên sẽ dao động với biên độ ngày càng nhỏ và cuối cùng dừng lại. Lúc này biên độ dao động của ma trận thứ hai sẽ là lớn nhất. Sau đó, ma trận đầu tiên sẽ xuất hiện và ma trận thứ hai sẽ dừng lại, v.v.

Chuyển động dao động phức tạp của một hệ gồm hai ma trận có thể được biểu diễn dưới dạng kết quả của phép cộng (chồng chất) của hai dao động có tần số $\omega_1$ và $\omega_2$. Một trong các tần số bằng tần số mà cả hai ma trận sẽ dao động nếu chúng bị lệch đồng thời theo một hướng rồi thả ra (Hình 10). Hãy biểu thị tần số này bằng $\omega_1$. Một tần số khác là $\omega_2$. Đây là tần số mà cả hai ma trận sẽ dao động nếu lần đầu tiên chúng bị lệch đồng thời theo các hướng ngược nhau rồi được thả ra (Hình 11).

Lưu ý rằng tần số góc $\omega_2$ lớn hơn tần số góc $\omega_1$. Hai dao động này gọi là dao động pháp tuyến của hai ma trận ghép.

Hãy viết phương trình dao động bình thường. Đầu tiên

$$\begin{cases} x_1' = a \cos \omega_1 t, \\ x_2' = -a \cos \omega_1 t, \end{cases}$$

thứ hai

$$\begin{cases} x_1'' = a \cos \omega_2 t, \\ x_2'' = a \cos \omega_2 t. \end{cases}$$

Hãy thêm hỗn hợp $x_1'$ với $x_1''$ và $x_2'$ với $x_2''$. Chúng tôi nhận được:

$$\begin{cases} x_1 = x_1' + x_1'' = a \cos \omega_1 t + a \cos \omega_2 t, \\ x_2 = x_2' + x_2'' = -a \cos \omega_1 t + a \cos \omega_2 t. \end{cases}$$

Áp dụng công thức cộng cosin, ta có:

$$\begin{cases} x_1 = A \cos \Omega t, \quad \Omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}, \\ A = 2a \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right). \end{cases}$$

Do $\omega_1$ khác một chút so với $\omega_2$ nên biểu thức $\cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ gần bằng 1 (nếu $\omega_1$ bằng $\omega_2$ thì biểu thức này bằng 1). Do đó, nó ít ảnh hưởng đến giá trị của $x_1$. Do đó, hệ số $2a \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ trong biểu thức của $x_1$ có thể coi là biên độ thay đổi chậm (điểm đỏ trong Hình 12, a). Tình hình cũng tương tự