Một số bài toán trong lượng giác

65

6. Tại giá trị nào của $a$ hệ phương trình
   $$\begin{cases} x^2 - 4y^2 = 1 \\ ax + y = b \end{cases}$$
   có lời giải thực cho bất kỳ giá trị nào của $b$?

7. 24 kỳ thủ tham gia giải đấu quốc tế tại Palma de Mallorca. Để hoàn thành tiêu chuẩn đại kiện tướng, bạn phải đạt ít nhất $14\frac{1}{2}$ điểm. Có bao nhiêu người chơi cờ có thể đáp ứng được tiêu chuẩn này? (Trong các giải đấu cờ vua, người thắng sẽ nhận được một điểm; nếu trận đấu kết thúc với tỷ số hòa, mỗi người chơi sẽ nhận được $\frac{1}{2}$ điểm).

8. Giải phương trình
   $$\sqrt{45x^2 - 30x + 1} = 7 + 6x - 9x^2.$$
   (Chỉ xem xét các giá trị không âm của căn thức).

9. Tất cả các góc phẳng của một góc tam diện đều bằng $\alpha$. Điểm $M$ nằm bên trong góc và cách tất cả các mặt của nó một khoảng bằng nhau. Tìm khoảng cách này nếu khoảng cách từ điểm $M$ đến đỉnh của góc là $d$.

10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    $$\frac{1 + x^4}{1 + x^2}.$$

TRẢ LỜI CHO Ô Ô chữ (xem trang 31)
Dọc: 1. Ma cà rồng.
2. Sắc thái. 3. Opera. 4. Cacbon. 5. Kober.
9. Cây thông. 10. Trọng lượng. 12. Quy mô.
15. Krulier. 16. Lũ lụt. 18. Dì ơi. 19. Ninny.

Một số bài toán trong lượng giác

1. Cho một hình tam giác $ABC$ có cạnh $a, b, c$. Chứng minh rằng

1. nếu $C = \frac{\sqrt{ab}}{a - \sqrt{ab} + b}$ thì
   $$\frac{tg A}{tg B} = -\frac{a}{b} \sqrt{\frac{a}{b}}$$;
2. nếu $tg C, tg A, tg B$ tạo thành một cấp số nhân thì giá trị của nó bằng $b^2/c^2$ và $A \leqslant \frac{\pi}{3}$;
3. nếu $tg \frac{C}{2}, tg \frac{A}{2}, tg \frac{B}{2}$ tạo thành một cấp số nhân thì giá trị của nó là $b/c$ và $A \leqslant \frac{\pi}{3}$.

2. Đặt $tg \alpha, tg \beta, tg \gamma$ là nghiệm của phương trình $ax^3 + 3bx^2 + 3cx + d = 0$. Viết phương trình có nghiệm $tg \alpha$ tg $(\beta + \gamma), tg \beta$ tg $(\alpha + \gamma), tg \gamma$ tg $(\alpha + \beta)$.
3. Đặt $\alpha + \beta + \gamma$ là bội số của $\pi$ và $x^2\sin r\alpha + y^2\sin r\beta + z^2\sin r\gamma$ bằng 0 tại $r = 1$ và $r = 2$. Chứng minh rằng biểu thức này bằng 0 với mọi giá trị tự nhiên của $r$.
4. Trên các cạnh $BC, CA, AB$ của tam giác cầu $ABC$ có độ dài bằng nhau $BA_1, CB_1, AC_1$ được bố trí. Chứng minh quỹ tích giao điểm các đường trung tuyến của tam giác $A_1B_1C_1$ là đường tròn lớn.
   5*. Cho các điểm $A, B, C, D$ nằm trên mặt cầu, $P$ một điểm phân biệt chúng trên mặt cầu này và $\pi$ mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $P$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\alpha$ góc tạo bởi giao điểm của các mặt phẳng $PAC$ và $PBC$ với mặt phẳng $\pi$ và bằng $\beta$ góc tạo bởi giao điểm với mặt phẳng $PAD, PBD$. Chứng minh rằng $|\alpha - \beta|$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm $P$.

*) Đây là bài toán của cờ vua nổi tiếng của E. Lasker.