chu vi Miquel

23

và $A_2A_6$, $A_2A_4$ và $A_3A_5$, $A_1A_4$ và $A_3A_6$ (chỉ cần sắp xếp lại các ký hiệu đỉnh theo vòng tròn là đủ).

Bây giờ chúng ta có thể giải bài toán: “Cho 5 thùy của hình tròn. Dùng một đường thẳng vẽ một hình tròn khác của hình tròn này.”

Đặt các điểm đã cho là $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ và $A_5$. Sau khi tìm được điểm $B$ là giao điểm của $A_1A_3$ với $A_2A_4$, chúng ta chọn một điểm tùy ý $C$ trên $A_2A_5$. Khi đó, điểm $D$ được xác định là giao điểm của $BC$ với $A_1A_5$ và điểm $A_6$ được xác định là giao điểm của $A_4D$ với $A_3C$.

Rõ ràng là bằng cách này có thể dựng được càng nhiều điểm góc của đường tròn càng tốt.

Để kết luận, chúng tôi đưa ra một số bài toán về hình lục giác nội tiếp.

Bài tập

1. Viết một hình lục giác vào một vòng tròn nhất định dọc theo các cạnh ở giữa, đi qua một cạnh.
2. Năm góc liên tiếp của một hình lục giác lồi nội tiếp có quan hệ với nhau là $6:5:8:9:10$. Tìm các giá trị của góc thứ sáu.
3. Hình lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ được nội tiếp trong một vòng tròn, với $A_1A_2 = A_3A_4 = A_5A_6 = a$ và $A_2A_3 = A_4A_5 = A_6A_1 = b$. Chứng minh rằng các đường chéo $A_1A_4$, $A_2A_5$ và $A_3A_6$ bao quanh một tam giác đều và tìm diện tích của nó.
4. Các đường chéo chính của một hình lục giác lồi nội tiếp $A_1A_2$, $A_3A_4$ và $A_5A_6$ cắt nhau tại một điểm; $A_1A_2 = 6$ cm, $A_3A_4 = 16$ cm và $A_5A_6 = 18$ cm, ba cạnh còn lại bằng nhau. Tìm chu vi của hình lục giác.
5. Một hình lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ được nội tiếp trong một hình tròn có bán kính 25 cm, ba đường chéo đi qua tâm hình tròn. Nghĩa là $A_1A_2 = 14$ cm, $A_3A_4 = 30$ cm xác định chu vi của hình lục giác.

Văn học

1. S.I. Zetel. Hình học mới của tam giác, Uchredgiz, 1962.
2. J. Hadamard. Hình học sơ cấp, tập. 1, Uchredgiz, 1948.
3. N. F. Chetverukhin. Hình học thiết kế, “Khai sáng”, 1969.

chu vi Miquel

Quả bóng có đường màu trên trang bìa này là gì? Có thể phân biệt được thứ tự nào trong vị trí của chúng không?

Vâng, bạn có thể. Các vòng tròn được mô tả xung quanh các hình tam giác không có cạnh màu đỏ được vẽ bằng màu đỏ. Vòng tròn màu xanh lam được mô tả xung quanh các hình tam giác không có cạnh màu xanh lam, v.v. Mỗi đường tròn trong số bốn đường tròn, bất kể góc giữa các đoạn thẳng (miễn là các đường ở giữa không song song và không có quá hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm), cắt nhau tại một điểm chung cho các đường tròn này (điểm Wallace, được phát hiện vào năm 1799). Tất cả các gót của điểm Wallace đều nằm trên đường tròn Miquel (được phát hiện năm 1844). Vòng tròn của Mikel trong hình minh họa bìa trước đóng vai trò trung tâm. Nó được đánh dấu bằng màu trắng.

Nhưng đó không phải là tất cả. Năm 1871, nhà toán học người Anh William Clifford đã chứng minh các quy tắc sau: không song song với bất kỳ đường nào trong năm đường thẳng đã cho và không đi qua giao điểm của các đường đã dựng sẵn. Hãy dựng sáu đường tròn Mikel (cho mỗi đường trong số năm đường thẳng) - chúng sẽ giao nhau tại một điểm!

Hãy quay lại cấu hình bốn dòng. Hãy mô tả một vòng tròn xung quanh mỗi hình tam giác trong số bốn hình tam giác. Nhà toán học người Đức Jacob Steiner đã khẳng định vào thế kỷ trước rằng tâm của các đường tròn này và các điểm Wallace nằm trên cùng một đường tròn.

Điều thú vị là bằng chứng về những sự thật này được mô tả bằng những đường cong và góc độ trung tâm của chính nó. Hãy cố gắng tự mình kiểm tra tất cả các bằng chứng.

V. N. Berezin