Bài toán M181—M185; F193—F197

24

Vấn đề «Kvant»

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. Trong đó còn có những bài toán tương đối dễ giải mà không hề dễ đối với các chuyên gia - nhà toán học và vật lý học. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng một ngôi sao. Họ không được đánh dấu nếu không thể nhanh chóng hoàn thành nhiệm vụ; cố gắng quay lại nó một lần nữa - trong một ngày, trong một tuần, trong một tháng. Nhưng lời giải đã được tìm thấy. Nếu bài toán làm bạn quan tâm, thì đừng trì hoãn nó ngay lập tức - hãy nghĩ về cách bạn có thể viết ra lời giải một cách hợp lý và ngắn gọn nhất, khái quát hóa bài toán, làm rõ hoặc đơn giản hóa kết quả của nó, nhiệm vụ tương tự mà nó cho phép bạn giải quyết.

Trong phần thứ hai, chúng tôi đặt các phần lời giải đã cho (khoảng nửa tháng sau khi công bố các điều kiện của chúng) có tính đến những độc giả gửi sau đó. Chúng tôi khuyên những người không tiêm «Kvant» năm ngoái hoặc không giải quyết được vấn đề hãy làm quen với các giải pháp.

Ở «Kvant» số 2,4,6,8,10,12 chúng tôi sẽ cung cấp tên của độc giả đã gửi cho chúng tôi lời giải chính xác được đưa ra trong phần này. Những học sinh trong năm quyết định gửi lời giải thú vị và đầy đủ sẽ nhận được quyền tham gia các vòng khu vực của All-Olympiad cùng với người chiến thắng Olympic khu vực. Ngoài ra, đối với những người chiến thắng trong cuộc thi đang diễn ra của chúng tôi dành cho lời giải, các biên tập viên của dịch vụ đã giới thiệu một số giải thưởng đặc biệt.

Sau khi tạo nhiệm vụ, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất nhiệm vụ này cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả các nhiệm vụ này đều được xuất bản lần đầu tiên.

Đưa ra một vấn đề mới ban đầu thường khó hơn việc giải quyết nó. Khó hơn nhưng xin thưa, lại càng thú vị hơn. Nếu bạn thành công, hãy giao cho chúng tôi nhiệm vụ cùng với giải pháp. Chúng tôi sẽ xuất bản những bài tập hay và thú vị nhất trong “Sách Vấn đề Kvant” hoặc trong các phần khác của tạp chí.

Địa chỉ của chúng tôi: 117071, Moscow B-71, Leninsky Prospekt, 15, tòa soạn tạp chí «Kvant». Trên phong bì, sau địa chỉ của tạp chí, hãy viết lời giải cho mỗi mục bạn gửi (ví dụ: “Bài toán Kvant, M181, M184”; hoặc “F201” hoặc “mới bài toán”). Lời giải được giao cho từng môn học (nếu bạn gửi cả toán và vật lý), đồng thời gửi bài tập mới trong các phong bì riêng. Ở đầu bức thư, hãy nhớ viết họ, tên, họ hàng, địa chỉ nhà (cũng như lớp và trường nơi bạn học). Chúng tôi sẽ có thể xem xét và tính đến sữa của người đọc nếu chúng được viết bằng tiếng Nga. Lời giải phải được gửi không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi số báo tương ứng hết bản in. Đặc biệt, thời hạn gửi đáp số nhiệm vụ từ số này không muộn hơn ngày 1/3/1973.

25

Bài toán
M181–M185; F193–F197.

M181. Chiều dài ngắn nhất mà một đoạn dây phải có để có thể uốn khung hình lập phương có cạnh 10 cm là bao nhiêu? (Dây có thể đi dọc theo một cạnh hai lần, uốn cong 90° và 180° nhưng không thể đứt được.)

M182. Chứng minh rằng nếu a) $a > 0$, $b > 0$ và $c > 0$ thì
$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.$$
6) $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ và $d > 0$, sau đó
$$\frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{a+c+d} + \frac{c}{a+b+d} + \frac{d}{a+b+c} \geq \frac{4}{3}.$$
c) $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ là số dương ($n \geq 2$), thì
$$\frac{a_1}{a_2+a_3+\dots+a_n} + \frac{a_2}{a_1+a_3+\dots+a_n} + \dots + \frac{a_n}{a_1+a_2+\dots+a_{n-1}} \geq \frac{n}{n-1}.$$

M183. Tìm chiều cao của một hình thang có hai đáy bằng a và b ($a < b$), góc giữa hai đường chéo là 90° và góc giữa hai cạnh kéo dài là 45°.

M184 *. Chứng minh chính xác
$$\frac{C_n^0}{x} - \frac{C_n^1}{x+1} + \dots + (-1)^n \frac{C_n^n}{x+n} = \frac{n!}{x(x+1)(x+2)\dots(x+n)}.$$
G. E. Esinenko

M185 *. Trên một caften có diện tích 1, có thể đặt 5 miếng vá, diện tích của mỗi miếng không nhỏ hơn $1/2$. Chứng minh rằng bạn tìm được hai mảng, diện tích

phần tổng quát không nhỏ hơn $1/5$.
E. B. Dykin

F193. Có hai hệ thấu kính có cùng tiêu cự. Trục quang của thấu kính trùng nhau (Hình 1). Hệ thấu kính thứ nhất bao gồm các thấu kính hội tụ; trong trường hợp thứ hai, thấu kính hội tụ được nối với nhau bằng thấu kính phân kỳ. Tìm quỹ đạo của các tia sáng trong mỗi hệ nếu khoảng cách giữa các thấu kính nhỏ hơn nhiều so với tiêu cự.

F194. Một điện tích được đặt giữa các bản của một tụ điện phẳng. Nó sẽ chuyển động như thế nào nếu đặt một điện áp hình sin có pha ban đầu $\varphi_0 = 0$ vào tụ điện?

F195. Giữa hai khối lập phương có khối lượng $m_1$ và $m_2$ có ​​một lò xo cuộn có độ cứng k. Các hình khối được buộc bằng chỉ, khoảng cách giữa chúng là l (Hình 2). Hỏi nếu sợi dây bị đốt cháy thì khối tâm của hệ sẽ tăng lên độ cao bao nhiêu? Mùa xuân được coi là đáng kinh ngạc. Eelina ở trạng thái bình thường bằng $l_0$.

F196. Một chùm proton rất mỏng chuyển động theo đường tròn bán kính R trong buồng máy gia tốc. Kích thước của điểm tại thời điểm ban đầu là I, tổng số phần trong buồng là n. Từ thông xuyên qua chùm tia không làm thay đổi quỹ đạo và thay đổi với tốc độ f. Kích thước của điểm sẽ là bao nhiêu sau khi các hạt thực hiện một vòng quay? Tốc độ của bộ phận vẫn nhỏ hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng.

F197. Trên một vật có khối lượng m, nằm trên một mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát k, tại thời điểm t=0, một lực tỉ lệ với thời gian bắt đầu tác dụng một góc α so với đường chân trời. Xác định vận tốc v của chuyển động của vật sau t giây.

A. V. Ustinova