Kvant
Luyện thi đại học

Phương trình trạng thái khí. Công và nhiệt dung của khí

Зайцев И. А.

Kvant 1973, số 1tr. 43-47Thẻ B5QJ

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

43

Phương trình trạng thái khí.
Công và nhiệt lượng của khí.

I. A. Zaitsev

Bài toán để thay đổi trạng thái của khí lý tưởng được giải bằng phương trình trạng thái khí - phương trình Clapeyron - Mendeleev, phương trình liên hệ các thông số trạng thái - áp suất, thể tích và nhiệt độ:

PV=mμRT,PV = \frac{m}{\mu} RT,

trong đó mm là khối lượng của chất khí, μ\mu là khối lượng phân tử (gram-mol) của chất khí này, mμ\frac{m}{\mu} là số mol, RR là hằng số khí phổ quát. Chúng ta sẽ bắt đầu bài viết này bằng cách giải một số bài toán điển hình. Sau đó, chúng ta sẽ xem xét công thực hiện bởi chất khí hoặc tác dụng lên chất khí được xác định như thế nào và nhiệt lượng của chất khí trong các quá trình khác nhau.

Bài toán 1. Thể tích của một khối khí nhất định thay đổi như thế nào trong quá trình chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2 (Hình 1)?

Lời giải. Từ phương trình trạng thái khí, ta suy ra rằng khi xây dựng thể tích của một chất khí, áp suất của nó tỷ lệ thuận với nhiệt độ:

P=1VmμRT.P = \frac{1}{V} \frac{m}{\mu} RT.

Đồ thị của PP so với TT là một đường thẳng có phương trình là

P=aT,P = aT,

ở đâu a=1VmμRa = \frac{1}{V} \frac{m}{\mu} R. VV càng lớn thì hệ số tỷ lệ aa càng nhỏ và góc α\alpha của đồ họa với trục TT càng nhỏ. Hãy vẽ hai đường đẳng lượng đi qua điểm 1 và 2. Vì α1>α2\alpha_1 > \alpha_2 nên V2>V1V_2 > V_1, tức là thể tích của khí tăng.

Bài toán 2. Khối lượng của khí trong bình có xương VV thay đổi như thế nào nếu khi đun nóng khí từ nhiệt độ T1T_1 đến nhiệt độ T2T_2, áp suất trong bình thay đổi từ P1P_1 thành P2P_2? Khối lượng phân tử của khí là μ\mu.

Cơm. 1.

Lời giải. bài toán này có thể được giải không phải bằng phương trình trạng thái khí mà bằng các định luật Boyle - Mariotte, Gay-Lussac và Charles. Tuy nhiên, lời giải này khá cồng kềnh và đòi hỏi sự khéo léo. Sử dụng phương trình trạng thái khí bài toán có thể được giải khá đơn giản.

Hãy viết phương trình của khí trong bình khi bắt đầu và kết thúc quá trình:

P1V=m1μRT1,P_1V = \frac{m_1}{\mu}RT_1,

P2V=m2μRT2.P_2V = \frac{m_2}{\mu}RT_2.

44

Ở đây m1m_1 là khối lượng khí trong xi lanh trước khi nung nóng, và m2m_2 là khối lượng khí trong bình sau khi nung nóng. Chúng ta hãy biểu thị m1m_1 và m2m_2 từ các phương trình này

m1=μVRP1T1,m_1 = \frac{\mu V}{R} \frac{P_1}{T_1},

m2=μVRP2T2.m_2 = \frac{\mu V}{R} \frac{P_2}{T_2}.

Khi đó khối lượng thay đổi Δm=m1−m2=μVR(P1T1−P2T2).\Delta m = m_1 - m_2 = \frac{\mu V}{R} \left( \frac{P_1}{T_1} - \frac{P_2}{T_2} \right).

Bài 3. Không khí được bơm ra khỏi bình có thể tích VV, áp suất trong bình là PP. Một máy bơm piston nên bơm bao nhiêu khoảng vv để áp suất trong bình kín là kk lần? Nhiệt độ không khí không thay đổi.

Lời giải. Trước khi piston thực hiện cú “xoay chuyển” đầu tiên, chúng ta có thể viết cho khí trong bình

PV=mμRT.PV = \frac{m}{\mu} RT.

Khi piston bơm ở vị trí cực đại, thể tích khí là V+vV + v, áp suất là P1P_1 và

P1(V+v)=mμRT.P_1 (V + v) = \frac{m}{\mu} RT.

Điều này có nghĩa là

P1=PVV+v.P_1 = P \frac{V}{V + v}.

Tương tự, chúng ta thấy rằng sau lần lắc thứ hai, áp suất trong bình sẽ bằng

P2=P1VV+v=P(VV+v)2.P_2 = P_1 \frac{V}{V + v} = P \left( \frac{V}{V + v} \right)^2.

Sau khi dao động nn, áp suất trở nên bằng nhau

Pn=P(VV+v)n.P_n = P \left( \frac{V}{V + v} \right)^n.

Theo điều kiện bài toán

Pn=1kP.P_n = \frac{1}{k} P.

Nó theo sau đó

1k=(VV+v)n,\frac{1}{k} = \left( \frac{V}{V + v} \right)^n,

đó là

n=−lg⁡klg⁡V/v=lg⁡klg⁡Vv+V/V.n = - \frac{\lg k}{\lg V / v} = \frac{\lg k}{\lg \frac{V}{v} + V / V}.

Nếu có một hỗn hợp nhiều loại khí trong một bình thì theo định luật Dalton, áp suất của hỗn hợp này tác dụng lên thành bình bằng tổng các áp suất riêng phần. Áp suất mà mỗi khí riêng lẻ sẽ tạo ra nếu loại bỏ các khí còn lại khỏi bình chứa được gọi là áp suất riêng phần. Điều này có nghĩa là trạng thái của mỗi khí trong hỗn hợp không phụ thuộc vào trạng thái của các khí khác. Tuy nhiên, chỉ có thể tích và nhiệt độ là không đổi (vì các chất khí ở trạng thái cân bằng). Do đó, đối với mỗi loại khí có thể viết phương trình trạng thái khí khác nhau. Hãy lấy một ví dụ.

Bài 4. Xác định khối lượng riêng của hỗn hợp gồm m1=50m_1 = 50 oxy và m2=20m_2 = 20 hydro ở nhiệt độ t=20∘Ct = 20^\circ C và áp suất P=0,9P = 0,9 atm.

Lời giải.

P=P1+P2,P = P_1 + P_2,

trong đó P1P_1 là áp suất riêng phần của oxy và P2P_2 là áp suất riêng phần của hydro.

Chúng ta hãy biểu thị thể tích của hỗn hợp VV, sau đó

P1V=m1μ1RT,P_1 V = \frac{m_1}{\mu_1} RT,

P2V=m2μ2RT,P_2 V = \frac{m_2}{\mu_2} RT,

Và

PV=(m1μ1+m2μ2)RT.PV = \left( \frac{m_1}{\mu_1} + \frac{m_2}{\mu_2} \right) RT.

Mật độ của hỗn hợp là

ρ=m1+m2V=m1+m2RT(m1μ1+m2μ2)≈0,23 ке/м3.\rho = \frac{m_1 + m_2}{V} = \frac{m_1 + m_2}{RT} \left( \frac{m_1}{\mu_1} + \frac{m_2}{\mu_2} \right) \approx 0,23 \text{ ке/м}^3.

Bài 5. Một bình kín có thể tích V=5V = 5 l được chia thành hai phần bằng nhau bằng một vách ngăn bán thấm cố định. Trong một nửa tàu của vị trí ban đầu

45

m1=30m_1 = 30 e hydro, còn lại m2=160m_2 = 160 e oxy. Hydro có thể khuếch tán qua vách ngăn. Áp suất nào sẽ được thiết lập trong bình sau khi quá trình khuếch tán dừng lại, nếu bình luôn ở nhiệt độ không đổi t=27∘Ct = 27^\circ\text{C}.

Lời giải. Quá trình khuếch tán sẽ dừng lại khi hydro được phân bố đều trong toàn bộ thể tích. Nửa đầu của bình chỉ chứa hydro, nửa sau chứa hydro và oxy. Hơn nữa, áp suất hydro

Рис. 2.

trong nửa đầu bằng áp suất riêng phần của hydro trong hỗn hợp ở nửa sau của bình. Nếu áp suất hydro biểu thị P1P_1 thì

P1V2=m12μ1RT=73,8 ammP_1 \frac{V}{2} = \frac{m_1}{2} \mu_1 RT = 73,8 \text{ amm}

(μ1=2 e/mоль—молекулярнаямассаводорода\mu_1 = 2 \text{ e/mоль} — молекулярная масса водорода).

Ở nửa sau của bình áp suất bằng

P=P1+P2,P = P_1 + P_2,

Ở đâu

P2V2=m2μ2RTP_2 \frac{V}{2} = \frac{m_2}{\mu_2} RT

(μ2=32emol—молекулярнаямассакислорода\mu_2 = 32 \frac{e}{mol} — молекулярная масса кислорода).

Như vậy

P=(2m2μ2+m1μ1)RTV≈123 amm.P = \left( 2 \frac{m_2}{\mu_2} + \frac{m_1}{\mu_1} \right) \frac{RT}{V} \approx 123 \text{ amm}.

Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào một vấn đề quan trọng khác - công do khí thực hiện. Nếu một chất khí nở ra ở áp suất không đổi thì nó thực hiện công

A=PΔV,A = P \Delta V,

trong đó ΔV\Delta V là sự thay đổi thể tích khí. Việc chứng minh công thức này không hề khó khăn chút nào. Cho khí đựng trong một hình trụ có pít-tông có diện tích SS. Khi đó lực FF tác dụng lên phía của chất khí bằng PSPS và khi piston trộn đều trên một khoảng cách Δl\Delta l thì chất khí thực hiện công

A=FΔl=PSΔl.A = F \Delta l = PS \Delta l.

Bởi vì

SΔl=ΔV,S \Delta l = \Delta V,

Cái đó

A=PΔV.A = P \Delta V.

Khi thể tích của khí giảm, ΔV<0\Delta V < 0 và khí thực hiện công âm. Điều này có nghĩa là ngoại lực tác dụng lên piston thực hiện công dương.

Phải làm gì nếu áp suất trong bình không đổi? Ví dụ: nó có thay đổi theo âm lượng như trong Hình 2 không? Sự thay đổi thể tích khí có thể được chia thành các phần nhỏ, sao cho trong mỗi phần đó, áp suất có thể được coi là không đổi. Trong mỗi phần này, áp suất do khí gây ra bằng tích của áp suất khí và sự thay đổi thể tích của nó. Tích này bằng diện tích của đoạn thẳng được tô sáng trong hình. Công mà khí thực hiện trong toàn bộ quá trình bằng tổng các sản phẩm này. Tại ΔV→0\Delta V \rightarrow 0 tổng này có xu hướng bằng diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị P(V)P(V) và trục VV.

Vì vậy, để tìm công mà chất khí thực hiện trong một quá trình nhất định, bạn cần vẽ đồ thị áp suất của nó theo thể tích và tìm diện tích của hình bên dưới đồ thị.

Làm thế nào để làm điều này?
Hãy giải bài toán.

Bài toán 6. Một chu trình (quy trình khép kín) được thực hiện trên 1 mol khí lý tưởng, được minh họa bằng đồ thị

46

trượt tuyết trong Hình 3. Tổng công mà khí đã thực hiện trong quá trình emode là bao nhiêu?

Lời giải. Hãy vẽ đồ thị về sự phụ thuộc của PP vào VV (Hình 4). Trong phần 1-2, áp suất thay đổi theo định luật P=α⋅T12P = \alpha \cdot T^{\frac{1}{2}}, trong đó α\alpha là một hằng số. Chúng ta hãy biểu thị nhiệt độ khí theo áp suất T=P2α2T = \frac{P^2}{\alpha^2} và thay nó vào phương trình Clapeyron-Mendeleev:

PV=RT.PV = RT.

chúng tôi nhận được

V=RPα2;P=α2R⋅V,V = R \frac{P}{\alpha^2}; \quad P = \frac{\alpha^2}{R} \cdot V,

nghĩa là áp suất tỉ lệ thuận với thể tích. Trong phần này, khí thực hiện tác dụng dương. Quá trình 2-3 là đẳng tích; trong quá trình này, công việc bằng không. Trong quá trình đẳng áp 3-1, công được thực hiện trên chất khí, nghĩa là chất khí thực hiện công âm. Do đó, tổng công mà khí thực hiện bằng diện tích tam giác 1 2 3:

A=P2−P12(V2−V1).A = \frac{P_2 - P_1}{2} (V_2 - V_1).

Bởi vì

V2=1P2RT2 и V1=1P1RT1,V_2 = \frac{1}{P_2} RT_2 \text{ и } V_1 = \frac{1}{P_1} RT_1,

Cái đó

A=P2−P12(T2P2−T1P1)R.A = \frac{P_2 - P_1}{2} \left( \frac{T_2}{P_2} - \frac{T_1}{P_1} \right) R.

Cơm. 3.

Nhiệt dung của khí lý tưởng (trái ngược với chất lỏng và chất rắn) phụ thuộc vào quá trình xảy ra với chất khí. Ví dụ, nhiệt dung riêng đó là lượng nhiệt cần phải thêm vào một chất khí để tăng nhiệt độ của nó lên 1∘1^\circ. Khi khối lượng của chất khí bằng một đơn vị khối lượng thì nhiệt lượng được gọi là nhiệt dung riêng, và khi quá trình đó bao gồm một mol khí thì nó được gọi là mol.

Nếu chất khí được truyền một lượng nhiệt QQ thì

Q=cmΔTQ = cm\Delta T

(c là nhiệt dung riêng và mm là khối lượng khí).

Theo Định luật Nhiệt động lực học thứ nhất, lượng nhiệt truyền cho chất khí bằng tổng độ biến thiên nội năng của chất khí và công mà chất khí thực hiện:

Q=ΔU+A.Q = \Delta U + A.

Do đó, nhiệt lượng của chất khí có liên quan đến lượng công mà chất khí thực hiện.

Ví dụ, nếu một chất khí trở thành chất khí do nội năng của nó giảm thì nhiệt dung riêng của chất khí đó bằng không. Nhiệt dung của một chất khí cũng có thể âm nếu chất khí đó, do nội năng giảm đi, không chỉ đóng vai trò là chất khí mà còn tỏa một lượng nhiệt nhất định ra môi trường bên ngoài, do đó QQ âm.

47

Nếu quá trình xảy ra ở thể tích không đổi thì khí không sinh công. Trong trường hợp này, lượng nhiệt truyền vào khí bằng độ biến thiên nội năng của nó. Nhiệt dung của một chất khí trong quá trình đẳng tích được gọi là nhiệt dung ở thể tích không đổi và ký hiệu là cVc_V.

Vì trong bất kỳ quá trình nào trong đó nhiệt độ ban đầu và nhiệt độ cuối cùng của khí là như nhau, nên độ biến thiên nội năng của khí là như nhau - nội năng được xác định bởi nhiệt độ của khí - nên trong bất kỳ quá trình nào, độ biến thiên nội năng của khí đều bằng cVmΔTc_V m \Delta T. Do đó, định luật nhiệt động thứ nhất có thể được viết dưới dạng này

cmΔT=cVmΔT+A.cm \Delta T = c_V m \Delta T + A.

Điều này có nghĩa là để tìm nhiệt lượng của một chất khí trong mỗi quá trình nhất định, bạn cần tìm biểu thức tính công mà chất khí thực hiện. Và chúng tôi đã biết cách thực hiện việc này.

Cơm. 5.

Hãy giải quyết bài toán sau đây.

Bài toán 7. Tìm nhiệt dung riêng của một chất khí ở áp suất không đổi nếu nhiệt dung riêng của nó ở thể tích không đổi là cVc_V.

Lời giải. Chúng tôi đã cho thấy điều đó

cPmΔT=cVmΔT+A.c_P m \Delta T = c_V m \Delta T + A.

Không có công khí nào bằng

A=P(V2−V1).A = P (V_2 - V_1).

Bởi vì

PV1=mμRT1PV_1 = \frac{m}{\mu} RT_1 và PV2=mμRT2PV_2 = \frac{m}{\mu} RT_2, thì

V1=1PmμRT1V_1 = \frac{1}{P} \frac{m}{\mu} RT_1 và V2=1PmμRT2V_2 = \frac{1}{P} \frac{m}{\mu} RT_2 và

A=P1PmμR(T2−T1)=mμRΔT.A = P \frac{1}{P} \frac{m}{\mu} R (T_2 - T_1) = \frac{m}{\mu} R \Delta T.

Cơm. 6.

Điều này có nghĩa là

cPmΔT=cVmΔT+mμRΔT.c_P m \Delta T = c_V m \Delta T + \frac{m}{\mu} R \Delta T.

Từ đây

cP=cV+Rμ.c_P = c_V + \frac{R}{\mu}.

Ở bên phải

  1. Trước mỗi nhiệt độ, bạn cần tìm một quả bóng có xương V=10 лV=10 \text{ л} chứa m1=14 em_1=14 \text{ e} nitơ và m2=30 em_2=30 \text{ e} heli để nó nổ tung nếu quả bóng chịu được áp suất không quá P=100 amP=100 \text{ am}?

  2. Có khí trong một xi lanh piston kín. Trong trường hợp nào cần nhiều nhiệt hơn để làm nóng khí này với cùng một số độ: nếu bình được đặt như trong Hình 5, a, hoặc trong trường hợp nó được đặt như trong Hình 5, 6?

  3. Giải bài toán F174 từ “Vấn đề «Kvant»”.

  4. Có bao nhiêu electron trong một khối lượng oxy nhất định, có thể tích 1 lít ở nhiệt độ 200∘C200^\circ \text{C} và áp suất 10 atm?

  5. Các bình chứa m1=16 em_1=16 \text{ e} oxy và m2=10 em_2=10 \text{ e} hydro. Áp suất trong bình thay đổi bao nhiêu lần khi trọng lượng của oxy được chứa cùng với phần hydro cần thiết cho phản ứng? Nhiệt độ trong bình được giữ không đổi. Áp suất của hơi nước bão hòa được chuyển đổi.

  6. Một xi lanh chứa m1=1 kem_1=1 \text{ ke} nitơ phát nổ ở nhiệt độ t1=350∘Ct_1=350^\circ \text{C} khi sử dụng. Lượng hydro m2m_2 có ​​thể được lưu trữ trong bình này ở nhiệt độ t2=20∘Ct_2=20^\circ \text{C} và có giới hạn an toàn gấp năm lần?

  7. Nếu quá trình ABC được thực hiện trên một loại khí lý tưởng (Hình 6), thì lượng khí trong quy trình ADC được cung cấp cho nó?

  8. Nhiệt dung riêng của một chất khí có thể lớn vô cùng không?