Уравнение газового состояния. Работа и теплоёмкость газа

43

Уравнение газового состояния.
Работа и тепломкость газа.

И. А. Зайцев

Задачи на изменение состояния идеального газа решаются с помощью уравнения газового состояния — уравнения Клапейрона — Менделеева, связывающего между собой параметры состояния — давление, объем и температуру:

$$PV = \frac{m}{\mu} RT,$$

где $m$ — масса газа, $\mu$ — молекулярная масса (грамм-моль) этого газа, $\frac{m}{\mu}$ — число молей, $R$ — универсальная газовая постоянная. Эту статью мы начнем с того, что решим несколько типичных задач. Затем рассмотрим как находится работу, совершаемую газом или над газом, и тепломкость газа в различных процесах.

Задача 1. Как менялся объем некомторой массы газа при его переходе из состояния 1 в состояния 2 (рис. 1)?

Решение. Из уравнения газового состояния следует, что при построении объема газа его давление пропорционально температуре:

$$P = \frac{1}{V} \frac{m}{\mu} RT.$$

График зависимости $P$ от $T$ — это прямая, уравнение которого

$$P = aT,$$

где $a = \frac{1}{V} \frac{m}{\mu} R$. Чем больше $V$, тем меньше коэффициент пропорционального $a$ и тем меньше угол $\alpha$ накладна графика к оси $T$. Нарисуем две изохоры, проходящие через точки 1 и 2. Так как $\alpha_1 > \alpha_2$, то $V_2 > V_1$, то есть объем газа увеличивается.

Задача 2. Как изменилась масса газа в баллоне emкостью $V$, если при наревании газа от температуры $T_1$ до температуры $T_2$ давление в баллоне изменилось от $P_1$ до $P_2$? Молекулярная масса газа равна $\mu$.

Рис. 1.

Решение. Эту задачу можно решать, используя не уравнение газового состояния, а законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Однако такое решение является громоздким и требует известной изобретательности. С помощью уравнения газового состояния задача решаетсясовсем просто.

Запишем уравнение газа в баллоне в начале и в конце процесса:

$$P_1V = \frac{m_1}{\mu}RT_1,$$

$$P_2V = \frac{m_2}{\mu}RT_2.$$

44

Здесь $m_1$ — масса газа в баллоне до нагрева, а $m_2$ — после нагрева. Выразим $m_1$ и $m_2$ из этих уравнений

$$m_1 = \frac{\mu V}{R} \frac{P_1}{T_1},$$

$$m_2 = \frac{\mu V}{R} \frac{P_2}{T_2}.$$

Тогда изменение массы $\Delta m = m_1 - m_2 = \frac{\mu V}{R} \left( \frac{P_1}{T_1} - \frac{P_2}{T_2} \right).$

Задча 3. Из сосуда обтемом $V$, давление в комором равно $P$, откачиваютвоздух. Сколько качанный должен сделать поршневой насос обтемом $v$ для мого, чтобы давление в сосуде уплотов в $k$ раз? Температура воздуха не меняется.

Решение. До того, как поршень сделал первое «качание», для газа в сосуде можно записать

$$PV = \frac{m}{\mu} RT.$$

Когда поршень насоса стоит в крайнем положении, объем газа равен $V + v$, давление $P_1$, причем

$$P_1 (V + v) = \frac{m}{\mu} RT.$$

Это означает, что

$$P_1 = P \frac{V}{V + v}.$$

Аналогично найдем, что после второго качания давление в сосуде будет равно

$$P_2 = P_1 \frac{V}{V + v} = P \left( \frac{V}{V + v} \right)^2.$$

После $n$ качаний давление становится равным

$$P_n = P \left( \frac{V}{V + v} \right)^n.$$

По условию задачи

$$P_n = \frac{1}{k} P.$$

Отсюда следует, что

$$\frac{1}{k} = \left( \frac{V}{V + v} \right)^n,$$

то есть

$$n = - \frac{\lg k}{\lg V / v} = \frac{\lg k}{\lg \frac{V}{v} + V / V}.$$

Если в сосуде имеется смесь нескольких газов, то согласно закону Дальтона давление этой смеси на стенки сосуда равно сумме парциальных давлений. Давление, которое создает бы каждый газ в отдельности, если из сосуда удалить остальные газы, называют парциальным давлением. Это означает, что состояние каждого газа в смеси не зависит от состояния других газов. Однакоковыми являются только объем и температура (так как газы находятся в равновесии). Поэтому для каждого из газов неравниимо можно записать уравнение газового состояния. Расстоярим пример.

Задча 4. Определить плотность смеси, состоящей из $m_1 = 50$ е кислорода и $m_2 = 20$ е водорода при температуре $t = 20^\circ C$ и давлении $P = 0,9$ атмосфер.

Решение.

$$P = P_1 + P_2,$$

где $P_1$ — парциальное давление кислорода и $P_2$ — парциальное давление водорода.

Обозначим объем смеси $V$, тогда

$$P_1 V = \frac{m_1}{\mu_1} RT,$$

$$P_2 V = \frac{m_2}{\mu_2} RT,$$

и

$$PV = \left( \frac{m_1}{\mu_1} + \frac{m_2}{\mu_2} \right) RT.$$

Плотность смеси равна

$$\rho = \frac{m_1 + m_2}{V} = \frac{m_1 + m_2}{RT} \left( \frac{m_1}{\mu_1} + \frac{m_2}{\mu_2} \right) \approx 0,23 \text{ ке/м}^3.$$

Задча 5. Закрытый сосуд обтемом $V = 5$ л разделен на две равные части неподвижной полупроницаемой перегородкой. В одной половине сосуда первогочаального нахождения

45

$m_1 = 30$ е водорода, в другой $m_2 = 160$ е кислорода. Через перегородку может диффундировать молко водород. Какие давления установятся в сосуде после прекращения процесса диффузии, если сосуд находится все время при постояной температуре $t = 27^\circ\text{C}$.

Решение. Процесс диффузии прекратится, когда водород равномерно распределится по всему объему. В первой половине сосуда будет только водород, во втором — водород и кислород. Причем давление водорода

Рис. 2.

в первой половине равно парциальному давлению водорода в смеси во второй половине сосуда. Если давление водорода обозначит $P_1$, то

$$P_1 \frac{V}{2} = \frac{m_1}{2} \mu_1 RT = 73,8 \text{ amm}$$

($\mu_1 = 2 \text{ e/mоль} — молекулярная масса водорода$).

Во второй половине сосуда давление равно

$$P = P_1 + P_2,$$

где

$$P_2 \frac{V}{2} = \frac{m_2}{\mu_2} RT$$

($\mu_2 = 32 \frac{e}{mol} — молекулярная масса кислорода$).

Таким образом

$$P = \left( 2 \frac{m_2}{\mu_2} + \frac{m_1}{\mu_1} \right) \frac{RT}{V} \approx 123 \text{ amm}.$$

Теперь оставимся на другом важном вопросе — о работе, совершаемой газом. Если газ расширяется при постоянном давлении, то он совершает работу

$$A = P \Delta V,$$

где $\Delta V$ — изменение объема газа. Доказать эту формулу совсем нетрудно. Пусть газ находится в цилиндре с поршнем, плошдь которого равна $S$. Тогда сила $F$, действующая со стороны газа, равна $PS$ и при смешении поршня на расстояние $\Delta l$ газ совершает работу

$$A = F \Delta l = PS \Delta l.$$

Так как

$$S \Delta l = \Delta V,$$

то

$$A = P \Delta V.$$

При уменьшении объема газа $\Delta V < 0$ и газ совершает отрицательную работу. Это означает, что внешние силы, действующие на поршень, совершают положительное работу.

Как быть в том случае, если давление в сосуде не постоянно? Например, меняется с изменением объема так, как показано на рисунке 2? Изменение объема газа можно разбит на маленькие участки, такие, что на протяжении каждого из них давление можно считать постоянным. На каждом из таких участков равна, совершаемая газом, равна произведению давления газа на изменение его объема. Это произведение равно площади выделенного на рисунке прямого графики. Работа, совершаемая газом во время всего процесса, равна сумме таких произведений. При $\Delta V \rightarrow 0$ эта сумма стремится к площади фигуры, ограниченной графиком $P(V)$ и осью $V$.

Итак, чтобы найти работу, совершаемую газом при определенном процессе, нужно нарисовать график зависимости его давления от объема и найти площадь фигуры под графиком.

Как это сделать?
Решим задачу.

Задача 6. Над 1 молем идеально газа совершается цикл (замкнутый процесс), показанный графиче-

46

ски на рисунке 3. Какую полную работу совершил газ во время эмодного процесса?

Решение. Нарисуем график зависимости $P$ от $V$ (рис. 4). На участке 1—2 давление меняется по закону $P = \alpha \cdot T^{\frac{1}{2}}$, где $\alpha$ — некоторая постоянная. Выразим температуру газа через давление $T = \frac{P^2}{\alpha^2}$ и подставим в уравнение Клапейрона — Менделеева:

$$PV = RT.$$

Получим

$$V = R \frac{P}{\alpha^2}; \quad P = \frac{\alpha^2}{R} \cdot V,$$

то есть давление прямо пропорционально объему. На этом участке газ совершает положительное работу. Процесс 2—3 — изохорический, во время этого процесса работа равна нулю. Во время изобарического процесса 3—1 работа совершалась над газом, то есть газ совершал отрицательную работу. Таким образом полная работа, которую совершил газ, равна площади треугольника 1 2 3:

$$A = \frac{P_2 - P_1}{2} (V_2 - V_1).$$

Так как

$$V_2 = \frac{1}{P_2} RT_2 \text{ и } V_1 = \frac{1}{P_1} RT_1,$$

то

$$A = \frac{P_2 - P_1}{2} \left( \frac{T_2}{P_2} - \frac{T_1}{P_1} \right) R.$$

Рис. 3.

Теплоемкость идеального газа (в отличие от жидкости и твердых тел) зависит от того, какой процесс происходит с газом. Например, что тепломкость — это количество теплла, которое нужно сообщить газу для того, чтобы увеличит его температуру на $1^\circ$. Когда масса газа равна единице массы, тепломкость называютудельной, а когда процесс идет с одним молем газа, — молярной.

Если газ сообщается количество теплла $Q$, то

$$Q = cm\Delta T$$

(c — удельная тепломкость и $m$ — масса газа).

Согласно I закону термодинамики количество теплоты, сообщенной газу, равно сумме изменения внутренней энергии газа и работы, совершенной газом:

$$Q = \Delta U + A.$$

Следовательно, тепломкость газа связана с тем, какую работу совершает газ.

Например, если газа совершается газом за счет уменшения его внутренней энергии, тепломкость газа равна нулю. Теплоемкость газа может быть и отрицательной, если газ за счет уменшения своей внутренней энергии не только совершает газу, но еще и отдает во внешнюю среду некоторая количество теплла, так что $Q$ отрицательно.

47

Если процесс идет при постоянном объеме, то газ не совершает работу. В этом случае количество теплла, которое сообщается газу, равно изменению его внутренней энергии. Теплоемкость газа во время изохорического процесса называют тепломкость при постоянном объеме и обозначают $c_V$.

Так как при любых процесах, при которых начальная и конечная температура газа одни и те же, изменения внутренней энергии газа одинаковы — внутренняя энергия определяется температурой газа, — то при любом процессе изменение внутренней энергии газа равно $c_V m \Delta T$. Поэтому I закон термодинамики можно записать в таком виде

$$cm \Delta T = c_V m \Delta T + A.$$

Это означает, что для того, чтобы найти тепломкость газа в каждой данном процессе, нужно найти выражение для работы, совершенной газом. А как это сделать, мы уже знаем.

Рис. 5.

Решим следующее задачу.

Задача 7. Найти уделенную тепломкость газа при постоянном давлении, если его уделенная тепломкость при постоянном объеме равна $c_V$.

Решение. Мы показали, что

$$c_P m \Delta T = c_V m \Delta T + A.$$

No работа газа равна

$$A = P (V_2 - V_1).$$

Так как

$$PV_1 = \frac{m}{\mu} RT_1$$ и $$PV_2 = \frac{m}{\mu} RT_2$$, то

$$V_1 = \frac{1}{P} \frac{m}{\mu} RT_1$$ и $$V_2 = \frac{1}{P} \frac{m}{\mu} RT_2$$ и

$$A = P \frac{1}{P} \frac{m}{\mu} R (T_2 - T_1) = \frac{m}{\mu} R \Delta T.$$

Рис. 6.

Это означает, что

$$c_P m \Delta T = c_V m \Delta T + \frac{m}{\mu} R \Delta T.$$

Отсюда

$$c_P = c_V + \frac{R}{\mu}.$$

У праванения

1. До каждой температуры нужно найти балон emкостью $V=10 \text{ л}$, содержащий $m_1=14 \text{ e}$ азота и $m_2=30 \text{ e}$ гелия для того, чтобы он разорвался, если балон выдерживает давление не более $P=100 \text{ am}$?

2. В закрытом поршнем цилиндре находится газ. В каком случае необходимо больше теплла для нагрева этого газа на одинаковое число градусов: если сосуд расположен так, как показано на рисунке 5, а или в том случае, когда он расположен так, как показано на рисунке 5, 6?

3. Решите задачу Ф174 из «Заданияка «Кванта»».

4. Сколько электронов находится в некоторой массе кислорода, занимающего объем 1 литр при температуре $200^\circ \text{C}$ и давлении 10 atmosфер?

5. В сосудах находится $m_1=16 \text{ e}$ кислорода и $m_2=10 \text{ e}$ водорода. Во сколько раз изменяется давление в сосуда, когда вес кислорода содержится с необходимой для реакции частю водорода? Temperatura в сосуда подерживается постоянной. Давление насыщенных водяных паров преобразуется.

6. Балон, содержащий $m_1=1 \text{ ke}$ азота, при использовании взорвался при температуре $t_1=350^\circ \text{C}$. Какое количество водорода $m_2$ можно хранить в этом сосуде при температуре $t_2=20^\circ \text{C}$, и имея пяткратный запас прочности?

7. Если над идеальным газом совершается процесс ABC (рис. 6), то ему сообщается количество газу при процессе ADC?

8. Можно ли уделять тепломкость газа быть бесконечно большой?