Окружность Микеля

23

и $A_2A_6$, $A_2A_4$ и $A_3A_5$, $A_1A_4$ и $A_3A_6$ (достаточно сделать круговую перестановку обозначений вершин).

Тепер мы можем решить такую задачу: «Даны 5 мочек окружности. Пользовать молоко линийкой, постройть еще одну мочек этой окружности».

Пусть данные точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ и $A_5$. Найдя точку $B$ как пересечение $A_1A_3$ с $A_2A_4$, выберем произвольную точку $C$ на $A_2A_5$. Тогда точка $D$ определяется как пересечение $BC$ с $A_1A_5$, а точка $A_6$ оказывается пересечением $A_4D$ с $A_3C$.

Ясно, что таким путем можно построить сколько углово точек окружности.

В заключение приведем несколько задач о вписанном шестиугольнике.

Упражнения

1. Вписать в данную окружность шестиугольник по серединам сторона, взятых через одну.
2. Пять последовательных углов вписанного выпуклого шестиугольника относится как $6:5:8:9:10$. Найти величины шестого угла.
3. Шестугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ вписан в окружность, причем $A_1A_2 = A_3A_4 = A_5A_6 = a$ и $A_2A_3 = A_4A_5 = A_6A_1 = b$. Доказать, что диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ ограничивают равносторонний треугольник, и найти его площадь.
4. Большие диагонали вписанного выпуклого шестиугольника $A_1A_2$, $A_3A_4$ и $A_5A_6$ пересекаются в одной точке; $A_1A_2 = 6$ см, $A_3A_4 = 16$ см и $A_5A_6 = 18$ см, а три остальные стороны равны между собой. Найти перimeter шестиугольника.
5. В окружность радиуса 25 см вписан шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, три диагонали которого проходят через центр окружности. Знача, что $A_1A_2 = 14$ см, $A_3A_4 = 30$ см, определять перimeter шестиугольника.

Литература

1. С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника, Учредгиз, 1962.
2. Ж. Адамар. Элементарная геометрия, т. 1, Учредгиз, 1948.
3. Н. Ф. Четверухин. Проектная геометрия, «Просвещение», 1969.

Окружность Микеля

Что это за клубок цветных линей на обложке? Можно лиусмотреть какой-либо порядок в их размещении?

Да, можно. Красным цветом наиссованы окружности, описанные около треугольников, не имеющих красной стороны. Синне окружности описаны около треугольников, не имеющих синей стороны, и так далее. Каждый из четырех окружностей независимо от углов между отрезками прямых (лишь бы средний прямых не было параалельных и в одной точке пересекалось не более двух прямых) пересекается в точке, общей для этих окружностей (точка Уоллеса, открытая в 1799 году). Все пяты точки Уоллеса лежат на окружности Микеля (открыта в 1844 году). Окружность Микеля на рисунке первого страниццы обложки играет центральную роль. Она выделена белым цветом.

Но это еще не все. В 1871 году английский математик Уильям Клиффорд доказал следующие правила, не параллельную ни одной из пятей данных прямых и не проходящую через точки пересечения уже построенных прямых. Построим шесть окружностей Микеля (для каждой из пятей прямых) — они пересечутся в одной точке!

Вернемся к конфигурации из четырех прямых. Пусть около каждой из четырех треугольников описана окружность. Немецкий математик Яков Штейнер установил в прошлом столетии, что центры этих окружностей и точки Уоллеса лежат на одной окружности.

Интересно, что доказательства этих фактов описаны своя свишины и центральных углов. Попробуйте самостояльно проверить все доказательства.

В. Н. Березин