Формализация условий задач

Квант 1973, №1 с. 35, 36, 38, 39 Тег BN3N

Формализация условий задачи

А. А. Рывкин

Когда люди, чья жизнь складывает в стороне от математики, вспоминают школьу, им неволно приходят на ум поезда, отправляющиеся из пункта А в пункт В, и бассейны, в которые через одну труду вода наливается, а через другую выливается. Хотя у подобных задач мало общего с той «настоящей» — аksiomatический математикой, этаоном которого на протяжении многих столетий остается элементарная геометрия, уменне их решать — один из непрееменных критериев оценки математической подготовки большинства абитриентов.

По-видимому, жизньная сила подобных текстовых задач заключит в той роли, которую играет в них логика, присушая любому строгому прикладному исследованию.

Сегодня математика все более широко и все более успешно использует для решения таких конкретных задач (как чисто практических, так и возникших в других наукх), которые требуют индивидаального нешаблонного подхода при их форматизации.

Сталкиваясь с подобной задачей, математик вначале стремится формировать ее словами, то есть построить словесную модель, отражающую все существенные стороны явления и оставляющую в стороне второстепенные. Затем это словесную модель представит форматизовать, или построить математическую модель изучаемого объекта. Формальная модель должна быть, с одной стороны, точно простой, чтобы допускать дальнейший математический анализ, а с другой стороны, она должна быть эффективной — отвечать той цели, ради которой ее сконструировали.

Построенная таким образом модель поддержается изучению с помощью число математических средств. Чаще всего она оказывается системой управления, и цель достигается в результате ее решения. В других случаях система состоит из управления и ограничений. Нередко в условиях задачи содержится некоторый критерий качества, позволяющий из множества возможных решений системы отбрать «наилучшие». Слушается, что на последней стадии решения системы выясняется несоответствие модели целей исследования. Тогда приходится вернуть к самому первому этапу и начать все сначала.

Текстовая задача, с которой абитриенты встречаются на экзамене, представляет собой словесную модель некоторых критерийческих задачи. Пусть эта задача не всегда достаточно реальна по своему содержанию, пусть заранее известно, что она имеет более или менее простое решение. Логика формализции и остальные этапы прикладного математического исследования содержатся в ней обязательно.

Сейчас стали появляется текстовые задачи, подводящие абитриентов к тем проблемам, с которых им придется столкнуть после поступления вуз. Например, в 1968 году поступающим на отделение экономического киберNETКИ экономического факультета МГУ была предложена такая задача.

Задача 1. Завод должен переслать заказку 1100 деталей. Демали для пересылаки упаковываются в ящики. Имеются ящики трех минут. Один ящик первого типа имеет 70 деталей, один ящик второго типа — 40 деталей, а один ящик третьего типа — 25 деталей. Стомимость пересылаки одного ящика первого, второго и третьего типа равна соответствению 20, 10 и 7 рублей. Какие ящики должны использовать

завод, чтобы стомимость пересылки была наименьшей? Недорога ящков не допускаемся.

Читатели, привыкшие решать текстовые задачи, легко запишут соответствующие формулы соответствия. Если обозначить через $x_1, x_2$ и $x_3$ количество ящков вместеимость по 70, 40 и 25 деталей соответственно, то

$70 x_1 + 40 x_2 + 25 x_3 = 1100,$

так как по условию неодогрузка ящков не допускается. Величины $x_1, x_2$ и $x_3$ нужно выбрать такими, чтобы стоимость пересылки

$20 \times 70 x_1 + 10 \times 40 x_2 + 7 \times 25 x_3$

была наименьшей.

К сожалению, формуланая запись условий задачи мало чем помогает нам в отыскании ее решения. Гораддо полезнее представить себя на месте работыника экспертизии, которое поручили осуществить эту пересылку. Первое, на что он обратит внимание, будет стоимость пересылки одной детали для каждой из трех вариантов.

Сравнивая числа $\frac{20}{70}, \frac{10}{40}$ и $\frac{7}{25}$ или после приведения к общему значению $\frac{200}{700}, \frac{175}{700}$ и $\frac{196}{700}$ , он заметит, что самой дешевой оказается пересылка в комплектах по 40 деталей, а самой дорогой — в комплектах по 70 деталей. Так как 1100 не делится на 40, то придетя воспользуется не только самых выгодными комплектами. Чтобы потерять как можно меньше, он будет постепенно отказывать от самых выгодных условий, то есть рассматривать случай, когда в ящки по 40 деталей уложено максимальное возможное количество деталей: 1080, 1040, 1000, 960 и т. д. В первом случае неупакованными останутся 20 деталей, а во втором — 60 деталей. Ими нельзя загрузить ящки по 25 деталей в каждой и тем более по 70 деталей. Третьий случай вполне допустим: он предполагает, что для упаковки будут использованы 25 ящи-ков по 40 деталей ( $25 \times 40 = 1000$ ) и 4 ящика по 25 деталей. Любой другой вариант приведет к большим расходам, поскольку количество самых выгодных комплектов уменьшится за счет увеличения количества менее выгодных комплектов (по 25 деталей в ящике) или за счет появления самых выгодных комплектов (по 70 деталей), которые в найденном нами варианте не используют вовсе.

Мы видим, что при решении этой задачи здравый смысл оказался гораздо полезнее формальной математики. А вот для задачи из другой варианта того же года одного здравого смысла было бы, пожалуйста, недостаточно.

Задча 2. Чемыр группы музыктов отправились в воскресный поход по чемырм марірумам разной промяженности. Сумма рассмотрений, проеденных первого и четвертями вместе, на 6 км больше суммы рассмотрений, проеденных второго и третьей группами. Вморая группа проила на 2 км меньше первого. Число музыктов третьей группы равно рассмотрению (в kilометрах), проеднемому первого группы, а число музыктов второго группы равно рассмотрению, проеднемому четвертой группы, равна 494 км². Сколько kilометров проила каждой групп?

Как и в предыдущей задаче, начнем с форматизации условия. Если группа с номером $i$ проила $x_i$ км, то

$\begin{cases} x_1 + x_4 = x_2 + x_3 + 6, \\ x_1 = x_2 + 2, \\ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 494. \end{cases}$

Мы получили систему уравнений с четырьмя неизвестными. Правда, остались неиспользованы условия, в силу которых $x_1$ равно числу туристов третьей группы, а $x_4$ — числу туристов второй группы. В первой момент эти данные задачи вызывают недоумение, а в памяти всплывает детская задача-шутка, ни к сельи ни к городу оканичивающая вопросы.

наполнения резервуара первого и второй трубами в нем получится 5%-ный расчет кислоты? Что зафиксировать тот факт, что резервуар был пополнен, нам нужно знать время, которое эти две трубы работали. Оно равно $\frac{1}{x_1+x_2}$ . Стоппостной концентрированной кислоты за это время поступило $\frac{qx_1}{x_1+x_2}$ , что и составляет 5% от объема, равного единице:

$\frac{qx_1}{x_1+x_2} = 0,05.$

Во втором случае резервуар был пополнен сначала наполненную. Количество концентрированной кислоты при этом оказалось равным $\frac{qx_1}{2(x_1+x_2)}$ .

Затем его пополняла только второй труба, по которой поступала кислота концентрации $q$ . Следовательно, всего в резервуаре оказалось $\frac{qx_1}{2(x_1+x_2)} + \frac{q}{2}$ концентрированной кислоты. Таким образом, получаем второй уравнение:

$\frac{qx_1}{2(x_1+x_2)} + \frac{q}{2} = 0,1.$

Решая полученную систему, находим, что труба, по которой поступает вода, имеет вдвое большую пропускную способность по сравнению с трубой, по которой поступает кислота.

Хотя задача решения довольно быстро, процесс составления уравнения потребовал более трудных логических выкладок, чем это было необходимо.

Следовало сразу же обратить внимание на то обстоятельство, что сам резервуар не играет в условия задачиникакой роли, а потому «ядро» задачи мы выбрали неверно. И в первом, и во втором случае в условиях говорится о потоках жидкости, а не о ее запасах. Если в резервуар по двум трубам одновременно начинает поступать чистая вода и расторки кислоты постоянной концентрации, то 5%-ный расторки кислоты получится не только после его пополнения. В каждый момент времени в результате перемещения двух поступающих в резервуар жидкости получается расторок 5%-ной концентрации. Прием теперь пропускную способность трубы, по которой поступает кислота, за единицу, а пропускную способность другой трубы обозначим через $p$ ( $p$ мы и должны определить по условию задачи). Пусть, как и прежде, концентрация поступающего по первой трубе кислоты равна $q$ . Процесс смешивания можно описать простым уравнением:

$\frac{q}{p+1} = 0,05$

(в единицу времени в бассейн поступает количество жидкости, равное $p+1$ , а концентрированной кислоты в этой жидкости будет $q$ ).

Вторую часть задачи переформулирует теперь следующим образом: в результате смешения двух одинаковых объемов кислоты, один из которых имел концентрацию 0,05, а другой $q$ , получился расторок концентрации 0,1:

$\frac{0,05+q}{2} = 0,1.$

Решение полученных уравнений не представляется никакого труда.

В этой задаче выбор менее рационального пути для ее формиализации практических не условиял процесса решения полученной в результате системы уравнения. Однако в тех же задачи на концентрацию могут возникнуть серыеные затруднения только из-за того, что выбран неудачный путем составления уравнения. В качестве примера обратится к задаче, которая неоднократно предлагалась на экзаменах (мехмат, 1962, экономическая книберетика, 1965).

Задание 4. Из полного бака, содержащого 729 л чистой кислоты, отлили а л и долли бак воды. После полного перемещения (до получения однородного расстройка) из бака опять отлили а л расвора, снова долли бак воды и тщательно перемещали. После того как макая операция была проведена шесть раз, жидкость в баке

содержала 64 л чистой кислоты. Определить величины $a$ .

В условиях акцент сделан на том, что после шестикратного повторения операции в бake осталось 64 л чистой кислоты. Объчно это условия и служит базой для составления уравнения.

Однако задачу можно решить проще, если в качестве основы для составления уравнения выбрать концентрацию расторов, а не объемы. Подобные задачи и называют задачи на концентрацию, поскольку именно обращение к концентрации позволяет получить наиболее удобную формульную запись усовия. Обозначим через $q_1, q_2, \dots$ концентрацию кислоты в бake после первой, второй,… операции. Очевидно, что

$q_1 = \frac{729 - a}{729}, \quad q_2 = q_1 \frac{729 - a}{729}, \dots,$

$q_6 = q_5 \frac{729 - a}{729}.$

В самом деле, если перед $(i + 1)$ -й операцией концентрация кислоты была $q_i$ , то из бака выили $q_i$ а литров чистой кислоты, после чего в нем осталось $q_i (729 - a)$ литров чистой кислоты. Таким образом,

$q_{i+1} = q_i \frac{729 - a}{729}.$

Итак, концентрация $q_i$ образуют геометрическую прогрессию со значением $\frac{729 - a}{729}$ . Так как концентрация $q_6$ по условию равна $\frac{64}{729}$ , то получаем уравнение

$\left( \frac{729 - a}{729} \right)^6 = \frac{64}{729},$

то есть $\frac{729 - a}{729} = \frac{2}{3}$ ,

откуда $a = 243$ .

Теперь перейдите к упражнении. Не торопитесь заглянуть в решение даже в том случае, если задача не кажется вам трудной и вы хотите только проверить правильность хода ваших мыслей. Доведите задачу до ответа, причем сделайте это внешательно и аккуратно, и лишь после этого прочтите решение. Сопоставьте ваш подход с тем, который предлагается в конце номера.

Упражнения

(Экономический факультет МГУ, 1968). Предполагается использовать 2000 руб. на путьки в дома отдельxa. Путевки имеются на 15, 27 и 45 дней; стоимость их соответствен 21, 40 и 60 руб. Сколко и каких путевок нужно купить, чтобы общее число дней отдыха было наиболее简便?
(Химфак МГУ, 1969). В первый соуд емкостью 6 л налито 4 л 70%-ного раствора серной кислоты; во второй соуд такой же емкость налито 3 л 90%-ного раствора серной кислоты (имеется в виду объемное содержание). Сколко литров раствора нужно перелить из второго соуда в первой, чтобы в первом соуде получился $r\%$ -ный растор серной кислоты? Найти все значения $r$ , при которых задача имеет решение.
(Химфак МГУ, 1970). Две трубы, работаемые, подают в бак 100 л жидкости в минуту. Имеются два раствора кислоты — сильный и слабый. Если смешать по 10 л каждого раствора и 20 л воды, то получится 40 л 20%-ного раствора. Известно также, что если в течение часа подавать в первоначально пустой бак по первой трубе слабый растор, а по второй — сильный, то получится 30%-ный растор кислоты. Какой концентрации (в %) получится кислота, если в течение часа подавать в пустой первоначально бак по первой трубе сильный растор, а по второй — слабый? (Считается, что при смешивании воды и кислоты объем не меняется).
(Филфак МГУ, 1970). Резервар сабжется водой по пяти трубам. Первая труба наполняет резервуар за 40 минут, вторая и четвертая — за 10 минут, третья и пятая — за 20 минут, наконец, четвертая и пятая — за 30 минут. За сколько времени наполняет резервуар все пять при одновременной работе?
Сосуд, содержащий $p\%$ -ный раствор кислоты, должен довернуть $q\%$ -ным раствором кислоты и после перемешивания отличили то же количество. Продав эту операцию $k$ раз, получили $r\%$ -ный раствор. Какую часть объема соуда занимает первоначальный растор?