Задачи М181—М185; Ф193—Ф197

24

Задачик «Кванта»

Этом раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. В нем нарушу с относительной легким задачами встречаются и также, которые нележко решить и специализат — математикам и физикам. Самые трудные задачи отмечены звездой. Не отмечаются, если не суммее быстро справиться с задачей; попробуйте вернуться к ней еще раз — через день, через неделю, через месяц. Но вот решение найдено. Если задача вас занимаетовала, то не откладывайте ее сразу же — подумайте, как можно наиболее рационально и коротко записать решение, обобщить задачу, умочить или услимь ее результат, какое близкое задание она позволяет решить.

Во второй части разделы мы помещаем решение задан (примерно через полода после публикации их условий) с учетом присланных читателей посем. С решиями мы советумем знакомиться и тем, кто не ввиливал в проилом году «Квант» или не решал задан.

В «Кванте» №2,4,6,8,10,12 мы приведем фамилии читателя, приславших нам правильные решения задан этою раздела. Школьники, которые в течение года решилибу будут приславить интересные и полные решения, получат право участвовать в областных турах Всегоизной олимпiadы наравне с победителем районных олимпiad. Кроме того, для победителей нашего постояного конкурса по решению задан редакция услугановила несколько специальных премии.

После формирования заданий мы обычно указываем, кто предложил нам эту задану. Разумеется, не все эти задании публикуются впервые.

Придумать новую оригинальную задану обычно труднее, чем решить. Труднее, но, пожалуйста, даже интереснее. Если это вам удастся, припишите нам задану вместе с решением. Наоболее красивые и интересные задании мы опубликуем в «Задачнике Кванта» или в других разделах журнала.

Наш адрес: 117071, Москва B-71, Ленинский проспект, 15, редакция журнала «Квант». На конверте после адреса журнала написите, решения каждой заданой вы посылаете (например: «Задачник «Кванта», M181, M184»; или «Ф201» или «новая задача»). Решения задан по каждому из предметов (если вы посылаете и математику, и физку), а также новые задания приславайте в отдельных конвертах. В начале письма обязательно написите свою фамилию, имя, отчество, домашний адрес (а также класс и школа, в котором вы учитесь). Письма от читателя мы сможем рассматривать и учитывать молоко в том случае, если они будут написаны на русском языке. Решения нужного приславить не позднее чем через полора месяц после выхода из печати соответствующего номера. В частности, срок приславки ответов на задании из этою номера — не позднее 1 марта 1973 года.

25

Задачи
M181–M185; Ф193–Ф197.

М181. Какую наименьшую длину должны иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см? (Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать ее нельзя.)

М182. Докажите, что если a) $a > 0$, $b > 0$ и $c > 0$, то
$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.$$
6) $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ и $d > 0$, то
$$\frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{a+c+d} + \frac{c}{a+b+d} + \frac{d}{a+b+c} \geq \frac{4}{3}.$$
в) $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ — положительные числа ($n \geq 2$), то
$$\frac{a_1}{a_2+a_3+\dots+a_n} + \frac{a_2}{a_1+a_3+\dots+a_n} + \dots + \frac{a_n}{a_1+a_2+\dots+a_{n-1}} \geq \frac{n}{n-1}.$$

М183. Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a и b ($a < b$), угол между диагоналями равен 90°, а угол между продолжениями боковых сторон — 45°.

М184 *. Докажите точное
$$\frac{C_n^0}{x} - \frac{C_n^1}{x+1} + \dots + (-1)^n \frac{C_n^n}{x+n} = \frac{n!}{x(x+1)(x+2)\dots(x+n)}.$$
Г. Е. Есиненко

М185 *. На кафтене площадь 1 помещается 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше $1/2$. Докажите, что найдет две заплаты, площадь

обшей части которых не меньше $1/5$.
E. Б. Дыкин

Ф193. Имеются две системы линз с одинаковыми фокусными расстояниями. Оптические оси линз совпадают (рис. 1). Первая система линз состоит из собирающих линз, во второй собирающей линзы черезются с рассеивающимми. Найти траектории лучей в каждой из систем, если расстояние между линзами много меньше фокусного.

Ф194. Между обкладками плоского конденсатора помещен заряд. Как он будет движаться, если на конденсатор подать синусоидальное напряжение с начальной фазой $\varphi_0 = 0$?

Ф195. Между двумя кубиками массы $m_1$ и $m_2$ находится скатая пружина жесткости k. Кубики связаны ниткой, расстояние между ними l (рис. 2). На какую высоту поднимается центр масс системы, если нить пережчь? Пружину считать невероятой. Еелина в нормальном состоянии равна $l_0$.

Ф196. В камере ускорителя по окружности радиуса R движется очень тонкий пучок протонов. Величина точки в начальной момент I, полное число части в камере n. Магнитный поток через неизменяющий орбиту пучка изменяется со скоростью ф. Какой станет величина точки после того, как частицы сделают один оборот? Скорость части остается много меньше скорости света.

Ф197. На тело массы m, лежащее на горизонтальной шероховатой поверхности с коэффициентом трения k, в момент времени t=0 начала действовать под углом α к горизонту сила, пропорциональна времени. Определить скорость v движения тела через т секунд.

А. В. Устинова