khối đa diện bán đều

khối đa diện bán đều

Độc giả của tạp chí «Kvant» đã hơn một lần gặp phải các khối đa diện đều. Các khối đa diện đều có các mặt là các đa giác đều bằng nhau và tất cả các góc đa diện đều bằng nhau. Nhưng cũng có những khối đa diện trong đó tất cả các góc đa diện đều bằng nhau và các mặt là những đa giác đều thuộc một số loại. Chúng không thể được phân loại là đều đặn - chúng được gọi là khối đa diện bán đều đều.

Đơn giản nhất của khối đa diện bán đều là lăng kính giác đều $n$ ($n=3$, 5, 6, $\ldots$), tất cả các cạnh đều bằng nhau và các mặt bên là hình vuông. Ví dụ, đáy của một lăng trụ lục giác là các hình lục giác đều: nó có 12 đỉnh, 8 mặt và 18 cạnh.

Hình 1

Một đại diện khác của khối đa diện bán đều đều là cái gọi là phản lăng kính. Ví dụ, hãy tưởng tượng hai hình lục giác đều nằm trong các mặt phẳng song song, một trong số đó được quay quanh tâm so với hình kia một khoảng $30^\circ$. Mỗi đỉnh của cả hình lục giác dưới và hình lục giác trên đều được nối với hai đỉnh gần nhất của hình lục giác kia. Khoảng cách giữa các hình lục giác (đế) được chọn sao cho các mặt bên là hình tam giác đều (Hình 1) - trong trường hợp hình lục giác phản lăng trụ, khoảng cách (chiều cao) này bằng $H=a\sqrt{\sqrt3-1}$ (kiểm tra xem trường hợp này có đúng không). Một lăng trụ lục giác có 12 đỉnh, 14 mặt và 24 cạnh, các cạnh và các góc tứ diện đều bằng nhau.

Sử dụng tất cả các đa giác đều cho lăng kính và phản lăng kính, chúng ta thu được một chuỗi vô hạn các khối đa diện bán đều. Tuy nhiên, những chuỗi này không bao gồm tất cả các khối đa diện bán đều đều: còn có các khối đa diện bán đều đều khác. Cách đơn giản nhất trong số chúng có thể thu được bằng cách cắt các góc của một khối tứ diện đều bằng các mặt phẳng, mỗi góc cắt một phần ba các cạnh nổi lên từ một đỉnh (Hình 2); khối đa diện này có 12 đỉnh, 8 mặt và 18 cạnh và được gọi là tứ diện cắt cụt. Tất cả các góc tam giác ero đều bằng nhau - mỗi góc chứa hai góc phẳng $120^\circ$ và một góc phẳng $60^\circ$. Một tứ diện cụt có bốn mặt là hình lục giác đều và bốn mặt khác là hình tam giác đều.

Hình 2

Hình 3

Nếu chúng ta cắt các đỉnh của một khối đa diện đều theo cách đã mô tả, chúng ta sẽ có một khối đa diện bán đều đều khác (xem Hình 3). Nó được gọi là khối 20 mặt bị cắt ngắn và trông giống hình ảnh một quả bóng đá có thể nhìn thấy trên màn hình TV.

Từ các khối đa diện đều khác, người ta có thể thu được thêm một số khối đa diện nửa đều. Khối phức tạp nhất trong số chúng được gọi là khối mười hai mặt có mũi và có 60 đỉnh, 92 mặt và 150 cạnh.

Hình 4

Hình 5

Có bao nhiêu khối đa diện nửa đều đều? Trong hơn hai nghìn năm, người ta cho rằng chỉ có mười ba (chúng được gọi là vật thể Archimedes), không tính hai chuỗi vô hạn gồm các lăng kính và phản lăng kính. Nhưng gần đây, nhà toán học Liên Xô V. G. Ashkinuse đã tìm ra một khối đa diện bán đều đều khác. Nhìn vào Hình 4: nếu “bát bát giác” phía trên trong khối đa diện này được quay một góc $45^\circ$, thì bạn sẽ có khối đa diện như trong Hình 5. Đây là những gì Ashkinuse đã khám phá ra. Đúng, khối đa diện này “không hẳn là một vật thể Archimedean”: nó không sở hữu một số tính chất mà mười ba đại diện đầu tiên sở hữu (nhưng nó có những tính chất riêng). Khối đa diện Ashkinuse đôi khi được gọi là khối rắn “giả Archimedean”.

Nhưng hóa ra chất rắn của Archimedes không làm cạn kiệt tất cả các loại khối đa diện bán đều. Chúng ta hãy lấy một lăng kính lục giác (Hình 6) và vẽ các mặt phẳng đi qua trung điểm của mỗi ba cạnh nổi lên từ một đỉnh. Giao nhau, những mặt phẳng này tạo thành một khối đa diện mới, có cùng số mặt với lăng kính có các đỉnh (trong trường hợp này là 12). Một trong những mặt phẳng này - $SFG$ - chứa đoạn $AB$, thuộc đáy của lăng kính và mặt phẳng còn lại - $PFG$ - chứa đoạn $CD$, thuộc đáy dưới của lăng kính. Vì $[AB]\parallel[CD]$ nên các mặt phẳng $SFG$ và $PFG$ cắt nhau dọc theo đường thẳng $FG$ song song với $AB$. Khối đa diện thu được là sự kết hợp của hai hình chóp lục giác đều bằng nhau, các đỉnh $S$ và $P$ nằm ở các cạnh đối diện của đáy chung. Khối đa diện thuộc loại này được gọi là bipyramid. Sáu mặt phẳng đi qua điểm $S$ cắt nhau với các mặt phẳng đi qua điểm $P$, tạo thành một hình lục giác đều, trung điểm các cạnh của nó là trung điểm của các cạnh bên của lăng trụ. Theo đó, bipyramid thu được từ lăng kính lục giác có 8 đỉnh và 18 cạnh. Nó chứa các góc đa diện gồm hai loại: lục giác và tứ diện. Vì tất cả các mặt của một lưỡng kim đều là các tam giác cân bằng nhau nên nó được phân loại là một khối đa diện nửa mặt đều đều.

Hình 6

Hình 7

Hình 8

Tương tự, bạn có thể có được một khối đa diện nửa mặt đều đẳng diện khác nếu bạn vẽ các mặt phẳng đi qua trung điểm của mỗi cạnh phản lăng kính xuất phát từ một đỉnh. Do đó, mặt phẳng $SM_1QT_1$ (Hình 7) đi qua các trung điểm $M$, $T$, $G$ và $H$ của các cạnh $BA$, $BC$, $BD$ và $BE$. Số mặt của khối đa diện này bằng số đỉnh của phản lăng kính, tức là 12. Hãy đếm số đỉnh của khối đa diện đó. Một cạnh của khối đa diện mới đi qua điểm giữa của mỗi cạnh bên của phản lăng kính, tạo thành một khối mười hai cạnh không gian. Bằng cách thêm các điểm $S$ và $P$ vào 12 đỉnh của nó, chúng ta có tổng cộng 14 đỉnh. Dễ dàng nhận thấy khối đa diện này có 24 cạnh. Tất cả các mặt của nó đều bằng nhau và là tứ giác, bao gồm hai tam giác cân có một đáy chung (tứ giác như vậy được gọi là deltoid). Khối đa diện có hai góc lục giác và mười hai góc tam diện. Mọi góc độ đều đúng. (Một góc đa diện lồi được gọi là đều nếu tất cả các góc phẳng của nó bằng nhau.) Hình 8 thể hiện cái nhìn tổng quát về một khối đa diện đó.

Nếu chúng ta vẽ các mặt phẳng đi qua trung điểm của mỗi ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của một tứ diện cụt (Hình 2), thì khi cắt nhau, các mặt phẳng này sẽ tạo thành một khối đa diện nửa mặt đều có đẳng diện mới. Nó có 12 mặt, 8 đỉnh và 18 cạnh. Cấu trúc của một khối đa diện như vậy được thể hiện trong Hình 9. Khối đa diện này có bốn góc tam giác và lục giác đều, và các mặt là các tam giác cân bằng nhau. Hình ảnh tổng quát của khối đa diện được thể hiện trong Hình 10.

Hình 9

Hình 10

Có một mối quan hệ nhất định giữa khối đa diện đều nửa đều và kết quả là khối đa diện đều nửa đều. Chúng ta hãy so sánh số đỉnh, số mặt và số cạnh của mỗi cặp khối đa diện đang xét.

Một lăng kính lục giác có 12 đỉnh, 8 mặt và 18 cạnh, và lưỡng chóp thu được từ nó có 8 đỉnh, 12 mặt và 18 cạnh. Do đó, số đỉnh và số mặt của lăng kính và lưỡng chóp có vẻ như được “sắp xếp lại”, nhưng số cạnh vẫn không thay đổi. Đảm bảo rằng mối quan hệ tương tự cũng được quan sát đối với các cặp khối đa diện còn lại được xem xét. Mẫu được thiết lập tuân theo nguyên tắc đối ngẫu, bao gồm những điều sau: đối với bất kỳ câu nào liên quan đến điểm, đường và mặt phẳng, bạn luôn có thể tạo thành một câu kép cho câu đó bằng cách thay thế từ “điểm” bằng từ “mặt phẳng” và từ “mặt phẳng” bằng từ “điểm”, giữ nguyên từ “thẳng”.

Nguyên lý đối ngẫu không chỉ áp dụng cho khối đa diện: nó mở rộng cho tất cả các hình và phát biểu được xem xét trong hình học xạ ảnh. Nguyên tắc này tìm thấy sự biện minh của nó ở đó, nhưng chúng tôi sẽ không chứng minh nó ở đây.

Ở trên đã chỉ ra rằng có 14 khối đa diện bán đều đều. Mỗi trong số chúng tương ứng với một khối đa diện nửa mặt đều đều tương đương nhất định với nó. Trong Hình 11, bạn thấy ba khối Archimedean (ở trên), được mô tả cùng với các “nhân đôi” bán đều đều đều của chúng (bên dưới). Người đọc có thể làm quen với danh sách đầy đủ của tất cả các khối đa diện này trong bài viết của V. G. Ashkinuse, đăng trong Bách khoa toàn thư về Toán tiểu học, quyển bốn (M.: Nauka, 1963).

MỘT)

Kiểm tra xem có khối đa diện bán đều đều đẳng diện tương ứng với vật thể được tìm thấy bởi Ashkinuse hay không. Hãy suy nghĩ về những đặc tính nào của các khối đa diện nửa đều đều cung cấp sự tồn tại của khối đa diện đều “kép”.

Bài tập

1. Phản lăng kính là gì, đáy của nó là các hình tam giác đều? Xác định khối đa diện kép của nó.
2. Tính thể tích của phản lăng kính có đáy lục giác (Hình 1), giả sử rằng chiều dài cạnh là $a$.
3. Khối đa diện trong Hình 9 và 10 có thể thu được bằng cách khác. Chỉ cần đặt một hình chóp tam giác đều trên mỗi mặt của một tứ diện đều là đủ. Tính chiều cao của hình chóp này và góc phẳng ở đỉnh của nó nếu cạnh của tứ diện là $a$.
4. Theo điều kiện của bài tập 3, hãy tính thể tích của khối đa diện thu được.
5. Tính góc phẳng $\psi$ tại đỉnh của mặt khối đa diện như trên Hình 7 và xây dựng sự phát triển của nó.
6. Bằng cách cắt các góc của một hình bát diện đều, hãy dựng một khối đa diện bán đều có 8 mặt - hình lục giác đều và 6 mặt - hình vuông, rồi tìm thể tích của nó.
7. Xác định hình đa diện kép và hình bát diện cụt (Bài tập 6). Tìm góc phẳng $\phi$ tại đỉnh của mặt nó.