Làm thế nào để vẽ một ngôi sao năm cánh?

74

A. Savin

Làm thế nào để vẽ một ngôi sao năm cánh?

Một ngôi sao năm cánh thông thường thật đẹp phải không? Chúng ta nhìn thấy nó trên quốc huy và lá cờ của Tổ quốc, nó tỏa sáng trên mũ quân đội và trên các ngọn tháp của điện Kremlin.

Ai đã không thử vẽ ngôi sao này khi còn nhỏ? Có lẽ là tất cả mọi người. Nhưng kết quả là có gì đó không cân đối và lúng túng, giống như Hình 1.

Lần thử đầu tiên
Ở trường, bạn đã làm quen với các công cụ xây dựng hình học - la bàn và thước kẻ.

Chúng ta hãy thử tiếp tục nỗ lực vẽ ngôi sao năm cánh chính xác. Đầu tiên chúng ta tự hỏi, đúng có nghĩa là gì? Có lẽ, năm đỉnh cần được nối với nhau bằng các đoạn có độ dài bằng nhau. Thước kẻ sẽ cho phép chúng ta làm cho các cạnh của ngôi sao thẳng và với sự trợ giúp của la bàn, chúng ta sẽ cố gắng làm cho chúng bằng nhau.

Hãy bắt đầu. Chúng ta dựng một góc có đỉnh A. Trên các cạnh của nó, chúng ta đặt các đoạn AB và AC bằng nhau (Hình 2). Có ba đỉnh. Chỉ còn hai cái nữa để tìm và mọi thứ đều ổn. Một trong số chúng (D) phải được đưa ra khỏi điểm B ở cùng khoảng cách với điểm A. Điều này có nghĩa là nó phải nằm trên một đường tròn có tâm tại điểm B bán kính AB. Hãy vẽ cung (2) của đường tròn này. Tương tự, chúng ta vẽ một cung (3) của một đường tròn có cùng bán kính có tâm tại điểm C. Đỉnh thứ hai trong số các đỉnh còn lại (E) phải nằm trên đó.

Hãy nhớ điều chúng ta muốn: khoảng cách giữa các đỉnh D và E phải bằng khoảng cách giữa các đỉnh khác. Do đó, không thay đổi khoảng cách của la bàn, chúng ta đặt một chân của nó tại một điểm D nào đó trên một cung (điều này sẽ chẵn

Hình 1.
Hình 2.

Hình 3.

đỉnh ngược của ngôi sao) và vẽ một đường tròn (4) sẽ cắt một đường tròn khác (3) tại điểm $E$. Chúng tôi đã đạt được đỉnh thứ năm. Hãy kết nối các điểm kết quả với các phân đoạn. Vậy thì sao? Độ dài của các đoạn bằng nhau nhưng ngôi sao rõ ràng không đều.

Lần thử thứ hai

Sai lầm ở đâu? Nó có thể nhìn thấy ngay lập tức. Các cạnh của ngôi sao bằng nhau nhưng các góc ở các đỉnh thì không. Làm thế nào chúng ta có thể chắc chắn rằng tất cả các cạnh và mọi góc đều bằng nhau?

Hãy vẽ một vòng tròn. Hãy chia nó thành 5 cung bằng nhau, sau đó nối các đầu của cung thông qua một (Hình 3). Không còn nghi ngờ gì nữa, đây chính là ngôi sao chúng ta cần! Nhưng làm thế nào để chia hình tròn thành 5 phần bằng nhau? Sử dụng thước đo góc? Có $360^\circ$ trong toàn bộ vòng tròn, nghĩa là có $72^\circ$ trong mỗi phần. Chúng ta lấy thước đo góc… nó ở đâu? Anh lại biến mất ở đâu đó. Hoặc có lẽ chúng ta có thể làm mà không cần nó?

Phương pháp gần đúng

Hãy thử “bằng mắt” vẽ một góc $72^\circ$ trên một đường tròn. Vậy… bảy mươi hai độ lớn hơn $60^\circ$, nhưng nhỏ hơn $90^\circ$. Đâu đó ở giữa, gần $60^\circ$ hơn $90^\circ$ một chút. Độc Cô

Hình 4.

không khó để đặt sang một bên trong $60^\circ$, vì độ dài của dây cung phụ nó bằng bán kính của hình tròn. Việc xây dựng một cung trong $90^\circ$ thậm chí còn dễ dàng hơn. Hãy đánh dấu các điểm cuối của cung “cần thiết” (tại $72^\circ$) - các điểm $A$ và $B$ (Hình 4).

Hãy kiểm tra xem cung $AB$ có thực sự bằng cung $\frac{1}{5}$ của một đường tròn hay không. Sử dụng la bàn, chúng ta vẽ cung $BC$, bằng $AB$, sau đó là cung $CD$, rồi $DE$, và khi chúng ta đặt chân của la bàn tại điểm $E$ thì chân thứ hai của nó sẽ chạm điểm $A$. Hiểu rồi? Không. Điều này có nghĩa là chúng tôi đã làm mọi thứ một cách vô ích? KHÔNG!

Hãy đánh dấu điểm $F$ nơi chân la bàn thứ hai chạm vào. Chúng tôi đã mắc lỗi trên cung $AF$, có nghĩa là mỗi lần chúng tôi mắc lỗi trên $\frac{1}{5}$ của cung này và nếu điểm $F$ hóa ra nằm ở bên phải điểm $A$, thì chúng tôi đã chọn một cung lớn hơn mức cần thiết và nếu ở bên trái thì ít hơn yêu cầu.

Hãy thực hiện một sửa đổi. “Bằng mắt,” hãy đặt phần thứ năm của nó trên cung $AF$— cung $AG$ (Hình 5). Cung $GB$ đã tiếp cận cung $\frac{1}{5}$ của một đường tròn chính xác hơn nhiều so với cung $AB$. Bây giờ chúng ta hãy thực hiện lại việc kiểm tra tương tự như trước. Nếu sau năm lần trì hoãn, chân la bàn chạm vào điểm đen mà chúng ta đã đánh dấu điểm $G$, thì việc xây dựng đã hoàn thành với độ chính xác cần thiết. Và es-

75

76

Hoặc không, sau đó một lần nữa theo cách tương tự, chúng ta sẽ làm rõ kích thước của cung. Hai lời giải thích thực tế luôn là đủ.

Chính xác lời giải
Có thể lấy ngay chính xác lời giải không? Hóa ra là có thể.

Đây là một trong những “sàng” của công trình như vậy. Gọi $BC$ là đường kính của hình tròn (1), $AO$ là bán kính vuông góc với nó (Hình 6). Chúng ta hãy vẽ một đường tròn (2) bán kính $BO$ có ​​tâm $B$. Chúng ta vẽ một đường thẳng đi qua giao điểm của các đường tròn (1) và (2) và ký hiệu là $D$ điểm giao nhau của nó với đường kính. Sau đó, lấy tâm ở điểm $D$ và bán kính $DA$, chúng ta vẽ một đường tròn khác (3). Điểm giao nhau của nó với đường kính sẽ được ký hiệu là $E$. Vẽ đường tròn (4) bán kính $AE$ tâm $A$, tại giao điểm với đường tròn (1) ta được điểm $M$ và $M'$.

Cung $AM$ bằng cung $AM'$ và bằng cung $1/5$ của đường tròn thứ nhất.

Để chứng minh điều này, bạn cần có kiến ​​thức về toán trung học.

Bạn có thể tự mình nghĩ ra một lưới xây dựng được chỉ định nếu đọc bài viết của A. D. Bendukidze “Vàng lời giải” («Kvant», 1973, số 8). Nó nói về các đặc tính hình học cơ bản của một ngôi sao năm cánh thông thường.

Cuộc thảo luận
Một số độc giả sẽ hỏi: “Tại sao lại nói về

Hình 5.

Hình 6.

công trình gần đúng, nếu có công trình chính xác?” Nhưng tại sao.

Trước hết, “chính xác” nghĩa là gì? Nếu nó được thực hiện với những hướng dẫn hoàn hảo thì nó chắc chắn có giá trị. Nhưng bạn sẽ vẽ một cách chân thực bằng bút chì, compa và thước kẻ. Điều này rõ ràng sẽ dẫn đến một kết quả không chính xác.

Và thứ hai, phương pháp gần đúng phù hợp để chia một vòng tròn thành bất kỳ số phần bằng nhau nào, do đó, chỉ cần nhớ một phương pháp cho việc này là đủ.

Hơn nữa, phương pháp này đơn giản hơn phương pháp chính xác. Và sự đơn giản thường là một lý lẽ. Do đó, nhiều phép tính toán học trên máy tính điện tử (máy tính) được thực hiện bằng các phương pháp gần đúng (mặc dù cũng có những phương pháp chính xác) chỉ vì việc sử dụng chúng đơn giản hơn và trong một số trường hợp, máy móc có thể không cho phép sử dụng một phương pháp chính xác nhưng cồng kềnh.

Và một điều cuối cùng. Hóa ra không có và không thể có phương pháp chính xác để chia một vòng tròn thành 7, 9, 11, 13, 14, 18, 21, 22, 23, 25 và nhiều phần bằng nhau khác. Bằng chứng về thực tế này thuộc về nhà toán học nổi tiếng người Đức Carl Friedrich Gauss.