Lập trình phi tuyến

28

3. Tymeladze

Lập trình phi tuyến

Trái đất! Trái đất!

Một làn sương mù nhiệt đới dày đặc bao trùm các hòn đảo, nhưng mọi người, cảm thấy mặt đất vững chắc dưới chân mình, tin vào sự cứu rỗi. Họ tin vào điều đó lần đầu tiên trong một tuần trôi qua kể từ khi những thùng nước bị trôi dạt xuống biển, lần đầu tiên trong mười ba ngày đã trôi qua kể từ vụ đắm tàu.

• Uống! - đôi môi khô nẻ lẩm bẩm khi cả nhóm di chuyển ra xa biển và tiến sâu hơn vào đảo. Không còn nguồn cung cấp nào - chỉ còn lại những dụng cụ tàu vô dụng mà họ mang theo bên mình, như thể không dám chia tay di vật cuối cùng từ con tàu bị chìm này.

• Chắc chắn là có nước trên đảo. Chúng ta sẽ dạy tiếng Nhật cho cô ấy vào buổi sáng.

Seidel mạnh mẽ nói: “Tôi e rằng sẽ quá muộn đối với một số người vào buổi sáng. - Chúng ta cần xem ngay. Nên có một luồng bên dưới.

“Nhưng làm thế nào chúng ta có thể xuống tới đáy?” Chúng tôi không có gì ngoài một vài chiếc đèn pin yếu không bền được lâu và trời tối đến mức tôi không thể nhìn thấy bàn tay của mình,” Koshy mệt mỏi phản đối. - Bây giờ, nếu chúng ta có thể bay lên trên khu vực đó bằng khinh khí cầu và chiếu sáng nó…

• Bóng bay? - Rastrigin khàn giọng kêu lên. —Dự án-

Hình 1.

29

bot và anh ấy. Hãy hành động như thế này: đầu tiên, hãy đặt cấp độ, định hướng nó từ tây sang đông - nó cho thấy địa hình giảm dần về phía đông, thấy không? Hãy đi về phía đông cho đến khi khu vực này trở nên tốt hơn, như ông Fermat đã vui lòng gợi ý cho chúng tôi. Và đi lên đến điểm này, chúng ta sẽ lại áp dụng mức độ cho mặt đất, nhưng theo hướng từ nam lên bắc. Giả sử anh ta chỉ ra sự suy giảm ở khu vực phía bắc. Sau đó chúng ta sẽ đi về phía bắc và tiếp tục đi cho đến khi khu vực này trở nên thấp hơn. Vì vậy chúng ta sẽ cuộn lên cho đến khi đạt đến điểm thấp nhất. Mức độ trong đó sẽ nằm ngang, bất kể bạn xoay nó như thế nào. Phải không?

“Tôi nghĩ, con trai tôi, con nói đúng, và trong một giờ nữa chúng ta sẽ đến đây với những bình đầy,” Gauss trả lời, và cô đi lang thang về phía đông, mang theo một chiếc la bàn và một trong các thước đo. Fermat đã đuổi theo anh ta.

“Họ đúng, họ đúng,” Cauchy chuẩn bị hành động, sốt ruột nhìn sang một cấp độ khác, “nhưng không phải trong mọi thứ.” Gauss và Seidel đi về phía đông. Và quả thực, khu vực này nghiêng về phía đông. Nhưng nó sụt giảm một cách yếu ớt. Hãy nhìn xem, mức suy giảm sẽ nặng nề nhất theo hướng đông bắc. Có lẽ nó đáng để đến đó? Xin vui lòng, tôi sẽ làm như vậy. Tôi sẽ đi bộ vài bước và kiểm tra lại xem mình cần đi xuống hướng nào và bước lại vài bước. Bình của tôi đâu? À, cô ấy đây rồi. Trong khoảng bốn mươi phút nữa nó sẽ đầy!

• Sự lộn xộn! Có vẻ như bạn có thể đạt được mục tiêu của mình dễ dàng hơn nữa! - Kantorovich hét lên với anh, khó khăn mở đôi môi khô khốc. “Bạn không nên ở lại sau một vài bước.” Hãy làm theo lời khuyên tốt nhất của ông Fermat và đi xa theo hướng đã chọn cho đến khi địa hình giảm bớt. Bằng cách giảm số lượng phép đo, bạn tiết kiệm được rất nhiều thời gian!

Cauchy tràn đầy năng lượng đã bị bóng tối nuốt chửng, và Kantorovich buộc phải cầm chiếc bình lao theo anh ta.

• Ồ, thế nào? Anh ta có bắt kịp anh ta không? - Inomata hỏi vì lý do gì đó.

• Đâu đó! - Kumada phản đối anh ta bằng một tiếng thở dài, người ngay lúc đó đã xuất hiện cùng với quả địa cầu, tháo nó ra khỏi trục của nó. - Họ sẽ không bao giờ gặp lại nhau nữa. Họ có thể đã nói lời “tạm biệt” với nhau ở đây. Chà, chúng ta cũng đã chuyển đi rồi à, Inomata-san?

• Chắc chắn! Tại sao chúng ta cần một thước đo, chứ đừng nói đến la bàn? Quả bóng này sẽ đưa chúng ta đến đích. Hãy để anh ta lăn tự do, và chúng ta sẽ đi theo anh ta. Cuối cùng, quả bóng sẽ quét đến điểm thấp nhất.

Và cả hai biến mất vào bóng tối, cố gắng không để mất dấu quả bóng.

Tsetlin mệt mỏi nhìn tất cả những người đã tan vào màn đêm.

-Anh đang nghĩ gì thế? - Gelfand hỏi anh ta, đứng dậy khỏi mặt đất một cách khó khăn. - Có phải là về việc Gauss và Seidel sẽ không đến nơi họ định đến không?

• Anh thua rồi. Họ bắt đầu tìm kiếm điểm thấp nhất, tưởng tượng khu vực này như một vùng trũng với những bức tường nhẵn (Hình 2). Nhưng số phận có thể trêu đùa anh một cách tàn nhẫn: họ có thể gặp nhau.

30

có một khe núi trên đường đi. Và anh ta nhanh chóng vẽ hình số 3 lên một tờ giấy từ nhật ký tàu.

• Họ thật may mắn nếu có dòng suối chảy dọc theo đáy khe núi. Điều gì sẽ xảy ra nếu lò xo ở điểm thấp nhất?

• Đúng vậy, vậy thì bạn không thể ghen tị với số phận của Gauss và Seidel: ý tưởng là đi về phía đông, họ sẽ đến điểm A - đây là nơi thấp nhất trên đường đi của họ. Và theo hướng bắc nam, điểm thấp nhất lại là điểm A. Như vậy, những người tội nghiệp sẽ đi đến kết luận rằng A là điểm thấp nhất trong vùng và sẽ bị khát ở đó.

“Nhưng có lẽ bình của Cauchy sẽ cứu được họ?”

“Tôi e rằng bình của Cauchy sẽ trống rỗng nếu gặp khe núi.” Khi thấy mình đang ở dưới đáy khe núi, anh ta sẽ tìm hướng đi xuống theo vòng tròn nhất, và nó chắc chắn sẽ dẫn anh ta đến một điểm ở phía bên kia khe núi. Từ thời điểm này, anh ta sẽ trở lại trạng thái ban đầu và tiếp tục từng bước nhỏ cho đến khi cơn khát vượt qua. Rốt cuộc, anh ta không thể nhìn thấy toàn bộ khe núi - đèn pin của anh ta chỉ có thể chiếu sáng khu vực dưới chân anh ta. Chúng ta nên nghĩ ra thứ khác…

• Điều gì sẽ xảy ra nếu Kantorovich đạt được mục tiêu của mình? Mặc dù tôi không nghĩ: nếu khe núi cong và hiếm khi thẳng, thì nó bắt đầu di căn dọc theo đáy khe núi, gần như không tiếp cận được mục tiêu. Bạn phải cố gắng di chuyển dọc theo đáy khe núi.

• Tất nhiên, nhưng bằng cách nào? Tuy nhiên… có vẻ như anh ấy đã nghĩ ra nó. Hãy nhìn vào Hình 4. Chúng ta hãy cùng, bạn và tôi, nâng từ hai điểm khác nhau bằng phương pháp Kantorovich. Giả sử tôi đến từ đây và bạn, đi cách đó vài bước, đứng ở bất kỳ hướng nào.

• Tôi hiểu rồi, tiếp theo thì sao? Ừ, rồi cả hai cùng đi xuống đáy khe núi và đứng ngắm đèn lồng của nhau. Hãy nói rằng chúng tôi hiểu được nó. Người trong chúng ta có đèn lồng cao hơn sẽ ngạc nhiên về phía người có đèn lồng thấp hơn.

• Nhưng chúng ta đã gặp nhau, anh ấy không dừng lại, anh ấy sẽ di chuyển xa hơn theo cùng hướng đến điểm D. Từ điểm này anh ấy sẽ lại đi xuống đáy khe núi, và chúng ta sẽ lại cố gắng gặp nhau. Và cứ như vậy cho đến khi mức ở đáy khe núi biểu thị mặt cắt ngang.

Và, chọn những chiếc đèn lồng dễ nhìn hơn, cả hai đều đi theo con đường riêng của mình.

• Còn bạn, tôi hiểu rồi, bạn không vội lấy ẩm phải không? – Viner hỏi Rastrigin. “Nếu không, tại sao bạn không tận dụng một trong những lợi thế quan trọng

Hình 3.

Hình 4.

31

những cách thông minh mà bạn bè chúng ta đang gặp bất hạnh gợi ý?

• Tất cả các phương pháp này đều có một nhược điểm - bạn phải mày mò quá nhiều cấp độ cho đến khi tìm được hướng đi đúng đắn. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu theo hầu hết mọi hướng một cách ngẫu nhiên, miễn là nó dẫn đến sự đi xuống? Sau đó đổi hướng và đi xuống lần nữa. Tất nhiên, thay đổi cũng là ngẫu nhiên. Đây không phải là cách tôi sẽ đạt được mục tiêu của mình sao? Có đáng lãng phí thời gian để tìm hướng đi xuống nhanh nhất nếu sau một vài bước nó không còn như vậy nữa?

Và trước khi Wiener có thời gian phản đối hay đồng ý, Rastrigin đã nhắm mắt lại, quay lại nhiều lần tại chỗ, giống như họ vẫn làm khi chơi trò bắt nạt người mù, và đi vào bóng tối.

Phương pháp gốc

Nhu cầu tìm cực đại hoặc cực tiểu (được thống nhất bằng tên “cực trị” - “giá trị cực trị”) của một hàm nào đó nảy sinh trong nhiều bài toán kinh tế, công nghệ. Và địa hình có thể được coi là mô hình của hàm hai biến, ví dụ như vĩ độ và kinh độ. Giá trị của hàm là độ cao của địa hình (so với mực nước biển) tại một điểm cho trước, các đường ngang là đường mức, dọc theo chúng hàm số không đổi. Và tình huống nảy sinh khi tìm kiếm một điểm cực đoan về nhiều mặt cũng giống với tình huống mà những du khách không may mắn nhận thấy mình. Việc tìm kiếm cực trị được thực hiện như thể trong bóng tối, phương tiện định hướng duy nhất là hàm được cực tiểu hóa (cực đại hóa) tại một số điểm, cũng như hướng giảm hoặc tăng nhanh nhất của nó.

Nhiều phương pháp đã được phát minh để tìm cực trị. Như người đọc đã lưu ý, không phải ngẫu nhiên mà tên của những người bị đắm tàu ​​sẽ trùng với tên của một số nhà toán học trong quá khứ và hiện tại, những người đã giải được bài toán này. Và con đường họ đi cho thấy bản chất của phương pháp tìm cực trị của họ.

Nhà vĩ đại người Pháp P. Fermat (1601-1665) là người đầu tiên hiểu rõ ràng và mô tả được tính chất giải tích của cực trị của hàm số liên tục trơn: tiếp tuyến tại điểm này phải nằm ngang. K. Gauss (1777-1855) và A. Seidel (1821-1896), theo phương pháp giảm tọa độ của họ, lần lượt đi xuống dọc theo tọa độ này hoặc tọa độ khác. Chúng tôi đi xuống cho đến khi tiếp tuyến với hướng chuyển động nằm ngang. Và vị trí của mức tự nhiên xác định hướng của tiếp tuyến.

Xin lưu ý rằng Gauss và Seidel đã không cố gắng đi xuống theo hướng có độ tròn lớn nhất. O. Cauchy (1789-1857) đã được truyền cảm hứng từ ý tưởng này. Vectơ biểu thị hướng (hướng lên) có độ thô lớn nhất được gọi là cấp độ và bản thân phương pháp Cauchy được gọi là phương pháp cấp độ. Chính dọc theo con dốc này Cauchy sẽ đi theo con đường của mình nếu mục tiêu của ông là tìm một điểm cao trong khu vực để kiểm tra. Nhưng chúng ta hãy nhớ rằng trên đảo tối đen như mực và mục tiêu của Cauchy là nước. Vì vậy, anh ta khởi hành theo hướng có độ cao giảm nhanh nhất trong khu vực, hoặc theo hướng ngược độ dốc. Để xác định phản gradient của một hàm số, các phương pháp gần đúng cũng rất cần thiết, nhưng nó đủ để chúng ta tưởng tượng mức độ mà chúng ta áp dụng cho mặt đất và tìm hướng mà bọt khí nhanh chóng chạy ra rìa của thang đo. Tất nhiên, phương pháp này rất không chính xác và có rất nhiều rắc rối với nó. Nhưng để xác định độ dốc bằng các phương pháp phân tích đã đề cập, bạn cũng phải mày mò.

Vì vậy, không khó để hiểu những người đương thời với chúng ta, người Nhật.

32

S. Inomatu và M. Kumada, những người đã cố gắng giải thích cho quá trình đi xuống dọc theo phản gradient ý nghĩa vật lý được mô tả ở trên. Nhân tiện, phương pháp của họ được gọi là “phương pháp bóng mềm”. Nó chỉ được đặt; khi sử dụng, quả địa cầu không lăn dọc theo bố cục hàm mà chỉ giải được các phương trình vi phân của chuyển động.

Nhiều khó khăn đang chờ đợi người đạt đến đỉnh cao của chức năng, nhưng một trong những khó khăn nguy hiểm nhất là khe núi. Bất kỳ phương pháp nào, thậm chí là phương pháp tính toán tiên tiến nhất, phương pháp đi xuống nhanh chóng của L. V. Kantorovich, một nhà toán học nổi tiếng của Liên Xô, đều dẫn đến việc ném mình xuống đáy khe núi một cách bất lực. Vì vậy, các nhà toán học Liên Xô I.M. Gelfand và M.L. Tsetlin đề xuất một “cuộc tìm kiếm trong rãnh”, cho phép người ta lần theo đáy khe núi. Vì vậy, như chúng ta thấy, hầu hết tất cả các phương pháp số để tìm kiếm hướng đi xuống theo cách này hay cách khác đều có liên hệ với phản gradient. Đúng, hóa ra những nỗ lực tìm kiếm một phản gradient không phải lúc nào cũng được đền đáp bằng chất lượng của hướng đi xuống đã tìm thấy, và nhà khoa học Liên Xô L.A. Rastrigin đề nghị không nên lãng phí công sức và thời gian máy tính vào việc tìm kiếm một phản gradient mà nên đi đến bất cứ nơi nào người ta muốn, theo một hướng ngẫu nhiên. Và hãy tưởng tượng, kết quả của quá trình hành động này hóa ra không tệ hơn về mặt tính toán so với việc tìm kiếm các đường dẫn hiện có. Nói cách khác, không phải là những con đường hiện có này có chất lượng vượt trội so với những con đường ngẫu nhiên, để người ta có thể lãng phí thời gian vào tiếng Nhật của chúng. Tất nhiên, để chọn hướng đi xuống một cách ngẫu nhiên, chúng không nhắm mắt quay vòng tại chỗ - để làm điều này, các cảm biến số ngẫu nhiên được sử dụng trong ô tô. Và nói chung, mặt số của các phương pháp lập trình không bị giới hạn rất khó thể hiện trên giấy - về cơ bản đây là các phương pháp máy.

Nhưng chúng ta hãy quay trở lại vụ đắm tàu ​​​​và tìm xem ai trong số họ đã thành công dưới nước.

Ở đó, bên kia đèo

Vì vậy, tất cả mọi người đều tản ra dưới nước, ngoại trừ một đám Skeltnikov.

• Cơn khát của quỷ dữ! - một người trong số họ nói. - Cô ấy không làm khổ anh à?

“Không kém phần quan trọng so với bạn,” Wiener thay mặt những người khác trả lời. Và tôi sẵn sàng di chuyển đến vùng biển Nhật Bản nếu tôi bị thuyết phục bởi bất kỳ phương pháp nào được đề xuất. Nhưng than ôi! Nếu chúng ta bắt đầu tìm kiếm điểm cao nhất của Trái đất theo cách này, thì cùng với Everest, chúng ta sẽ thấy mình đang ở trên đỉnh ngọn đồi lân cận. Và điều tệ nhất là chúng ta không có cách nào để phân biệt được gò đất này với Everest. Tất nhiên, trừ khi bạn sử dụng địa lý thông thường để hỗ trợ toán học.

• Không được thì thế nào? Tại sao? — con trỏ, hỏi cậu bé Skeltnik, người vẫn chưa cai được tật trượt ván, hỏi câu hỏi.

• Rất đơn giản. Với sự trợ giúp của đèn pin, chúng ta chỉ có thể đảm bảo rằng Wizz dẫn đầu từ một điểm nhất định trên đường đi. Tiếp theo là gì? Đây là của chúng tôi

Hình 5.

33

bạn bè đã gợi ý một số cách,” anh chỉ vào những tờ giấy còn lại trong nhật ký của con tàu. “Họ xuất phát từ thực tế là trên đảo chỉ có một vùng đất thấp. Điều gì sẽ xảy ra nếu có rất nhiều trong số chúng và chỉ có nước ở vùng thấp nhất của những vùng đất thấp này (Hình 5)? Việc đi xuống sẽ dẫn chúng ta đến điểm A, và nước ở điểm B - ở đó sâu hơn phương ngang và do đó mực nước sẽ thấp hơn. Hãy nghĩ về nó.

“Tôi đã nghĩ về điều đó rồi,” Skeltik đầu tiên nói. - Và tôi quyết định hành động như thế này. Đầu tiên họ sẽ đi tới bất cứ nơi nào mà mắt họ đưa đến. Sau đó, họ sẽ đi xuống vùng đất thấp gần nhất và dùng máy đo độ cao để đo độ cao của nó. Tôi sẽ nhớ vị trí của nó và di chuyển đến một điểm ngẫu nhiên mới. Tôi sẽ lại từ đó đi xuống vùng đất thấp và nhìn lại máy đo độ cao. Giả sử anh ta chỉ vào mình ít hơn chiều cao nhiều lần. Điều này có nghĩa là vùng đất thấp thứ hai thấp hơn vùng đất thấp thứ nhất và có nhiều khả năng tìm thấy nước ở đó hơn. Sau đó…

“Điều gì sẽ xảy ra tiếp theo là rõ ràng,” ông nói. “Nhưng bạn có chắc chắn rằng mình sẽ tìm thấy nước trước khi trượt chân không?”

-Tôi có thể chắc chắn về điều này không? Dù sao thì tôi cũng là một Skeltic! Nó chỉ tốt hơn là đứng yên.

Và Skeltik đầu tiên biến mất trong bóng tối.

Skeltik thứ hai lúc này đang buộc chiếc dây đeo vào một quả bóng đá, có vẻ như là một trong những thiết bị.

“Bạn không định theo bước chân của Kumada sao?” – Wiener hỏi anh ta, đồng thời lắng nghe điều gì đó.

• Bạn gần như đã đoán đúng. Nhưng tôi đã làm nó hơi khác một chút. Sau khi đi xuống chỗ trũng, tôi sẽ đo chiều cao của nó, rồi đá quả bóng theo các hướng khác nhau. Nếu quả bóng luôn lăn trở lại, điều đó có nghĩa là đường chuyền không có tác dụng gì, ngoài ra còn có một vùng trũng mới. Nếu quả bóng không lăn về phía tôi, tôi sẽ đi dọc theo xỉ theo nó, đến chỗ lõm nơi nó bị mắc kẹt và đo chiều cao của nó. Và vân vân…

“Nhưng bằng cách này bạn chỉ có thể khám phá được một con đường gần đó.”

• Anh làm gì thế! Tôi bị đột quỵ mạnh. Anh hứa sẽ nhờ tôi đánh vào ve áo.

“Trong trường hợp này, điều tồi tệ hơn có thể xảy ra: bạn sẽ đánh bóng ở vị trí thấp mà bạn đang tìm kiếm.” Quả bóng sẽ không quay trở lại chỗ bạn mà sẽ đưa bạn ra xa mục tiêu.

“Bạn nói đúng… Vậy thì, làm ơn, tôi sẽ không cố gắng đánh bạn mạnh hơn nữa đâu.” Tôi sẽ xen kẽ giữa những đòn đánh mạnh và yếu. Hoặc giả sử, tôi sẽ dần dần củng cố chúng, bắt đầu từ những kẻ yếu.

• Thôi, chúc cậu thành công. Ngay cả khi nước không phải là phần thưởng của bạn, ít nhất bạn sẽ có được thể chất tốt.

“Nhưng tôi sẽ làm khác,” Skeltik thứ ba quay sang Wiener. “Tôi sẽ đi lang thang quanh đảo, không cố gắng tìm hướng nào cả và tôi sẽ để ý đến đồng hồ đo độ cao.” Sau khi đi loanh quanh, tôi sẽ nhận thấy điểm thấp nhất ở đâu và bắt đầu uống nước ở đó. Tất cả cuộc nói chuyện này đã thuyết phục tôi rằng nếu chúng ta không có bản đồ hòn đảo thì sẽ không có chiến lược di chuyển hợp lý nào. Vậy tại sao lại lãng phí thời gian chơi đùa với các nhạc cụ? Nhưng hình như bạn không nhớ tôi?

Nhựa đường kết thúc ở đâu?

Khi bạn phải xác định cực trị của một hàm có nhiều giá trị như vậy, vấn đề là có rất nhiều điều kiện. Trong trường hợp này, thông thường không chỉ cần tìm cực trị (chẳng hạn như cực tiểu) mà còn phải xác định cực trị “tổng thể” hoặc “tối thiểu”. Thật không may, phần lớn toán học thực bài toán, mà mức tối thiểu được tìm kiếm, là đa cực. Tương tự như vậy, thật khó để tìm ra một địa hình mà ở đó một đỉnh có thể chiếm ưu thế hoàn toàn trên một khu vực rất rộng lớn. Rõ ràng là nghe ngọn thì có ngọn

34

nhỏ hơn, nhưng cũng có một khu vực tương đối nhỏ mà từ đó việc leo lên chắc chắn sẽ dẫn đến đỉnh cao nhất. Khu vực này được gọi là khu vực chấp nhận tình trạng cực đoan toàn cầu. Chỉ cần vượt ra ngoài ranh giới của khu vực này hoặc thấy mình vượt ra ngoài ranh giới của khu vực này vào đầu thời kỳ là đủ, và việc đạt được một điểm cực trị toàn cầu trở nên khó đảm bảo. Cơ hội đánh trúng cục bộ (cục bộ) cực kỳ tăng lên.

Có nhiều cách để chống lại hành vi đa cực, nhưng không có cách nào đảm bảo thành công. Các phương pháp này có tính chất không nghiêm ngặt, như các nhà toán học nói, heuristic. Những người ủng hộ ba phương pháp đa cực khác nhau gặp nhau trong nhóm Những người hoài nghi. Chúng tôi không trích dẫn chúng một cách cụ thể: mặt trận nghiên cứu khoa học trong lĩnh vực này gần đây đã mở rộng rất nhiều và ngày càng tham gia vào cuộc chiến chống lại nhiều thái cực đến mức các phương pháp được chỉ định rất khó liên kết với tên cụ thể của ai đó.

Một số cố gắng nhảy ra khỏi cực trị nếu họ đã ở trong đó, và dựa trên sự thành công hay chậm chạp của những nỗ lực này, họ đánh giá thành tựu của cực trị toàn cầu. Những người khác cố gắng đi xuống từ một số điểm được chọn ngẫu nhiên. Cuối cùng, những người khác (đỉnh cao của sự hoài nghi!) đã đi đến kết luận rằng điều khôn ngoan nhất nên làm không phải là điều khiển tâm trí mà chỉ đơn giản là chiến đấu quanh hòn đảo, nhìn vào máy đo độ cao.

Cả ba đường lối hành động này đều được các nhà khoa học ủng hộ, mặc dù đường lối thứ ba vẫn ít phổ biến hơn. Các chương trình đặc biệt dành cho máy tính đã được biên soạn để thực hiện từng phương pháp này và nhiều phương pháp khác. Tuy nhiên, ngày nay không chỉ những người hoài nghi thâm căn cố đế mà cả những người lạc quan vui vẻ cũng không mạo hiểm khi xem xét vấn đề đã được giải quyết. Và động lực đầu tiên khi phân tích bất kỳ hàm nào cho một cực trị là nỗ lực chứng minh tính duy nhất của nó. Thường thì thành tích này được tôn kính không kém tính đúng đắn của mô hình toán học nói chung. Ví dụ, sự vắng mặt của cực trị cục bộ trong các bài toán quy hoạch tuyến tính là một lập luận quan trọng để thử các mô hình tuyến tính, khắc phục được nhiều thiếu sót của chúng.

Có tất cả các cách phức tạp để kết hợp các phương pháp khác nhau. Ví dụ, cả ba người hoài nghi có thể hợp nhất thành một đội. Bạn nói rằng có rất ít mối quan hệ họ hàng giữa họ? Và bạn không cần nhiều. Chỉ cần họ có ít niềm tin vào phương pháp của mình là đủ. Bạn có thể cử họ đi tìm vùng đất thấp trong một nhóm chung gồm ba người, quyết định rằng ở mỗi bước đi của giáo hoàng, người sẽ rơi vào vị trí nào sẽ hành động. Giả sử cả ba người sẽ kéo những mảnh giấy cuộn lại từ một chiếc mũ, một trong số đó có hình chữ thập trên đó. Và hãy tưởng tượng, có những lý do để thực hiện hành động như vậy.

Lời kết

• Xin lỗi, cậu vừa nói gì thế? - Wiener hỏi.

• Tôi nói, hình như bạn không nghe thấy? Phương pháp của tôi không hợp lý sao?

“Tôi xin lỗi, có lẽ phương pháp của bạn tốt, mặc dù tôi sẽ cẩn thận không gọi nó là một phương pháp.” Nhưng tôi thấy âm thanh đó gây mất tập trung. Bạn có đang nghe không?

• Không… tuy nhiên, có. Có vẻ như đó là một âm thanh ríu rít. Nhưng tại sao lại ở đây mà không phải ở vùng đất thấp?

Cả hai lao tới nơi có âm thanh yếu ớt mà trước đó đã bị đầu họ át đi rồi rơi xuống dòng suối phun ra từ tảng đá. Những mảnh pha lê chảy ra, lập tức biến mất giữa những viên đá.

“Như bạn có thể thấy, trong trường hợp của chúng tôi, việc giải quyết vấn đề tìm nước rất đơn giản,” Wiener nói, chiếu đèn pin của người bạn đồng hành của mình. “Mọi người im lặng trong một phút là đủ rồi.”