Hãy kết nối các dấu chấm...

44

V. Ryzhik

Hãy kết nối các dấu chấm…

Toán học có thể được nghiên cứu theo nhiều cách khác nhau. Bạn có thể nghe bài giảng hoặc chỉ lấy một cuốn sách và đọc liên tiếp: định nghĩa, định lý, chứng minh. Hoặc bạn có thể hành động tích cực hơn: chỉ đọc các định nghĩa và phát biểu của các định lý, đặt cuốn sách sang một bên và tự mình đưa ra cách chứng minh. Phương pháp đầu tiên cho phép mục tiêu di chuyển nhanh hơn. Nhưng mismo của những người chỉ tuân thủ phương pháp công nghệ thông tin này thường thực hiện các kỹ thuật và phương pháp để đạt được kết quả được đề cập. Người đọc không biết mình sẽ bỏ lỡ bao nhiêu điều thú vị, hấp dẫn, hữu ích, tự cam chịu vai trò của một người nhận thức sự thật một cách thụ động.

Phương pháp thứ hai, mặc dù mất nhiều thời gian hơn, nhưng cho phép bạn hiểu sâu sắc lý thuyết toán học, dạy bạn làm nổi bật những gì quan trọng nhất trong một bối cảnh nhất định, giúp bạn có thể ghi nhớ lâu kết quả thu được qua công việc của chính mình, phát triển khả năng toán học của học sinh và mở ra những cách mới để các em áp dụng kiến ​​​​thức toán học. Do đó, chính phương pháp này - việc khám phá độc lập những chân lý đã biết (đôi khi vi phạm những chân lý chưa được khám phá trước đó) đã quyết định việc sử dụng các hội thảo, trường học và vòng tròn toán học trong công việc.

Đây chính xác là loại công việc tích cực mà người đọc dự định thực hiện trong các bài viết được xuất bản trong phần “Vòng tròn toán học”. Một phần quan trọng trong nội dung bài viết thường được trình bày dưới dạng bài toán. Một số được giải trong văn bản, nhưng hầu hết - cả bài giảng và bài khó - đều được để độc lập. lời giải người đọc. Ngắn gọn lời giải những cái này bài toán, gợi ý hoặc đáp số đôi khi chúng được đặt ở những trang cuối cùng của tạp chí, nhưng chúng tôi khuyên bạn nên cố gắng giải quyết bài toán không có gợi ý.

Theo quy định, “Câu lạc bộ Toán học” của chúng tôi dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 9 và đôi khi là lớp 7. Thư có nhận xét và đề xuất liên quan đến phần này phải được gửi bằng cách sử dụng “vòng tròn Toán học” trên phong bì.

45

nhưng, điểm $D$, thu được nếu vectơ $\overrightarrow{OB}$ bị trừ khỏi vectơ $\overrightarrow{OA}$, được gọi là hiệu của các điểm $A$ và $B$: $D = A - B$.

Rõ ràng là tổng số điểm phụ thuộc vào vị trí chúng tôi chọn sọc. Nhưng ngay khi các sọc được cố định, việc cộng các điểm cũng tương tự như việc cộng các vectơ.

Bài tập

1. Nên chọn sọc như thế nào để tổng của hai điểm $A$ và $B$ nằm trên đường thẳng $AB$? Trên chùm tia $AB$? Trên đoạn $AB$?
2. Cộng ba đỉnh của một tam giác đều với các cách chọn sọc khác nhau: tại đỉnh của tam giác, tại tâm của tam giác, tại một điểm tùy ý.
3. $A, B, C$ - ba điểm bất kỳ không nằm trên cùng một đường thẳng. Chọn các sọc sao cho tổng của chúng nằm bên trong tam giác $ABC$; bên ngoài nó.
4. Đặt $A_1, A_2, \dots, A_n$ là một đa giác đều. Nên chọn sọc $O$ ở đâu để giữ được đẳng thức $A_1 + A_2 + \dots + A_n = O$? Ban nhạc có được xác định duy nhất bởi điều kiện này không?
5. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $A + C = B + D$.

Bây giờ thật dễ dàng để biết ý nghĩa của việc nhân một điểm với một số. Cho dải $O$. Hãy lấy điểm nguyên thủy $A$. Giả sử rằng nó cần được nhân với 2. Nhân vectơ $OA$ với 2, chúng ta được vectơ $OB$; điểm $B$ sẽ là điểm mong muốn. Chúng tôi viết: $B = 2A$. Nói chung, nếu $\overrightarrow{OB} = \lambda \cdot \overrightarrow{OA}$ thì ta sẽ gọi điểm $B$ là tích của điểm $A$ và số $\lambda$: $B = \lambda A$. Vì chúng ta đã định nghĩa phép nhân điểm với số thông qua phép nhân vectơ với số, nên để nhân điểm với số, các đẳng thức $1^\circ - 3^\circ$ sẽ được thỏa mãn nếu chúng ta thay thế vectơ bằng điểm trong đó.

Hãy gọi biểu thức $\alpha \cdot A + \beta \cdot B$, trong đó $\alpha$ và $\beta$ là các số, là tổ hợp tuyến tính của các điểm $A$ và $B$.

Bài tập
6. Xây dựng sự khác biệt giữa các điểm $A$ và $B$. Xây dựng, lấy điểm $A, B$ và sọc $O$ không cùng một đường thẳng, điểm $-B, -A, -A-B, -A+B$.
7. Chứng minh rằng nếu dải không nằm trên cùng một đường thẳng từ các điểm $A$ và $B$ thì mọi điểm trong mặt phẳng đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các điểm $A$ và $B$ và theo một cách duy nhất.
8. Các sọc được chọn ở giữa hình lục giác chính xác $A_1A_2 \dots A_6$. Viết điểm $A_3, A_4, A_5, A_6$ dưới dạng kết hợp tuyến tính của điểm $A_1$ và $A_2$.
9. Điểm $2 \cdot A + 3 \cdot B$ có thể nằm trên đường thẳng $AB$ không? Trong những điều kiện nào?

Trong các nhiệm vụ trước, kết quả của các hành động có dấu chấm phụ thuộc vào việc lựa chọn sọc và do đó không rõ ràng. Tuy nhiên, có một cách vận hành với một hệ thống điểm tùy ý, kết quả của nó không còn phụ thuộc vào lựa chọn này nữa (phương pháp này hóa ra lại hữu ích cho chúng ta sau này, đối với lời giải hình học “thực” bài toán). Hãy xem khi nào tổ hợp tuyến tính của hai điểm $A$ và $B$ không phụ thuộc vào việc chọn sọc.

Đặt $X_1 = \alpha \cdot A + \beta \cdot B$ nếu điểm $O_1$ là sọc và $X_2 = \alpha \cdot A + \beta \cdot B$ nếu điểm $O_2$ là sọc. Chúng tôi muốn điểm $X_1$ và $X_2$ khớp nhau; vì điều này điều cần thiết và đủ là đẳng thức $\overrightarrow{O_1X_1} = \overrightarrow{O_1X_2}$ phải được thỏa mãn. Chúng tôi có: $\overrightarrow{O_1X_2} = \overrightarrow{O_1O_2} + \alpha \cdot \overrightarrow{O_2A} + \beta \cdot \overrightarrow{O_2B} = \overrightarrow{O_1O_2} + \alpha \cdot (\overrightarrow{O_1A} - \overrightarrow{O_1O_2}) + \beta \cdot (\overrightarrow{O_1B} - \overrightarrow{O_1O_2}) = \alpha \cdot \overrightarrow{O_1A} + \beta \cdot \overrightarrow{O_1B} + [1 - (\alpha + \beta)] \cdot \overrightarrow{O_1O_2} = \overrightarrow{O_1X_1} + [1 - (\alpha + \beta)] \cdot \overrightarrow{O_1O_2}$. Để có sự bằng nhau của vectơ $\overrightarrow{O_1X_2}$ và $\overrightarrow{O_1X_1}$

46

điều cần và đủ là $\alpha + \beta = 1$.

Theo cách tương tự, một phát biểu tương tự được chứng minh cho các điểm $n$: tổ hợp tuyến tính $\alpha_1 \cdot A_1 + \alpha_2 \cdot A_2 + \dots + \alpha_n \cdot A_n$ xác định điểm duy nhất của moed và moed sữa, coed $\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = 1$. Chứng minh điều đó.

Chúng tôi sẽ gọi một tổ hợp tuyến tính của các điểm được chuẩn hóa nếu tổng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính này bằng 1. Trong tương lai, chúng tôi sẽ làm việc chủ yếu với các tổ hợp điểm tuyến tính được chuẩn hóa mà không giới hạn điều này mỗi lần.

Khái niệm tổ hợp tuyến tính chuẩn hóa của $n$ điểm có ý nghĩa cơ học đơn giản: để các điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ chứa khối lượng $\mu_1 > 0, \mu_2 > 0, \dots, \mu_n > 0$ và $\mu_1 + \mu_2 + \dots + \mu_n = 1$. Tổ hợp tuyến tính $\mu_1 A_1 + \mu_2 A_2 + \dots + \mu_n A_n$ là trọng tâm C của hệ khối lượng $n$ (xem bài tập 14) *).

Định lý sau đây đòi hỏi ý nghĩa hình học trực quan của một tổ hợp tuyến tính chuẩn hóa tùy ý của hai điểm.

*) Với sự trợ giúp của cách giải thích cơ học này, bạn có thể thu được nhiều sự kiện và định lý hay về hình học - chẳng hạn, hãy xem bài viết của Z. A. Skorets “Khoảng cách giữa tâm của hai hệ điểm” (Kvant, 1975, số 3). Tuy nhiên, trong ghi chú của chúng tôi, chúng tôi rút ra tất cả các khái niệm chúng tôi cần từ các phép toán trên vectơ trên mặt phẳng và trong không gian. (Một trong những ưu điểm của cách trình bày như vậy là người ta có thể xem xét ngay các tổ hợp tuyến tính trong đó “khối lượng” không âm $\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n$ là âm).

Bây giờ chúng ta hãy xem cách chứng minh định lý về đường trung tuyến của một tam giác sẽ như thế nào nếu chúng được dùng tại một điểm và chia

47

Hình 3.

nó theo tỷ lệ 2:1, tính cả các đỉnh.

Vẽ các đường trung tuyến AE và BK trong tam giác ABC và lấy H là điểm cách giao điểm (Hình 3). Chúng ta hãy chọn sọc tại điểm A.

Sau đó $H = \lambda E = \lambda \left( \frac{1}{2} B + \frac{1}{2} C \right) = \frac{\lambda}{2} B + \frac{\lambda}{2} C$

(chúng tôi không biết số $\lambda$ bằng bao nhiêu). Mặt khác, điểm H nằm trên đường BK; do đó $H = \alpha B + \beta K = \alpha B + (1 - \alpha) K$, tức là $H = \alpha B + \frac{1 - \alpha}{2} C$.

Do cách biểu diễn duy nhất điểm H là tổ hợp tuyến tính của điểm B và C (xem Bài tập 7)

$$\begin{cases} \frac{\lambda}{2} = \alpha, \\ \frac{\lambda}{2} = \frac{1 - \alpha}{2}. \end{cases}$$

Sau khi giải hệ này, chúng ta thu được $\lambda = \frac{2}{3}$, $\alpha = \frac{1}{3}$, từ đó $\beta = \frac{2}{3}$. Các giá trị hệ số này đưa ra các tỷ lệ sau về độ dài của các đoạn: $|AH| : |HE| = 2:1$, $|BH| : |HK| = 2:1$. Còn phải chứng minh rằng H thuộc đường trung bình của tam giác. Vì $H = \frac{2}{3} E$, nên $H = \frac{1}{3} (B + C)$. Nhưng $B = 2T$, trong đó T là trung điểm của cạnh AB. Vì vậy $H = \frac{1}{3} (2T + C)$, tức là $H = \frac{2}{3} T + \frac{1}{3} C$. Tổng các hệ số là 1, cả hai đều dương nên H là một điểm trên đoạn CT chia nó theo tỷ lệ 2:1.

Lý do mà chúng tôi sử dụng để chứng minh Định lý Omega giúp ích trong nhiều trường hợp, cùng với các cách xây dựng bổ sung, xét các tam giác đồng dạng, v.v., có thể thực hiện được bằng các phép tính đơn giản.

Sơ đồ chung của cuộc thảo luận như sau:

1. chúng tôi chọn các sọc ở điểm thuận tiện nhất cho lời giải (nếu chúng tôi làm việc với các kết hợp tuyến tính chuẩn hóa, thì điều này không ảnh hưởng gì cả);

2. đối với mỗi điểm, chúng ta thu được hai biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai điểm không nằm trên cùng một đường thẳng với dải;

3. chúng tôi giải quyết một hệ thống kết nối các hệ số của các tổ hợp tuyến tính thu được với nhau (trong các tổ hợp chuẩn hóa, một điều kiện khác xuất hiện là tổng các hệ số bằng 1).

Hãy thử sử dụng sơ đồ này trong các vấn đề sau.

Bài tập

15. Trong tam giác ABC, các điểm K và E đặt trên các cạnh AC và BC sao cho $|AK| = \frac{1}{n} |AC|$, $|BE| = \frac{1}{n} |BC|$. Trong mỗi quan hệ, các đoạn AE và BK có được chia cho giao điểm không? Nó có nằm trên đường trung tuyến vẽ từ đỉnh C không?

16. Trong tam giác ABC, vẽ các đoạn AK, CE và BM trên các cạnh AC, CB và BA sao cho mỗi đoạn bằng $\frac{1}{3}$ cạnh tương ứng. Các phần AE, CM, BK được thực hiện. Trong mỗi mối quan hệ chúng được ngăn cách bởi các điểm giao nhau?

17. Nguyên tố cắt tam giác ABC sao cho cạnh AB được chia theo tỷ lệ 2:1, cạnh BC theo tỷ lệ 3:1. Trong mỗi quan hệ, đoạn AE có được chia cho đỉnh C từ đỉnh A đến điểm E của giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng này không? Hãy thử khái quát hóa điều này bài toán.

18. Đỉnh của hình bình hành nối với trung điểm của các cạnh đối diện. Trong mỗi quan hệ, các đoạn thẳng vẽ có chia đường chéo của hình bình hành đối diện với đỉnh đã cho không?

Về cơ bản mọi thứ chúng tôi làm cho đến nay đều diễn ra trên máy bay. Bây giờ chúng ta hãy “đi ra ngoài” vào không gian.

Định lý 2. Mọi điểm của mặt phẳng ABC đều được chuẩn hóa

48

tổ hợp tuyến tính của các điểm A, B và C.

Bằng chứng. Cho điểm X thuộc mặt phẳng ABC (Hình 4). Chúng tôi có $\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX}$. Vì các điểm A, B, C không nằm trên cùng một đường thẳng nên $\overrightarrow{AX} = \lambda_1 \cdot \overrightarrow{AB} + \lambda_2 \cdot \overrightarrow{AC}$. Bây giờ chúng tôi nhận được: $\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \overrightarrow{AB} + \lambda_2 \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + \lambda_2 (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = (1 - \lambda_1 - \lambda_2) \cdot \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \overrightarrow{OB} + \lambda_2 \cdot \overrightarrow{OC}$. Tổng các hệ số bằng 1. Ta hãy biểu thị số 1 - $\lambda_1 - \lambda_2$ bằng $\alpha$, số $\lambda_1$ - bằng $\beta$ và $\lambda_2$ - bằng $\gamma$; rồi $X = \alpha A + \beta B + \gamma C$, ở đâu $\alpha + \beta + \gamma = 1$.

Bài tập

19. Chứng minh điều ngược lại: mọi tổ hợp tuyến tính chuẩn hóa của các điểm A, B, C không nằm trên cùng một đường thẳng đều thuộc mặt phẳng ABC.

20. Nếu ba điểm và sọc không nằm trong cùng một mặt phẳng thì mọi điểm trong không gian được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của ba điểm này. Chứng minh điều đó.

Lời giải phép đo lập thể cơ bản bài toán sử dụng hành động trên các điểm dựa trên các nguyên tắc giống như phép đo phẳng lời giải bài toán. Ví dụ: hãy xem xét bài toán này: đường chéo AC$_1$ được vẽ song song $ABCEA_1B_1C_1E_1$; chứng minh rằng các mặt phẳng A$_1$BE và B$_1$E$_1$C chia đường chéo này thành ba đoạn có độ dài bằng nhau.

Để chứng minh điều này, hãy chọn sọc tại điểm A (Hình 5). Gọi K là giao điểm của đường thẳng AC$_1$ và mặt phẳng A$_1$BE. Khi đó K = $\lambda \cdot C_1$, tức là K = $\lambda \cdot (B + E + A_1)$. Mặt khác K thuộc mặt phẳng A$_1$BE; do đó K = $\alpha \cdot A_1 + \beta \cdot B + \gamma \cdot E$, trong đó $\alpha + \beta + \gamma = 1$. Chúng tôi nhận được hệ thống:

$\alpha = \lambda$; $\beta = \lambda$; $\gamma = \lambda$; $\alpha + \beta + \gamma = 1$, từ đó tìm ra $\lambda = \frac{1}{3}$. Vì vậy, $|AK| = \frac{1}{3}|AC_1|$. Bây giờ gọi M là giao điểm của đường thẳng AC$_1$ và mặt phẳng B$_1$E$_1$C. Lập luận tương tự cho thấy M = $\frac{2}{3}C_1$, do đó $|AM| = \frac{2}{3}|AC_1|$.

Bài tập

21. Chứng minh rằng mọi đường chéo của một hình song song cắt nhau tại một điểm.

Lưu ý rằng việc gọi các phép toán là “cộng” và “nhân với một số” mà chúng tôi đã giới thiệu để lấy điểm, thường không được chấp nhận. Rõ ràng là họ không nói về sự kết hợp tuyến tính của các điểm $\alpha_1A_1 + \ldots + \alpha_nA_n$, mà nói về sự kết hợp tuyến tính của các vectơ $\alpha_1\overrightarrow{OA}_1 + \ldots + \alpha_n\overrightarrow{OA}_n$, chỉ ra rõ ràng sự lựa chọn của “cực” O. Tất nhiên, điều này không làm thay đổi phép chia hiện có - sự khác biệt chỉ nằm ở ký hiệu; Chính nhờ sự ngắn gọn của ký hiệu mà ưu điểm chính của “đại số điểm” mà bạn đã làm quen trong bài viết này nằm ở chỗ.