Không gian và hình học bên trong của bề mặt

4

V. Efremovich

KHÔNG GIAN VÀ HÌNH HỌC BÊN TRONG CỦA CÁC BỀ MẶT

1. Không gian của chúng ta - nó như thế nào?

Hình học chúng tôi học ở trường là hình học Eclidian. Nhưng có đúng là không gian chúng ta đang sống được cấu trúc theo cách này? Nó có phải là Euclide không? Các tiên đề của Euclid có đúng trong không gian thực của chúng ta không?

Làm sao có thể khác được? Suy cho cùng, những tiên đề ấy rất mạnh mẽ: “Chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm”; “Mọi đường thẳng đều vô hạn theo cả hai hướng”; “Một đường vuông góc và một đường xiên của cùng một đường thẳng không cắt nhau”, v.v.

Có vẻ như tất cả những điều này quá rõ ràng đến mức không thể khác được! Đây là điều mà triết gia nổi tiếng người Đức I. Kant đã nói: “Không thể nghĩ khác được!”, Tức là có những sự thật mà chúng ta biết mà không cần trải qua kinh nghiệm - “a Priori”. Và để ủng hộ sự tồn tại của những chân lý “tiên nghiệm” như vậy, Kant đã trích dẫn chính xác các tiên đề hình học, như những sự kiện hiển nhiên, có giá trị chắc chắn, độc lập với bất kỳ kinh nghiệm nào. Nhưng người đồng hương vĩ đại của chúng ta N.I. Lobachevsky đã chỉ ra rằng hoàn toàn có thể nghĩ khác đi!

5

Ông đã xây dựng một hình học trong đó tất cả các tiên đề của Euclid đều được thỏa mãn, ngoại trừ một - một phần ba ở trên *). Hóa ra hình học này không những không tệ hơn Euclide mà ở một số khía cạnh thậm chí còn hoàn hảo và phong phú hơn.

Có thể từ chối các tiên đề khác? Có thể tưởng tượng rằng một đường thẳng có độ dài hữu hạn không? Chẳng phải rõ ràng là nó là vô hạn sao? Nhưng, hãy đối mặt với sự thật, đã có ai từng đi theo một đường thẳng đến mức tin chắc vào sự vô tận của nó chưa? Có lẽ, nếu chúng ta đi rất xa theo một đường thẳng thì đột nhiên chúng ta lại dừng lại ở điểm xuất phát của cuộc hành trình? “Thật là một lời đề nghị lố bịch!” - Tin hay không thì tùy, một số độc giả nghĩ. Trong khi đó, đây chính xác là điều sẽ xảy ra với một người tin rằng Trái đất phẳng, sẽ đi theo một hướng nhất định, luôn cố gắng đi dọc theo đường ngắn nhất (trên một quả cầu, đây là chu vi của một “vòng tròn lớn”); anh ta sẽ nghĩ rằng mình đang đi trên một đường thẳng và đột nhiên anh ta sẽ đến điểm xuất phát của cuộc hành trình.

Có lẽ chúng ta chỉ nghĩ rằng một đường thẳng là vô hạn, nhưng một ngày nào đó nó sẽ trở thành một đường thẳng khép kín, giống như một đường tròn, chỉ có chiều dài rất lớn? Bạn không bao giờ biết có những điều cực kỳ rõ ràng mà sau này hóa ra lại sai. Rốt cuộc, rõ ràng (cho đến khi mọi người biết rằng Trái đất là một hình cầu) rằng các đường thẳng đứng hoàn toàn song song và vô hạn, chúng giao nhau ở tâm Trái đất. Đối với người bạn đồng hành của Magellan, có vẻ như nếu họ cẩn thận ghi vào nhật ký của con tàu mỗi ngày, thì sau khi đi vòng quanh thế giới (tức là vòng quanh Trái đất) và trở về nhà, họ sẽ không nhầm lẫn khi đếm ngày. Nhưng hóa ra có một ngày đã mất tích.

Có mọi lý do cho thấy không gian của chúng ta phức tạp hơn Euclid nghĩ. Bản thân Lobachevsky đã chỉ ra rất rõ cách có thể nghiên cứu một không gian khác với không gian “thông thường” (biểu hiện của N. I. Lobachevsky), khi xây dựng hình học của mình, do đó, đối với những người lần đầu tiên làm quen với không gian “phi Euclid”, hình học của Lobachevsky thường được chọn. Chúng ta sẽ nói về những điều thú vị hơn.

2. Hình học bên trong của bề mặt

Rõ ràng, việc nghiên cứu hình học một cách có hệ thống bắt đầu bằng phép đo mặt phẳng, tức là nghiên cứu các hình trên một mặt phẳng. Bạn có thể nghiên cứu các hình dạng trên một số bề mặt khác, ví dụ: trên bề mặt của hình trụ, hình cầu hoặc hình elip.

Khi chúng ta nói “bề mặt”, chúng ta thường muốn nói đến một loại “phim” nào đó nằm trong không gian. Tuy nhiên, khi chúng ta nói “độ phẳng”, chúng ta không cố gắng nhúng nó vào không gian xung quanh bằng cách nào đó. Sử dụng “hình học bên trong” của mặt phẳng, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của mặt phẳng, trừu tượng hóa mọi thứ bên ngoài nó; đối với chúng ta, máy bay dường như trở thành một thế giới độc lập; theo nghĩa này, bản thân nó có thể được gọi là “không gian” (có hai chiều).

Tương tự, khi nghiên cứu hình học của một bề mặt nhất định, sẽ rất hữu ích nếu không cố gắng nhúng nó vào không gian, nghĩa là không phân biệt mặt phẳng, bề mặt hình trụ được xây dựng trên một parabol và góc nhị diện (Hình 1) - chúng thu được từ nhau bằng cách uốn cong, điều này không làm thay đổi “tính chất bên trong” của các bề mặt này.

Để hiểu rõ hơn về định nghĩa này, hãy tưởng tượng một “Blob” hai chiều tồn tại trên một bề mặt. Mọi thứ mà “Blob” có thể tìm hiểu về bề mặt này, việc thay đổi độ dài của các đường trên bề mặt bằng một sợi dây linh hoạt, thay đổi các góc bằng thước đo góc, v.v., đều tạo thành hình học bên trong của bề mặt. Đối với “The Blob”, toàn bộ thế giới đều liên quan đến bề mặt mà nó sống và đối với nó, không có gì thực sự ngoài bề mặt này!

Nhưng hóa ra, nói chung, không dễ để xây dựng hình học cho một bề mặt tùy ý - ngay cả những tam giác đồng dạng cũng có thể không được tìm thấy trên bề mặt này, và chính xác là dựa trên sự đồng dạng của các tam giác mà

6

Hình 1.

bằng chứng đầu tiên trong phép đo mặt phẳng!
Thuận tiện nhất là xây dựng hình học trên các bề mặt “đồng nhất” và “đẳng hướng”.

Ở trường bạn đã nghiên cứu chuyển động của máy bay. Hãy nhớ lại rằng việc di chuyển một mặt phẳng là ánh xạ mặt phẳng đó lên chính nó để bảo toàn khoảng cách, tức là độ dài của các đoạn nối hai điểm. Tương tự, di chuyển một bề mặt là ánh xạ bề mặt này lên chính nó để bảo toàn độ dài của tất cả các đường trên đó. Những ánh xạ như vậy còn được gọi là đẳng cự. Chúng tôi nhấn mạnh rằng chúng tôi không định nghĩa khái niệm “độ dài dòng” ở đây; bạn chỉ cần tưởng tượng các đường trên bề mặt như một sợi chỉ có thể tách ra khỏi bề mặt, áp vào “đồng hồ” và thay đổi độ dài của nó.

Một bề mặt được gọi là đồng nhất nếu, với bất kỳ hai điểm A và B nào của nó, có thể chỉ ra hình học của bề mặt, trong đó điểm A được ánh xạ tới điểm B. Điều này có nghĩa là bề mặt “được sắp xếp bằng nhau xung quanh bất kỳ điểm nào của nó”. Ví dụ, đây là bề mặt của một hình trụ tròn vô hạn (Hình 2).

Một bề mặt được gọi là phép đẳng cự tại một điểm A nào đó nếu, bất kể hai “hướng” Am và An phát ra từ A nào được lấy trên nó (Hình 3), vẫn có một chuyển động của bề mặt tại đó điểm A vẫn giữ nguyên và Am đi vào An. Ví dụ, bất kỳ bề mặt giằng nào cắt trục giằng tại điểm A đều là đồng vị tại A.

Một bề mặt được gọi là đẳng hướng nếu nó đẳng hướng tại mọi điểm. Điều thú vị là một bề mặt đẳng hướng luôn đồng nhất.

Một ví dụ về bề mặt đẳng hướng là mặt phẳng; Dưới đây chúng ta sẽ xem xét một cái khác - hình cầu.

3. Đường trắc địa

Chúng ta hãy xem xét giữa các điểm A và B trên bề mặt tên tự nhiên độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất nối các điểm này và nằm hoàn toàn trên bề mặt. Do đó, trong hình học bên trong của bất kỳ bề mặt nào, các đường trắc địa đặc biệt quan trọng: chúng đóng vai trò là các đường thẳng. Các đường thẳng này được định nghĩa như sau: với hai điểm bất kỳ A, B của một đường thẳng không quá xa nhau thì đoạn AB của nó ngắn hơn bất kỳ đoạn thẳng nào nối A với B và nằm trên mặt phẳng đó.

Đây là một ví dụ đơn giản. Hãy cuộn lại (không kéo dài hoặc cuộn) một tờ giấy

Hình 2. Hình 3.

7

Hình 4.

nhà ảo thuật trên một hình trụ tròn thẳng. Các đường thẳng của tấm này, khi uốn cong theo cách này, tạo ra ba loại trắc địa: một số trong số chúng sẽ không uốn cong chút nào và sẽ nằm trên đường sinh của hình trụ; những người khác biến thành vòng tròn; cuối cùng, những đường khác biến thành đường xoắn ốc (Hình 4). Chỉ đối với trắc địa loại 1, bất kỳ đoạn nào của nó sẽ ngắn nhất trên bề mặt; đối với trắc địa loại 2 và loại 3, chỉ cần không lâu hơn nữa, các đoạn của chúng sẽ thực sự là ngắn nhất.

Việc vặn vít tương tự có thể được thực hiện trên bề mặt cuối; ở đó một số đường trắc địa sẽ tự giao nhau! Làm điều này.

Việc nghiên cứu trắc địa trên một mặt cầu khá dễ dàng. Hoá ra đường trắc địa trên mặt cầu là những đường tròn lớn.

Hãy chứng minh điều đó. Giả sử rằng các điểm A và B trên hình cầu bán kính R được nối với nhau bằng một đoạn thẳng M có chiều dài l và l = AB/k (k>1), trong đó AB là cung của một đường tròn lớn. Chúng ta hãy chia đường cong M thành n phần có độ dài bằng nhau (Hình 5), và chọn n sao cho độ dài l/n của mỗi phần thu được đủ nhỏ, cụ thể là: sao cho trong một đường tròn bán kính R với bất kỳ dây cung PQ nào có độ dài nhỏ hơn l/n và cung nhỏ hơn phụ thuộc vào nó, sự tương ứng PQ<|PQ|·k được thỏa mãn (điều này có thể xảy ra với k>1 theo định nghĩa của đường tròn dài). Hãy nối các điểm chia liền kề bằng các dây cung và cung nhỏ hơn của đường tròn lớn. Gọi độ dài các cung này là c1, c2, …, cn và độ dài các dây d1, d2, …, dn. Lưu ý rằng c1 + c2 + … + cn ≥ AB = lk (bạn hãy tự chứng minh điều này). Suy ra rằng đối với ít nhất một cung, ví dụ, đối với số cung i, l/n ≤ c_i/k.

Nhưng c_i/k < d_i/k = d_i, nghĩa là l/n < d_i, điều này là không thể, vì đoạn thẳng là đoạn thẳng ngắn nhất trong số các đoạn thẳng nối hai điểm.

Cũng giống như trên một mặt phẳng, các đường thẳng đi ra từ một điểm theo mọi hướng, cũng vậy, trên một mặt cầu, từ bất kỳ điểm nào của nó theo bất kỳ “hướng” nào cũng có chính xác một đường trắc địa đi ra. Đối với các dải trắc địa như vậy sẽ có các terdine.

Dễ dàng chứng minh rằng ngay cả một mảnh nhỏ của bề mặt hình cầu cũng không thể bị uốn cong (không dãn và lăn, dù rất nhỏ) thành một mảnh phẳng. Để làm điều này, từ bất kỳ điểm bên trong nào của hình cầu (coi nó là dải phía bắc của hình cầu), dọc theo các terdian, chúng ta vẽ cùng một chiều dài nhỏ r (nhỏ để không vượt quá giới hạn của hình cầu), sau đó các điểm cuối tạo thành một vòng tròn; tất nhiên, đường thẳng l của nó sẽ nhỏ hơn 2πr, vì bán kính đường thẳng của đường tròn này nhỏ hơn r (“bán kính trắc địa” của nó). Trong khi đó, nếu mảnh hình cầu của chúng ta có thể bị uốn cong trên một mặt phẳng thì chu vi và bán kính trắc địa của nó sẽ không thay đổi (xét cho cùng, khi uốn cong, chiều dài không thay đổi, do đó

9

rằng tinh vân mờ nhạt ở xa M.83 chỉ đơn giản là một hình ảnh “phía sau” của tinh vân ngoài thiên hà lớn M.31 ở Andromede. Nhưng giả thuyết này đã biến mất, vì chẳng bao lâu sau, trong thiên văn học đã có những khoảng cách lớn hơn đáng kể so với tổng khoảng cách tới M.83 và M.31. Điều này có nghĩa là nếu một đường thẳng đóng và có độ dài hữu hạn thì độ dài này sẽ lớn hơn nhiều.

Giống như trong phép đo mặt phẳng, trên một hình cầu lời giải bài toán thường giảm khoảng cách bằng một chuỗi hình tam giác. Một hình tam giác hình cầu được tạo thành từ ba đỉnh được nối thành từng cặp bằng các cung ngắn nhất - đây là các cạnh của nó. Nhưng trên quả cầu cũng có hai cực, ví dụ như hai cực được nối với nhau bằng hai kinh tuyến.

Hãy chứng minh rằng tổng các góc của một tam giác cầu luôn lớn hơn π*). Để làm điều này, chúng ta tính diện tích S_{ABC} của tam giác cầu ABC, nếu biết giá trị các góc Å, B, C (tính bằng radian) của nó.

Để rõ ràng, chúng ta sẽ xây dựng bản vẽ sao cho điểm A rơi vào dải đã được xác minh của hình cầu (Hình 7). Trước tiên, chúng ta hãy tính diện tích S_{AA’} của bigon, diện tích này sẽ có được nếu chúng ta kéo dài hai cạnh AB và AC để giao nhau tại điểm A’, đối diện theo đường kính với điểm A. Giả sử diện tích của toàn bộ bề mặt hình cầu bằng S. Rõ ràng là S_{AA’} = S·Å/2π (vì diện tích của một bigon có góc 2π, rất/không, bằng S - đây là toàn bộ hình cầu). Tương tự, tiếp tục các cạnh của góc B, chúng ta thu được một đường chéo có diện tích S_{BB’} = S·К/2π, và góc C sẽ dẫn chúng ta đến một đường chéo có diện tích S_{CC’} = S·К/2π. Tiếp tục các cạnh của cùng một góc theo hướng ngược nhau, chúng ta thu được các đường chéo bổ sung có cùng diện tích. Phần nào của quả cầu sẽ được bao phủ bởi những cặp bigon này? Rõ ràng là chúng sẽ bao phủ toàn bộ hình cầu, và các tam giác ABC và A’B’C’ sẽ bao phủ ba lần (để rõ ràng, hãy thực hiện phép dựng này cho tam giác ABC trên mặt phẳng!). Vì thế,

*) Góc lớn (hay đơn giản là góc) giữa hai đường cong giao nhau là góc giữa các tiếp tuyến của các đường cong này vẽ tại giao điểm của các đường cong đó.

$$\frac{2S}{2\pi} \hat{A} + \frac{2S}{2\pi} \hat{B} + \frac{2S}{2\pi} \hat{C} = S + 4S_{ABC};$$

từ đây

$$S_{ABC} = \frac{S}{4\pi} (\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} - \pi).$$

Diện tích của tam giác hóa ra tỷ lệ thuận với cái gọi là “hình cầu dư thừa”

$$\varepsilon = \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} - \pi.$$

Lưu ý rằng các số S và S_{ABC} đều dương, tức là số dư của ε là dương, hay nói cách khác tổng các góc của một tam giác cầu luôn lớn hơn π.

Điều thú vị là trên mặt phẳng Lobachevsky, tổng các góc của một tam giác luôn nhỏ hơn π và diện tích của nó tỉ lệ với “khuyết khuyết” δ = π—(Å + B + C).

Trong hình học trên một mặt cầu, các dấu hiệu bằng nhau của các tam giác cũng có giá trị như trong phép đo đa giác (trên một cạnh và hai góc, trên hai cạnh và góc giữa chúng, trên các cạnh đó), nhưng còn một điều nữa: trên ba góc - không có hình tam giác giống nhau trên hình cầu! (Bằng chứng giống như trong phép đo đa bội.)

Bài tập

1 (có bộ râu rất dài). Cho một hình song song góc vuông có kích thước 30×12×12. Tìm đường đi ngắn nhất dọc theo bề mặt của nó giữa các điểm A và A’, nằm đối xứng với tâm của hình song song trên các mặt vuông của nó trên các mặt thẳng đứng ở giữa (để rõ ràng, chúng tôi coi các mặt 30x12 là sàn và trần nhà), điểm A - ở độ cao 1 so với sàn, A’ - ở độ cao 1 so với sàn. Người ta tin rằng nhiều người sẽ hét lên: “Độ dài của con đường ngắn nhất là 42!” Tuy nhiên, điều này không đúng - có một con đường ngắn hơn đáng kể! Tìm anh ấy.

2. Krasnoirsk và Moscow gần như nằm trên cùng một vĩ tuyến (56° vĩ độ Bắc). Biết kinh độ của chúng (93° và 38°) và bán kính Trái đất (6370 km), hãy tìm xem đường đi ngắn nhất ngắn hơn bao nhiêu so với đường đi dọc theo đường song song.

3. Chứng minh rằng:

a) tổng các góc Å1 + Å2 + … + Ån của n-giác A1A2…An luôn lớn hơn (n-2)π;

b) diện tích hình cầu n-giác A1A2…An tỉ lệ với phần thừa ε = Å1 + Å2 + … + Ån - (n-2)π.

4. Chứng minh rằng trong một tam giác cầu tổng độ dài các cạnh lớn hơn độ dài tam giác ABC trong mặt phẳng!

5. Chứng minh kiểm tra sự bằng nhau của các tam giác cầu có ba cạnh.