Lemniscate của Bernoulli

25

Lemniscate của Bernoulli

Trang đầu tiên và trang thứ tư của trang bìa thể hiện vị trí của các đường cong. Về thứ tư - lemniscathons, hay đường cong Wamma (bài viết của V. Vavilov trong số này nói về chúng - trang 20). Cái đầu tiên là lemniscate* của Bernoulli). Khi xác định sự tương ứng của các tham số xác định lemniscate (l = d = R√2 trong ký hiệu của bài viết của Vavilov), nó được chia thành lemniscate Bernoulli và đường tròn.

Đường cong lemniscate của Bernoulli là đường cong thay thế đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học. Nó có thể được định nghĩa theo những cách khác nhau.

Ví dụ, lemniscate của Bernoulli là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng, tích khoảng cách của mỗi điểm đó với hai điểm cố định F₁, F₂ bằng (|F₁F₂|/2)².

*) Chúng ta đang nói về Jacob Bernoulli (1654-1705), một nhà toán học xuất sắc, tác giả của công trình liên quan chủ yếu đến giải tích toán học, hình học và lý thuyết xác suất. Gia đình Bernoulli đã cống hiến cho thế giới nhiều nhà khoa học kiệt xuất, trong đó có các nhà toán học. Trong lịch sử khoa học, các nhà khoa học cùng họ này được gọi như các vị vua - Daniel I, Johann 11, … “Lemniscate” là một từ tiếng Hy Lạp; Ở Hy Lạp cổ đại, lemniscate là một dải ruy băng dùng để gắn vòng hoa lên đầu người chiến thắng.

Trên trang đầu tiên của trang bìa cũng có một hyperbol quen thuộc, chính xác hơn là một hyperbol đều có các tiệm cận vuông góc). Nếu chúng ta thực hiện một phép biến đổi nghịch đảo (xem «Kvant», 1971, số 8, trang 23) với tâm ở tâm đối xứng của hyperbol đối với đường tròn tiếp xúc với nó, thì hyperbol sẽ biến thành một lemniscate.

Bạn có thể nhận được lemniscate bằng cách sử dụng cùng một hyperbola theo cách khác. Hãy dựng tất cả các đường tròn, tích qua tâm đối xứng của hyperbol, với tâm nằm trên hyperbol này. Đường cong tiếp tuyến với tất cả các đường tròn này là đường lemniscate (đây là tên của công trình này và được thể hiện trên trang bìa).

Đây là một cách khác để xây dựng một lemniscate. Nó vừa với hai hình vuông (Hình 1) xung quanh chu vi. Tất cả các cát tuyến có thể có được vẽ qua tâm O và tất cả các dây cung có thể có của đường tròn LM’ được hình thành. Chúng ta chuyển các dây này dọc theo các tia mà chúng thuộc về sao cho mỗi điểm L rơi vào điểm O. Khi đó các điểm M có thể tạo thành một lemniscate.

Bạn có thể xây dựng một lemniscate bằng các công cụ vẽ. Để làm điều này, hãy thực hiện một số cách dựng bổ sung trong Hình 1. Hãy vẽ NF song song với OM, cũng như AC (trong đó C là tâm của đường tròn).

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

sti) và NM vuông góc với OM (Hình 2). Kể từ |OC| = 1/2 |OF| thì |AC| = 1/2 |ED| = 1/2 |MN|. Ngoài ra, |LA| = 1/2 |LM’| = 1/2 × |OM|. Do đó hai tam giác LAC và OMN đồng dạng. Độ dài của đoạn |ON| = 2 |LC| = hằng số. Đây là cơ sở cho phương pháp xây dựng một lemniscate, được minh họa trong Hình 3. Ở đây, hai hình vuông và một hình tròn có bán kính |QF| được sử dụng. Đường thẳng của một trong các hình vuông phải chứa đoạn NF. Điểm M thuộc lemniscate.

Hãy cố gắng chứng minh rằng tất cả các phương pháp dựng hình được mô tả đều cho cùng một đường cong.

V. Berezin