Bài toán và Thế vận hội

50

Bài toán và Thế vận hội

Năm 1976, nhà xuất bản “Mir” xuất bản một cuốn sách tuyệt vời khác: I. Küršák, D. Neukomm, D. Hajos, J. Szurani “Olympic Toán học Hungary” (bộ truyện “Bài toán và Olympic”).

Hungary là quốc gia đầu tiên (theo lời giải Hiệp hội Toán học và Vật lý Hungary) bắt đầu tổ chức các cuộc thi Olympic toán học dành cho học sinh tốt nghiệp trung học. Thế vận hội đầu tiên diễn ra vào năm 1894. Kể từ đó, Thế vận hội được tổ chức hàng năm ở Hungary (ngoại trừ hai cuộc chiến tranh thế giới).

Cuốn sách “Các kỳ thi Olympic Toán học Hungary” thu thập bài toán của tất cả các kỳ thi Olympic tính đến năm 1974 (tại mỗi kỳ Olympic, người tham gia được tặng ba bài toán).

93 bài toán đầu tiên (cho đến năm 1928) được thu thập và xuất bản kèm theo lời giải bởi một trong những người tổ chức Thế vận hội, Kurshak. Các bài toán của Olympic 1928-1963 được các nhà toán học Hungary Hajos, Neukomm và Szurani sưu tầm. Và cuối cùng, bài toán Olympic của những năm gần đây nhất (bao gồm cả năm 1974) đã được người dịch sách Yu sưu tầm. A. Danilov.

Cuốn sách bao gồm ba phần. Phần đầu tiên là từ vựng đơn giản của 222 Olympic bài toán (để các bạn có thể đánh giá những bài toán này, dưới đây chúng tôi sẽ trình bày một số trong số đó). Phần thứ hai là phần đầu tiên trong ba phần - đây là từ vựng đơn giản 222 Olympic bài toán (để bạn có thể đánh giá những bài toán này, dưới đây chúng tôi sẽ trình bày một số trong số chúng). Trong phần thứ ba - đây là phần đầu tiên trong ba phần - đây là từ vựng đơn giản của 222 Olympic bài toán (để bạn có thể đánh giá những bài toán này, dưới đây chúng tôi sẽ trình bày một số trong số chúng).

Thế vận hội 1894 (số 1)

Chứng minh rằng biểu thức 2x+3y và 9x+5y chia hết cho 17 với cùng số nguyên x và y.

Thế vận hội 1901 (số 22)

Chứng minh rằng tổng lũy ​​thừa n-x 1^n+2^n+3^n+4^n chia hết cho 5 khi và chỉ khi số mũ n không chia hết cho 4.

Lời giải của bài toán này dựa trên thực tế là 1^4=2^4=3^4=4^4=1 (mod 5). Số nguyên so sánh này không gì khác hơn là một trường hợp đặc biệt của Định lý nhỏ Fermat:

Nếu a là số nguyên và không chia hết cho số nguyên tố p thì a^{p-1}≡1(mod p).

Thế vận hội 1924 (số 82)

Cho ba số nguyên dương a, b và c. Chứng minh rằng nếu với mọi số nguyên dương n có thể dựng được một tam giác với các chuỗi có độ dài a^n, b^n, c^n thì mọi tam giác dựng được sẽ cân bằng.

Thế vận hội 1926 (số 90)

Vòng tròn của các katistic không trượt quanh vòng tròn của đầu vào có kích thước lớn, vẫn ở bên trong nó. Dòng nào được mô tả bởi sự xuyên thấu này?

Làm quen với các bài viết về bánh cuộn của S. Verov sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề này bài toán (xem «Kvant», 1975, số 5, 8 và 12). Đáp số đây là: đường kính của vòng tròn lớn hơn đi qua điểm mà vòng tròn nhỏ hơn chạm vào nó lúc ban đầu, một khoảnh khắc trôi qua hai lần - theo chiều thuận và chiều ngược lại.

Thế vận hội 1933 (số 110)

16 trong số 64 ô vuông được đặt trên bàn cờ, và trên mỗi ô trong số 8 ô ngang và mỗi ô trong số 8 ô dọc có 2 ô vuông được đặt. Chứng minh rằng có thể xét 8 hình đen và 8 hình trắng trên các ô đã đặt (không có hình nào trong mỗi ô được đặt), rằng trên mỗi ô ngang và mỗi ô dọc có 1 hình trắng và 1 hình đen.

Hóa ra bài toán này có thể được dịch sang ngôn ngữ của lý thuyết đồ thị, sử dụng lý thuyết trích dẫn (tất cả các thông tin cần thiết).

51

naya được báo cáo trong lời giải) nó có thể được giải quyết dễ dàng. Trong trường hợp này, có thể giải được bài toán tổng quát hơn về việc sắp xếp các quân đen và trắng trên bàn cờ có kích thước $m \times n$ và các quân khác bài toán.

Thế vận hội 1935 (số 116)

Một điểm được gọi là tâm đối xứng của tập tiết niệu H nếu một thùy đối xứng với O của bất kỳ tập tiết niệu H nào cũng thuộc về tập tiết niệu H. Chứng minh rằng một tập tiết niệu hữu hạn không thể có hai tâm đối xứng khác nhau.

Đối với điều này, bài toán hai lời giải được đưa ra; trong phần thứ hai lời giải cho thấy rằng tập chính xác có hai tâm đối xứng là vô hạn và có vô số tâm đối xứng: - tất cả các điểm nằm trên một đường thẳng đi qua hai tâm đối xứng này và cách nhau từ hai đầu của đoạn này một khoảng bằng bội số nguyên của chiều dài của nó.

Thế vận hội 1937 (số 122)

Ba vòng tròn trong không gian chạm vào nhau theo từng cặp và cả ba điểm tiếp xúc đều khác nhau. Chứng minh rằng các đường tròn này nằm trên cùng một mặt cầu hoặc trong cùng một mặt phẳng.

Thế vận hội 1947 (số 144)

Đường tròn bán kính r được thể hiện bằng đường tròn bán kính r/2. Số vòng tròn nhỏ nhất cần thiết cho emod là bao nhiêu?

Đáp số: bảy.

Thế vận hội 1966 (số 196)

Có một hình chữ nhật không gian, tất cả các cạnh của nó đều bằng nhau và các góc giữa hai ước tính bất kỳ được xây dựng nếu, ví dụ, người ta từ chối điều kiện bằng nhau của tất cả các cạnh của nó và chỉ yêu cầu các mặt của bốn cạnh phải bằng nhau và các góc giữa bất kỳ ước tính nào đều được xây dựng.

Thế vận hội 1971 (số 211)

Đường thẳng này cắt cạnh AB của tam giác ABC tại điểm C₁, cạnh AC tại điểm B₁ và tiếp tục cạnh BC tại điểm A₁. Gọi C₂ là điểm đối xứng với điểm C₁ so với điểm giữa của cạnh AC và A₂ là giao điểm của đường thẳng B₂C₂ và BC.

Chứng minh rằng

$$\sin B_1A_1C : \sin C_2A_2B = |B_2C_2| : |B_1C_1|.$$

Thế vận hội 1972 (số 215)

Lớp có số lượng nam và nữ bằng nhau (lớp có ít nhất 4 người). Chúng được xếp theo các thứ tự khác nhau trên một hàng và được xẻ rãnh, liệu có thể chia hàng thành hai phần sao cho số lượng nam và nữ ở mỗi phần bằng nhau. Gọi a là số dòng khi việc phân chia chuỗi như vậy là không thể, và b là số dòng khi có thể chia chuỗi thành hai phần với số nam và nữ bằng nhau trong mỗi phần, nhưng chỉ theo một cách. Chứng minh rằng b = 2a.

Thế vận hội 1973 (số 219)

Trong không gian, có n mặt phẳng (n ≤ 5), sao cho bất kỳ mặt nào trong số chúng đều có một điểm chung và trong không gian không có điểm, có nhiều hơn ba mặt phẳng đi qua các góc. Chứng minh rằng trong số các phần của Comoria n mặt phẳng này phân chia không gian có ít nhất $\frac{2n-3}{4}$ khối trung diện.

Một phát biểu tương tự trên mặt phẳng thành phố đơn giản hơn: nếu n đường thẳng được cho trên mặt phẳng, nằm ở phía 同一 vì trên mỗi phần các cô gái và chàng trai không đi qua một điểm, thì trong số các phần trên Komorye, n mặt phẳng này phân chia không gian, có ít nhất (2n-2)/3 khối đa diện.

Thế vận hội 1974 (số 221)

Cho một chuỗi vô hạn các hình vuông có độ dài 1, $1/2$, $1/3$, …, $1/n$. Chứng minh rằng tồn tại các hình vuông, các dãy sao cho chúng không chồng lên một hình vuông khác và xác định cạnh của hình vuông nhỏ nhất cùng với tất cả các dãy đó.

Tất cả các hình vuông tạo thành một chuỗi vô hạn nhất định có thể được đặt trong hình vuông có cạnh $1/2$.