Bất kỳ thẻ nào cũng có thể được sơn bốn màu

60

Bất kỳ bản đồ nào trên máy bay đều có thể được tô bằng bốn màu

Đây là tên của một ghi chú xuất hiện vào tháng 9 năm 1976 trên tạp chí của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ, Bản tin của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ. Thông điệp này đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học chuyên nghiệp và những người đam mê toán học trong thế giới của ông: bài toán thay thế bốn màu lời giải!

Trong hơn một trăm năm, bài toán này đã thu hút trí tưởng tượng của các nhà toán học bằng công thức của nó - không kém phần đơn giản so với công thức của Định lý lớn Fermat, đồng thời sâu sắc hơn; Nghiên cứu về vấn đề này đã thúc đẩy sự ra đời của lý thuyết đồ thị, lý thuyết ngày nay rất phổ biến và quan trọng đối với các ứng dụng.

Tạp chí của chúng tôi đã nhiều lần nói về vấn đề bốn màu*).

Dưới đây là một vài tình tiết trong lịch sử hàng trăm năm của vấn đề này.

1840 Nhà thiên văn học và hình học người Đức A. Mobius đã chứng minh rằng “không thể đo năm vùng trên một mặt phẳng để mỗi vùng có một ranh giới chung”. Định lý đơn giản này là khúc dạo đầu cho bài toán bốn màu.

1852 Nhà toán học người Anh De Morgan viết cho người bạn và đồng nghiệp của ông là W. Hamilton về bài toán, được phát minh bởi một trong những học trò của ông: “Bất kỳ bản đồ nào trên một hình cầu đều có thể được tô màu tối đa bốn màu để hai quốc gia láng giềng bất kỳ được tô màu khác nhau”. Tôi đã không nhớ điều này bài toán trong một phần tư thế kỷ.

1878 Từ bục giảng của Hiệp hội Địa lý Anh, nhà toán học người Anh A. Cayley một lần nữa đặt ra bài toán về bốn màu (và nói thêm rằng bản thân ông đã không thể giải được nó trong vài ngày - điều này đã xảy ra gần một trăm năm trước!).

Kể từ đó, vấn đề (hoặc giả thuyết*) này đã trở nên phổ biến và được biết đến ở một mức độ nào đó mà không tốn kém. “Giả thuyết bốn màu có thể được gọi một cách chính đáng là “căn bệnh bốn màu”, vì về nhiều mặt nó giống với một căn bệnh…”**) Hàng nghìn nhà toán học nghiệp dư, bao gồm cả thủ thư nổi tiếng (O. Veblen, F. Franklin, v.v.), đã “phát ốm” với nó.

*) Xem bài viết: dành cho học sinh nhỏ tuổi - “Thí nghiệm tôpô bằng chính đôi tay của bạn”, 1974, số 2, tr. 58; dành cho học sinh lớp 7-9 - “Bản đồ và Sách tô màu”, 1972, số 4, tr. 33 và dành cho học sinh lớp 10 - bài khá phức tạp “Số học trên bản đồ địa lý”, 1974, số 4, tr. 23.

*) Giả thuyết là bản đồ có thể cắt được, vấn đề là quyết định xem giả thuyết đó có đúng hay không.

**) F. Harari, Lý thuyết đồ thị. Dịch. từ tiếng Anh, nhà xuất bản “Mir”, M., 1973, tr. 151.

61

Đến bài viết “Chu trình Carnot”

1. $\Delta U = \frac{3}{2} R \Delta T = -2,5 \cdot 10^5 \text{ джс}$.
2. $\Delta U = cm \Delta T = 10^{21} \text{ джс}$.
3. Trên biểu đồ (Hình 1), phần bóng mờ của giá trị số bằng công thực hiện khi thể tích khí thay đổi từ 20 đến 40 lít. Ở tỷ lệ đã chọn, diện tích của mỗi ô là 100 ($\lambda \cdot amm$). Vì $1 \lambda \cdot amm = 10^{-3} m^3 \cdot 101 \cdot 325 \text{ h/m}^2 \approx 100 \text{ джс}$ nên diện tích của một ô tương ứng với công việc $\approx 10^4 \text{ джс}$. Diện tích của hình được tô bóng là khoảng 4,25 ô vuông. Do đó, khi thể tích khí thay đổi từ 20 đến 40 lít thì công $A \approx 4,25 \cdot 10^4 \text{ джс}$ được thực hiện.

Hình 1.
4. Nói một cách đơn giản $AB_1$ không có công nào được thực hiện thì nội năng của khí tăng lên.
Nói một cách đơn giản, $AB_2$ công được thực hiện và nội năng của khí tăng lên.

Hình 2.
Hình 3.

62

Trong quá trình thực hiện công $AB_3$, nội năng của khí không thay đổi.
5. Bề mặt Trái đất nóng lên là lò sưởi, luồng không khí bốc lên là chất lỏng làm việc, các tầng trên của khí quyển là tủ lạnh.

Đến bài “17 bài toán về phân tích (giới hạn, tính liên tục, tính đơn điệu, đạo hàm)”

1. Giới hạn chỉ tồn tại trong trường hợp $\theta$).

2. Có thể xác định hàm sao cho giới hạn yêu cầu chỉ tồn tại trong trường hợp $a$) và $e$).

3. $e)$ Ví dụ: đây là hàm $y = [x]$ (phần nguyên $x$).

4. Hàm số có đồ thị $\theta$ và $e)$ gián đoạn tại điểm $x = x_0$; hàm số có đồ thị $\theta)$ gián đoạn cũng tại điểm $x = x_1$; hàm số với đồ thị $a)$ gián đoạn chỉ tại điểm $x = x_1$.

5. Trong trường hợp $x$ và $e)$, hàm $f$ không thể được xác định thêm là hoàn toàn liên tục.

6. $a$), $6$), $e$) - có; $\theta$) và $\partial$) - không.

7. Lưu ý: tăng [0,2], giảm - [2, 3].

8. Trong trường hợp $a$): 1) không (ví dụ: $y = [x] - x$); 2) có; trong trường hợp $6$): 1) và 2) - có.

9. Hình 2, a - c là đồ thị hàm số âm thỏa mãn điều kiện bài toán.

10. B) Có thể.

11. $a)$ Hai điểm tối đa và hai điểm tối thiểu.
    $\delta)$ $x_0$ — điểm tối đa.
    $\theta)$ Không có điểm cực trị.
    $e)$ $x_0$ — điểm tối đa.
    $\partial)$ $x_0$ là điểm tối thiểu.
    $e)$ $x_0$ — điểm tối đa.
    $ж)$ Đối với số nguyên $n$ tại các điểm $x = 2n$ - tối đa, tại các điểm $x = 2n + 1$ - tối thiểu.

3. Một điểm tối đa và một điểm tối thiểu (ngoài ra còn có cả một đoạn điểm tối thiểu ngoài kế hoạch).

12. Đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ dưới đồ thị hàm số $y = f(x)$ này được thể hiện trên hình 3, a - $e$.
13. Tất nhiên, các hàm số khác nhau có thể có cùng đạo hàm: nếu $g(x) = f(x) + c$, trong đó $c$ là hằng số, thì rất/không, $g'(x) = f'(x)$. Để biết thêm chi tiết về vấn đề này, hãy xem đoạn 98 của sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 10”. Ví dụ về đồ thị hàm số $y = f(x)$ có các đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ này được thể hiện trên Hình 4, a - $e$.
14. $a$): 1) không, 2) có;
    6): 1) không, 2) có;
    c) có.

Hình 4.