Cơ chế bản lề. đường cong Watt

20

Một quan niệm sai lầm phổ biến là cho rằng một phần quan trọng trong hoạt động của nhà toán học (hoặc nhà vật lý lý thuyết) là thực nghiệm. Trước khi chứng minh bất cứ điều gì, nhà toán học dành nhiều thời gian, xem xét nhiều ví dụ và trường hợp đặc biệt khác nhau, để giải phóng bản thân bằng những đối tượng mới và tìm ra các mẫu mà sau đó có thể được trình bày dưới dạng “bài toán” hoặc “định lý” đúng. Chỉ sau rất nhiều công việc, sau khi phủ lên hàng núi giấy những phép tính cụ thể hoặc phủ nó bằng đồ thị, nhà toán học mới bắt đầu làm việc trên lời giải toán học trừu tượng bài toán hoặc để chứng minh một định lý. Nhiều kết quả khoa học toán học quan trọng cho ứng dụng thực tế cũng không phải là các định lý trừu tượng mà là các bảng tính toán, đồ thị, sơ đồ và chương trình tính toán.

Phần mới của chúng tôi “Hội thảo Toán học” được dành riêng cho phần “thử nghiệm” này của toán học. Bằng cách hoàn thành các nhiệm vụ của “Hội thảo Toán học”, bạn sẽ học cách tìm ra các mô hình chung thông qua một số quan sát cụ thể và nếu hiểu chủ đề của nhiệm vụ, bạn sẽ có thể hiểu sâu về nó và có thể thực hiện những khám phá độc lập đầu tiên của mình. Theo quy định, nhiệm vụ của chúng ta trong một hội thảo toán học sẽ bao gồm hai hoặc nhiều bước: bước đầu tiên là thực hiện một “thí nghiệm” (viết một số đường cong hoặc hình vẽ, giải một chuỗi phương trình, v.v.), bước tiếp theo là xây dựng một bài toán tổng quát, viết một phương trình tổng quát về hiện tượng hoặc quá trình đang được nghiên cứu, bằng một từ, kiểm tra một số nghiên cứu.

Trong mỗi nhiệm vụ của mình, chúng tôi cung cấp một ví dụ cụ thể để làm theo và mô tả kế hoạch làm việc. Chúng tôi yêu cầu người biên tập gửi những bức thư có bài tập đã hoàn thành với ghi chú “Mat. workshop”. Hoàn thành đồ thị và bản vẽ trên tờ giấy tiêu chuẩn. Chúng tôi yêu cầu bạn không cuộn các tờ giấy thành ống khi vận chuyển. Vui lòng đính kèm một phong bì có địa chỉ gửi lại là đáp số.

Hầu hết các nhiệm vụ mà khoa này bắt đầu đều được sinh ra trong khuôn viên của Trường Vật lý và Toán học tại Đại học Tổng hợp Moscow.

Trong nhiệm vụ đầu tiên của hội thảo toán học, hãy giải một số đường cong được xem xét trước đây liên quan đến một bài toán kỹ thuật khó (vào thời điểm đó) và quan trọng: làm thế nào nối piston với điểm cực đại của bánh xe động cơ sao cho chuyển động quay của bánh xe truyền chuyển động thẳng cho piston?

V. Vavilov

Cơ chế bản lề. đường cong Watt

“Mặc dù tôi không đặc biệt quan tâm đến mệnh đề này, nhưng tôi rất hào hứng với hình bình hành hơn bất kỳ phát minh nào khác được thực hiện.”
J. Watt (trích thư gửi con trai)

1. Cơ cấu bản lề trong Hình 1 được James Watt đề xuất vào năm 1774 *), khi ông cũng giải được bài toán: làm thế nào nối piston với điểm của bánh xe cực đại, sao cho chuyển động quay của bánh xe truyền chuyển động thẳng cho piston? Trong hình 1 nó được hiển thị như thế này

*) James Watt (1736-1819) - nhà phát minh kiệt xuất người Anh. Khi đang làm thợ cơ khí tại Đại học Glasgow, ông đã nghiên cứu về động cơ hơi nước.

gọi là hình bình hành Watt viết tắt: nó gồm hai thanh $O_1A_1$ và $O_2A_2$ có cùng chiều dài (cánh tay đòn và bán kính đầu ra), được kết nối với nhau bằng bản lề của các thanh $A_1A_2$ (thanh kết nối). Các thanh $O_1A_1$ và $O_2A_2$ xoay quanh các điểm cố định $O_1$ và $O_2$, và nếu độ dài của các thanh cho phép, có thể thu được một loạt các hình “chữ thập” p khác nhau (Hình 2, a, b).

Sau khi kiểm tra cẩn thận chuyển động của điểm $M$ của shatur $A_1A_2$, Watt tin chắc rằng điểm giữa của shatur $A_1A_2$ hơi lệch khỏi đường thẳng khi tất cả các hệ thống nói chung bắt đầu chuyển động (Hình 3).

Ba thanh $O_1A_1A_2O_2$ có một nhược điểm: khoảng cách giữa các điểm $O_1$ và $O_2$ (giữa các trục quay của cánh tay đòn và bán kính đầu ra) phải khá đáng kể để phần quỹ đạo thích hợp (tức là phần đường cong ít khác với đường thẳng) của chuyển động của điểm giữa của shatur được kéo dài; điều này dẫn đến sự gia tăng không thể chấp nhận được về quy mô của ma-

21

bộ phận lốp xe. Để tránh điều này, Watt đã thêm các phần mở rộng của phép ghi hình vào cấu trúc ba liên kết, thu được một hình bình hành hoàn chỉnh (Hình 3; $|O_1A_1| = |O_2A_2| = |B_2A_2| = |B_1A_1|$, $|B_1B_2| = |A_1A_2|$, $|MA_1| = |MA_2|$, thanh $O_2B_2$ tại điểm $A_2$ không bị uốn cong), sau đó bản thân cơ chế này bắt đầu được gọi là hình bình hành của Watma. Do sự giống nhau của các tam giác $O_2A_2M$ và $O_2B_2B_1$ nên các điểm $O_2$, $M$ và $B_1$ luôn nằm trên cùng một đường thẳng. Trên cơ sở tương tự, $|O_2B_1|$ lớn gấp đôi $|O_2M|$; do đó, điểm $B_1$ mô tả quỹ đạo, quỹ đạo chuẩn bị của điểm $M$, theo tỷ lệ thỏa đáng. Trong thực tế, cải tiến là pít-tông được gắn không phải ở điểm $M$ của ba liên kết $O_1A_1A_2O_2$, mà ở điểm $B_1$ - đỉnh của hình bình hành $A_1B_1B_2A_2$; Do đó, Watt đã cố gắng phối hợp hoàn toàn các kích thước của cơ cấu với kích thước của phòng máy chung.

Hình 3 thể hiện một đường cong khép kín, được mô tả bởi điểm $M$ (nếu chuyển động của ba mắt xích không bị giới hạn); chỉ có thể sử dụng cung $MN$ của đường cong này trong máy.

Nhà khoa học nổi tiếng người Nga Pafun Lvovich Chebyshev (1821-1894) đã nghiên cứu rất sâu rộng và hiệu quả về các cơ chế bản lề. Anh ấy thể hiện khuynh hướng đặc biệt đối với họ ngay từ khi còn nhỏ. Anh ấy không bao giờ ngừng làm việc với chúng trong suốt cuộc đời của mình. Bản thân Chebyshev đã chế tạo ra nhiều cơ chế có khớp nối khác nhau, trong số đó có một chiếc thuyền với thiết bị chèo, một người đi bộ (“một cỗ máy đi bộ trăm”) và những thứ tuyệt vời khác.

P. L. Chebyshev chủ yếu quan tâm đến những cơ chế có thể tái tạo chuyển động thẳng một cách chính xác nhất. Đặc biệt, ông phát hiện ra rằng trong trường hợp hình bình hành Watt, các đường cong “tốt nhất” thu được khi thỏa mãn sự tương ứng $(2|O_1A_1|)^2 + |A_1A_2|^2 = |O_1O_2|^2$, nghĩa là phải có trạng thái cơ chế như vậy,

22

Khi $[O_1A_1] \perp [A_1A_2]$ và $[O_2A_2] \perp [A_1A_2]$.

Bài toán Tuy nhiên, anh không thể giải được bài toán tìm cơ chế dẫn hướng thẳng chính xác. Năm 1864, sĩ quan người Pháp Poselier đã phát minh ra một thiết bị gọi là biến tần (Hình 4), có chức năng biến chuyển động quay thành chuyển động thẳng hoàn hảo.

Bài toán (tối). Chứng minh rằng nếu điểm $B$ (xem Hình 4) mô tả một đường tròn nhất định đi qua điểm $O$ (điều này có thể đạt được bằng cách thêm một thanh $O'B$ sao cho $|O'B| = |OO'|$ vào biến tần selma và điểm cố định $O'$), thì điểm $M$ mô tả một đường thẳng *).

Nghiên cứu sâu hơn cho thấy có thể thực hiện được rất nhiều đường cong bằng cơ chế bản lề.

Chúng ta hãy đặc biệt lưu ý rằng khi nghiên cứu các hình bình hành của Watt, toán học sau bài toán đã xuất hiện trước Chebyshev: tại mức độ tương ứng nào giữa các độ dài của các thanh trong cơ chế Watt, hàm mô tả chuyển động của điểm giữa của shatur lệch ít nhất trong một khoảng cho trước **) so với hàm tuyến tính. Việc xây dựng câu hỏi này đóng vai trò là động lực cho nhiều nghiên cứu lý thuyết và tạo ra một lý thuyết mang tính xây dựng hiện đại về chức năng.

2. Chúng tôi khuyên bạn nên theo dõi quỹ đạo chuyển động của các điểm $M$ của đoạn $A_1A_2$ (hoặc được liên kết chặt chẽ với nó, xem đoạn 3 bên dưới); những quỹ đạo này được gọi là đường cong Whatma. Giới hạn khoảng cách chỉ trong trường hợp đối xứng ($|MA_1| = |MA_2|$), chúng tôi đặt

$$|O_1O_2| = 2l, |A_1A_2| = 2d,$$

$$|O_1A_1| = |O_2A_2| = R.$$

*) Xem «Kvant», 1971, số 8, tr. 27-28.
**) Trước Chebyshev, phần của đường cong $MN$ (xem Hình 3) được so sánh với tiếp tuyến của đường cong này được vẽ tại điểm trung tâm. Nếu cần đạt được giá trị gần đúng tốt “giữa các giới hạn đã cho” (trong ví dụ của chúng tôi, giữa các điểm $M$ và $N$), thì tiếp tuyến nên được ưu tiên hơn một số đường khác, “tốt hơn” đại diện cho một đường khác $MN$ hơn đoạn tương ứng của tiếp tuyến.

23

Hình 7.

Các điểm $A_1$ và $A_2$ có thể di chuyển dọc theo đường tròn bán kính $R$ có ​​tâm $O_1$ và $O_2$. Lưu ý rằng giá trị lớn nhất có thể có của khoảng cách $|A_1A_2|$ là $2(l + R)$ (Hình 5,a) và giá trị bằng nhau nhất là $2(l - R)$ (tại $l \geq R$) hoặc $0$ (tại $l \leq R$) (Hình 5,a, 6). Theo đó, để tồn tại cơ chế Watt, điều cần thiết là các tham số $d$, $R$ và $l$ phải thỏa mãn các bất đẳng thức
$$l - R \leq d \leq l + R.$$
Chúng ta sẽ nói rằng phần $M_1M_2$ của đường cong kéo dài từ đoạn đường $[M_1M_2]$ không quá $k\%$, nếu mỗi điểm $M$ của phần đường cong này được loại bỏ khỏi đoạn $M_1M_2$ ở khoảng cách không quá $a_0 = \frac{k}{100}|M_1M_2|$ (nghĩa là độ dài của phần phân phối lại từ điểm $M$ đến đoạn $M_1M_2$; Hình 6).

Bây giờ mọi người đã sẵn sàng soạn bài tập cho hội thảo toán học.

Bài tập
Theo thông số $d$, $R$ và $l$ (xem bảng) của cơ cấu bản lề Watt phẳng:

Bàn

| $d$ | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 4 | 13 | 3 | 2 | 4 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $R$ | 3 | 8 | 6 | 5 | 3 | 2 | 3 | 3 | 12 | 4 | 3 | 7 |
| $l$ | 5 | 5 | 5 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 |