Bài toán M421—M425; F433—F437

26

Bài toán
M421 — M425; F433 — F437

M421*. Với những số tự nhiên $m$ và $n$ ($m < n$), chúng ta có thể tô màu đen cho một số ô của một tờ giấy ca rô vô hạn sao cho bất kỳ hình chữ nhật nào có kích thước $m \times n$ đều chứa đúng một ô màu đen? Bắt đầu với bài toán đơn giản hơn: xem xét trường hợp $m=2$ và $n=3, 4, 5$ (Hình 1).

S. Okhitin, học sinh lớp 10

M422. Chia một tam giác tùy ý thành bảy tam giác đều, trong đó có ba tam giác bằng nhau.

A. Khabelashvili

M423*. Chứng minh rằng với mọi số thực $x, y$ và $z$ thì bất đẳng thức sau đúng:
$(x^2 + y^2 - z^2)(x^2 + z^2 - y^2)(y^2 + z^2 - x^2) \leqslant (x + y - z)^2(x + z - y)^2(y + z - x)^2$.

R. Sheichvit

M424. Qua mỗi đỉnh của tứ diện vẽ một mặt phẳng chứa tâm của đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện và vuông góc với mặt đối diện. Chứng minh rằng bốn mặt phẳng này cắt nhau tại một điểm.

A. Yagubyants

M425*. Có số tự nhiên $N$ sao cho mọi số hữu tỉ nằm giữa và một có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của $N$ số nghịch đảo của các số tự nhiên không?

F433. Hai thấu kính phẳng-lồi giống hệt nhau có tiêu cự $F=20$ cm, mỗi thấu kính đặt cách nhau 30 cm. Trục quang của thấu kính trùng nhau, các thấu kính hướng vào nhau bằng các cạnh phẳng. Ảnh của một nguồn cách thấu kính trái 40 cm sẽ nằm ở đâu nếu khoảng cách giữa hai thấu kính chứa đầy thủy tinh có chiết suất bằng chiết suất của thấu kính?

Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ và tên, số trường, lớp mà bạn sẽ học.