Phép quay và giao điểm của khối đa diện

45

Phép quay và giao điểm của khối đa diện

Chương trình giảng dạy của trường rất chú trọng đến các phép biến đổi hình học và đặc biệt là phép quay các hình. Tại cuộc họp của vòng tròn toán học, chúng tôi đã xem xét “không chuẩn” bài toán, khi chúng quay không phải là một hình phẳng mà là một hình không gian. Trong những bài toán như vậy, bạn cần phải hình dung rõ ràng về cách các hình sẽ được định vị trong không gian sau khi quay, do đó, nếu không có trí tưởng tượng hình học thì rất khó để phác thảo đường đi lời giải. Và bạn có thể phát triển trí tưởng tượng này bằng cách thực hành. Chúng tôi nghĩ rằng bài toán được đề xuất sẽ giúp độc giả giải quyết vấn đề này.

Bài toán 1. Một khối lập phương có cạnh a được quay 90° quanh một đường thẳng nối hai cạnh song song không thuộc cùng một mặt của khối lập phương. Tìm thể tích phần chung của hình lập phương ban đầu và hình lập phương đã quay.

Hãy đánh dấu đường dẫn lời giải. Đặt $M$ và $N$ là trung điểm của hai cạnh song song không thuộc cùng một mặt.

Hình 1.

Khối Ber (Hình 1). Chúng ta hãy cắt hình lập phương có mặt phẳng chéo vuông góc với đoạn $MN$. Chúng ta sẽ nhận được hai lời thú tội. Sau khi xoay, phần chung của mỗi lăng kính và hình ảnh của nó sẽ bao gồm một hình bình hành hình chữ nhật, đáy của nó là hình vuông có cạnh $a$ và một tham số tứ giác đều có cùng đáy và đỉnh tại điểm $M$ hoặc $N$ (Hình 2), do đó thể tích cần thiết $V$ của phần chung của các hình khối bằng hai lần tổng của các hình bình hành chung và lăng kính. Tìm độ dài chiều cao $AA_1$ của hình bình hành

$$|AA_1| = |EA_1| = a \sqrt{2}/2 - a/2 = a(\sqrt{2} - 1)/2$$

và chiều cao lăng kính

$$|MN|/2 - |AA_1| = a/2,$$

chúng tôi nhận được:

$$V = 2 \left( \frac{a^3 (\sqrt{2} - 1)}{2} + a^2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) = a^3 \left( \sqrt{2} - \frac{2}{3} \right).$$

Bài toán 2. Hai đường chéo của hai hình lập phương có cạnh a nằm trên cùng một đường thẳng. Đỉnh của khối thứ hai trùng với tâm của khối thứ nhất và khối thứ hai quanh đường chéo 60 so với khối thứ nhất. Tìm thể tích phần chung của các hình lập phương này.

Giả sử $ABCDA_1B_1C_1D_1$ là một khối đã cho và lấy khối thứ hai từ nó bằng cách dịch song song, di chuyển đỉnh $B$ đến giữa $O$ theo đường chéo

46

Hình 3.

được đặt $BD_1$ và xoay quanh trục $BD_1$ 60° (Hình 3). Bạn có thể xoay nó trước và sau đó di chuyển nó. Sau khi quay, điểm $B_1$ xuất hiện trong mặt phẳng $BA_1D_1$ (bạn hãy tự chứng minh điều này) nên dễ dàng nhận thấy sau khi dịch đoạn $OB_1$ (ảnh của đoạn $BB_1$) sẽ cắt đoạn $A_1D_1$ tại điểm $L$ sao cho $|LD_1| = 3a/4$. Tổng phần của các hình lập phương sẽ được tạo thành từ hai cặp hình tam giác $D_1KLM$ và $OKLM$, các cạnh bên của mỗi cặp tạo thành các góc vuông theo cặp và độ dài của các cạnh này bằng $3a/4$. Từ đây chúng ta nhận được đáp số:

$$V = 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{3}{4} a \right)^3 = \frac{9a^3}{64}.$$

Bài tập 3. Chứng minh rằng nếu một metahedron đều của một mặt có góc 90° xung quanh đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh cắt bất kỳ của nó, và sau đó thu được một metahedron mặt vuông góc 90° quanh đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh cắt bất kỳ của nó thì metahedron cuối cùng trùng với metahedron ban đầu.

Nếu qua mỗi cạnh của một khối đều, một mặt phẳng được vẽ song song với cạnh đối diện thì các mặt phẳng này sẽ bao bọc khối lập phương (Hình 4). Nối các đỉnh của khối lập phương với các đoạn “qua một”, chúng ta lại thu được một khối tứ diện - khối ban đầu (trong hình màu đỏ) hoặc một khối khác (màu xanh lam). Dễ dàng nhận thấy rằng với các lượt được mô tả trong bài tập, khối màu đỏ biến thành màu xanh lam và khối màu xanh lam thành màu đỏ. Do đó, sau hai lần quay, khối đa diện sẽ biến thành chính nó.

Bài tập

1. Một paramid hình tam giác đều bao gồm bề mặt đáy $a$ ở cạnh một góc 60°. Xác định thể tích của phần ban đầu và bề mặt của các paramid, nếu các mặt bên của các paramid là tam giác vuông.

2. Hai hình khối có cạnh $a$ nhận một hình từ bề mặt kia ở góc 60° quanh bề mặt đường chéo. Tìm thể tích của chúng.

3. Hai khối đều đều giống hệt nhau có cạnh $a$ có cùng chiều cao và đỉnh của mỗi khối nằm ở tâm của đáy của khối kia. Đáy của hình tứ diện thứ hai của bề mặt có góc 60° so với đáy của hình thứ nhất. Tìm thể tích của chúng.

4. Hai khối trung diện đều giống hệt nhau có cạnh $a$ có một đoạn chung nối các bề mặt của hai cạnh đối diện, nhưng một khối trung diện bề mặt có góc 90° so với mặt kia. Tìm thể tích của chúng.

Strama được đào tạo trong giới toán học của 71 trường

họ. N. Ostrovsky

(e. Kyiv, starosma S. Efimenko)