"Thêm" nghĩa là gì?

53

A. Savin
“THÊM” CÓ NGHĨA LÀ GÌ?

Với hai số bất kỳ, chúng ta luôn có thể biết số nào lớn hơn; Để làm điều này, chỉ cần so sánh các ký hiệu thập phân của chúng là đủ. Câu hỏi “Trong hai đoạn thẳng, đoạn nào lớn hơn?” cũng không gây ra hiểu lầm. Rõ ràng là cái có chiều dài dài hơn. Chúng ta có thể so sánh độ dài của các đoạn mà không cần tính toán mà chỉ bằng cách di chuyển chúng sao cho chúng nằm trên cùng một tia và một trong các đầu của mỗi đoạn trùng với điểm bắt đầu của tia. Vì vậy, trong một cuộc tranh chấp giữa hai chàng trai - “Ai cao hơn” - vấn đề, theo quy luật, kết thúc bằng việc họ đứng quay lưng vào nhau và ai đó sẽ dùng lòng bàn tay của họ để cắt đứt cuộc tranh chấp này.

Nhưng chúng ta hiểu câu nói này như thế nào: “Các bạn trong lớp chúng tôi cao hơn lớp bạn!”? Có thể hiểu thế này:

“Học sinh cao nhất trong lớp của chúng tôi cao hơn học sinh cao nhất trong lớp của bạn” hoặc “Học sinh thấp nhất trong lớp của chúng tôi cao hơn học sinh thấp nhất trong lớp của bạn” hoặc “Bất kỳ học sinh nào trong lớp của chúng tôi đều cao hơn bất kỳ học sinh nào trong lớp của bạn”. Một số phương pháp so sánh khác có thể được đề xuất, nhưng rất khó để ưu tiên cho bất kỳ phương pháp nào trong số đó.

Như chúng ta sẽ thấy, một tình huống tương tự cũng xảy ra khi cố gắng giải bài toán Số 137 trong sách giáo khoa hình học lớp 10. Chúng ta hãy nhớ lại công thức của nó.

137. Trong một tham số sáu ô thông thường, phần đường chéo lớn hơn là một tam giác vuông đều có zipomenus c. Tìm thể tích của paramid.

Để hiểu điều kiện bài toán, chúng ta nên nhớ tiết diện đường chéo là gì. Trong điều kiện bài toán Số 89, định nghĩa sau được đưa ra:

“Phần của một paramid bởi một mặt phẳng đi qua hai cạnh bên không nằm trên cùng một mặt được gọi là phần chéo”.

Thật không may, sách giáo khoa không có định nghĩa về một phần của paramidus (và vật thể nói chung) theo mặt phẳng, nhưng từ cách sử dụng từ này, chúng ta có thể kết luận rằng

“Phần vật thể bởi mặt phẳng là một hình hình học gồm tất cả các điểm thuộc cả viên phấn và mặt phẳng” (giao điểm của vật thể và mặt phẳng).

Vẫn còn phải hiểu “lớn” nghĩa là gì. Vì phần đường chéo của paramid rõ ràng là một hình tam giác, nên vẫn còn phải tìm hiểu ý nghĩa của việc một tam giác này lớn hơn tam giác kia.

Tùy chọn đáp số có rất nhiều thứ để cung cấp. Ví dụ: “Hình có chu vi lớn hơn”, hoặc “Hình có diện tích lớn hơn”, hoặc “Hình có diện tích hình tròn lớn hơn”, hoặc “Hình có diện tích hình tròn lớn hơn”, hoặc “Hình có cạnh lớn hơn”…

Cần lưu ý rằng trong các tình huống thực tế, “kích thước” của một tam giác có thể được đặc trưng bởi số nào liệt kê ở trên có liên quan đến

54

nykh với một hình tam giác. Tuy nhiên, thông thường, diện tích của hình này (và đối với các hình không gian, thể tích của chúng) được lấy làm một số đặc trưng cho kích thước của hình phẳng. Hai hình phẳng có cùng diện tích gọi là có diện tích bằng nhau.

Rõ ràng, bài toán 137 có nghĩa là “phần đường chéo chính” là phần đường chéo đi qua đường chéo chính.

Trong trường hợp này, lời giải bài toán không khó. Chiều cao của paramid bằng với chiều cao của hình tam giác là $\frac{c}{2}$ và chiều dài cạnh của hình lục giác cũng là $\frac{c}{2}$. Do đó diện tích đáy của paramid là $\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{c}{2}\right)^2$ và thể tích là $\frac{c^3\sqrt{3}}{16}$. Đó là đáp số được đưa ra trong sách giáo khoa.

Chà, nếu bạn hiểu kích thước của hình tam giác và diện tích của nó thì sao? Và trong trường hợp này bài toán cũng không quá khó giải quyết. Đầu tiên, chúng ta hãy thay thế các phần đường chéo của paramid là các hình tam giác có hai cạnh tắc nghẽn, là các cạnh bên của paramid. Nếu chúng ta biểu thị độ dài của cạnh bên bằng $l$, thì diện tích của tam giác đang được xem xét bằng $\frac{1}{2}l^2\sin\alpha$, trong đó $\alpha$ là góc giữa các cạnh được chỉ định và diện tích của các phần lớn, có góc hình sin lớn.

Thứ hai, chúng ta hãy thay thế rằng nếu góc chỉ là một góc vuông, thì từ những gì đã nói ở trên, phần đó là quan trọng nhất.

Trường hợp phần lớn nhất đi qua đường chéo lớn nhất đã được thảo luận. Vẫn còn phải xem xét trường hợp nó đi qua một đường chéo khác. Trong trường hợp này, độ dài của đường chéo này là $c$, độ dài của đường chéo lớn hơn là $\frac{2c\sqrt{3}}{3}$ và các cạnh của hình lục giác là $\frac{c\sqrt{3}}{3}$. Độ dài của cạnh bên là $\frac{c\sqrt{2}}{2}$ và chiều cao của paramid là $h = \sqrt{\frac{c^2}{2} - \frac{c^2}{3}} = c\sqrt{\frac{1}{6}}$. Kết quả cuối cùng là diện tích của đáy là $\frac{c^2\sqrt{3}}{2}$ và thể tích của paramid là $\frac{c^3\sqrt{2}}{12}$.

Mục đích của ghi chú này là gì? Tất nhiên, đây không phải là để chỉ ra điều bài toán đáng tiếc trong sách giáo khoa mà là để một lần cho bạn cơ hội tin chắc rằng toán học là một môn khoa học trong đó tất cả các khái niệm và mối quan hệ giữa chúng phải được xác định một cách chặt chẽ (tất nhiên, ngoại trừ những khái niệm cơ bản, không xác định, chẳng hạn như điểm, mặt phẳng, đường thẳng).

Tôi cũng muốn lưu ý thực tế là cùng một thuật ngữ có thể đóng những vai trò khác nhau trong các cuốn sách khác nhau. Đương nhiên, theo cuốn sách hoặc bài báo, thuật ngữ này được định nghĩa chặt chẽ.

Và kết luận - bài toán.

Người ta biết về một hình nón tròn thẳng có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất đi qua mặt cắt ngang của nó gấp đôi diện tích tiết diện chính. Tìm góc của phần chính.