Bài toán về định luật động lực học của một điểm vật chất

77

Bài tập
về định luật diamniks
điểm vật chất

Cơ sở động lực học của một điểm vật chất là ba định luật Newton. Chúng cho phép bạn chọn hệ thống báo cáo thuận tiện nhất để mô tả chuyển động, kết nối gia tốc của vật thể với các lực tác dụng lên vật thể đó và thiết lập một số mô hình tương tác quan trọng của vật thể đó. Ví dụ như những luật này.

Định luật đầu tiên của Newton: có một hệ thống tối đa bảo trợ liên quan đến đó một vật thể chuyển động duy trì tốc độ không đổi nếu các vật thể khác không tác dụng lên chúng hoặc các vật thể tác động khác được bù lại *).

Các hệ thống báo cáo này được gọi là quán tính. Ngoài ra còn có các hệ thống báo cáo trong đó tuyên bố trong định luật thứ nhất của Newton không được đáp ứng. Hệ thống báo cáo như vậy được gọi là không quán tính.

Sau khi lựa chọn bất kỳ hệ thống báo cáo quán tính nào, bạn có thể bắt đầu nghiên cứu và mô tả sự tương tác của vật thể và bản chất chuyển động của chúng.

Nhiều thí nghiệm đã chỉ ra rằng nguyên tắc duy nhất để thay đổi tốc độ của một vật thể nhất định trong hệ thống báo cáo quán tính là sự tương tác của nó với các vật thể khác (hoặc với một trường), tức là tác dụng của một lực lên vật thể đó.

Định luật thứ hai của Newton thể hiện mối quan hệ giữa lực và gia tốc của một vật thể, được truyền bởi lực này - lực tác dụng lên vật thể bằng tích của khối lượng của vật thể với gia tốc do lực này truyền:

$$\vec{F} = ma.$$

(1)

Định luật thứ hai của Newton có thể được phát biểu theo cách khác - độ biến thiên động lượng của một vật bằng động lượng của lực tác dụng lên vật đó:

$$\Delta(mv) = \vec{F}\Delta t$$

(2)

(ở đây $\Delta(mv)$ là sự thay đổi động lượng của vật trong một khoảng thời gian $\Delta t$).

Lưu ý rằng xung tương ứng với cả sự thay đổi về tốc độ và sự thay đổi về khối lượng cơ thể*).

Định luật thứ ba của Newton phát biểu rằng các vật tác dụng lên nhau với các lực hướng dọc theo cùng một đường thẳng, có độ lớn tuyệt đối bằng nhau và có hướng tùy ý.

Ví dụ, khi hai vật va chạm nhau (Hình 1), xuất hiện hai lực đàn hồi, liên hệ với nhau bởi hệ thức:

$$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21},$$

(3)

trong đó $\vec{F}_{12}$ là lực tác dụng lên vật thứ nhất từ ​​vật thứ hai và $\vec{F}_{21}$ là lực mà vật thứ nhất tác dụng lên vật thứ hai. Các lực luôn xuất hiện theo cặp.

Khá thường xuyên, những người nộp đơn đưa ra sai đáp số cho câu hỏi: phần thân của hệ thống có được đặt không,

*) Xin lưu ý rằng các định luật Newton không ảnh hưởng đến khả năng chuyển động quay của một vật nên chúng chỉ dùng để mô tả chuyển động của một chất điểm hoặc để cấu tạo nên chuyển động của các vật mở rộng.

78

Pis. 1.

Noah trong Hình 1, ở trạng thái cân bằng? Lý do cho điều này rõ ràng là do hình vẽ không rõ ràng: mỗi lực ngược chiều tác dụng lên một điểm. Mặc dù trên thực tế lực $\vec{F}_{12}$ tác dụng lên vật 1 và lực $\vec{F}_{21}$ tác dụng lên vật 2 nên chỉ có một lực tác dụng lên mỗi vật. Điều này có nghĩa là gia tốc của mỗi vật không bằng 0 và không có sự cân bằng.

Lời giải bài toán trong động lực học, bạn cần bắt đầu bằng việc phân tích các lực tác dụng lên một vật nhất định và bạn cần tưởng tượng hành động mà vật khác đặc trưng cho mỗi lực là gì. Sau đó, cần xác định hướng của từng lực, hướng chuyển động (vận tốc) và gia tốc của vật được đề cập.

Ví dụ, để một vật nhỏ nằm trên một mặt phẳng nghiêng (Hình 2). Có bao nhiêu lực tác dụng lên nó? Cơ thể tương tác với Trái đất - hành động này được đặc trưng bởi lực hấp dẫn $mg$, hướng thẳng đứng xuống dưới - và với bề mặt của mặt phẳng nghiêng - hành động này được đặc trưng bởi lực phản lực $\vec{R}$. Vì vật ở trạng thái cân bằng nên tổng vectơ các lực phải bằng 0, do đó lực $\vec{R}$ có ​​giá trị tuyệt đối bằng $|mg|$ và hướng thẳng đứng lên trên. Đôi khi tác dụng của bề mặt mặt phẳng nghiêng lên một vật được mô tả bởi hai lực:

lực đàn hồi $\vec{N}$, hướng pháp tuyến lên bề mặt (lực phản ứng pháp tuyến) và lực ma sát $\vec{F}_{tp}$, hướng dọc theo bề mặt. Tổng vectơ của các lực này bằng phản lực hỗ trợ (xem Hình 2):

$$\vec{N} + \vec{F}_{tp} = \vec{R}.$$

Chìa khóa của lời giải hầu hết động lực học bài toán là định luật thứ hai của Newton, được viết dưới dạng toán học dưới dạng phương trình vectơ (1) hoặc (2). Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, việc viết định luật này dưới dạng hình chiếu lên các trục tọa độ sẽ thuận tiện hơn. Ví dụ, phương trình vectơ (1) trong trường hợp tổng quát có thể được thay thế bằng phương trình ba được viết dưới dạng hình chiếu lên ba trục tọa độ:

$$F_x = ma_x, F_y = ma_y, F_z = ma_z.$$

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng khi phân tích các điều kiện bài toán, cần phải hiểu rõ ý nghĩa của các giả định kiểm soát có trong văn bản bài toán, như một quy luật,. Vì vậy, nếu xét một hệ các vật thể được nối với nhau bằng một sợi dây, thì một trong những điều kiện bổ sung này là tính “không trọng lượng” chung của sợi dây. Thuật ngữ “không trọng lượng” trong trường hợp này không hoàn toàn chính xác; sẽ chính xác hơn nếu nói rằng khối lượng của sợi dây không đáng kể. Sự đơn giản hóa này đạt được điều gì? Nó cho phép chúng ta giả định rằng độ căng chỉ ở tất cả các phần là như nhau. Nếu sợi dây có khối lượng thì lực căng dọc theo sợi dây sẽ thay đổi. Ví dụ: chúng ta hãy xem bài toán này.

Bài tập 1. Một thanh đồng nhất có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ chuyển động dọc theo một mặt phẳng nhẵn với đường chân trời dưới tác dụng của một lực $\vec{F}$ tác dụng lên mặt thanh và hướng dọc theo trục của thanh (Hình 3). Xác định lực căng của thanh tại đoạn nằm cách đầu thanh này một khoảng $l_0$.

Lực $\vec{F}$ là lớp chân trời duy nhất tác dụng lên thanh. Dưới tác dụng của lực này

80

ở đâu $h = l \cos \alpha$.

Có tính đến tất cả các mối quan hệ bằng văn bản, chúng tôi có được

$$|\vec{T}| = 3m |\vec{g}| \cos \alpha.$$

Giá trị lớn nhất của lực căng ứng với điều kiện $\cos \alpha = 1$ và bằng

$$|\vec{T}_{\text{max}}| = 3m |\vec{g}|.$$

Giá trị lực căng này đạt được ở $\alpha = 0$, tức là tại thời điểm sợi chỉ thẳng đứng. Gia tốc hướng tâm của tải bằng $2|\vec{g}|$ và hướng thẳng đứng lên trên.

Bài toán 3. Theo các điều kiện của bài toán trước, hãy xác định xem sợi dây tạo thành góc bao nhiêu với phương thẳng đứng tại thời điểm gọi là hình chiếu của vận tốc của tải trọng lên phương thẳng đứng?

Tại thời điểm ban đầu khi tải ở vị trí 1 thì tốc độ của nó bằng 0. Tất nhiên, hình chiếu của vận tốc lên trục tung $Y$ cũng bằng 0 (Hình 6). Ở vị trí 2, hình chiếu thẳng đứng của vận tốc lại bằng 0, vì vận tốc hướng theo chiều ngang. Điều này có nghĩa là khi tải di chuyển từ vị trí 1 sang vị trí 2, hình chiếu này đầu tiên tăng lên, sau đó giảm xuống và ở đâu đó nó đạt mức tối đa. Hãy tìm điều kiện để có hình chiếu thẳng đứng lớn nhất của tốc độ của tải.

Khi tải di chuyển thì gia tốc của nó cũng thay đổi liên tục:

ở vị trí 1, nó bằng $g$ và hướng thẳng đứng xuống dưới, và ở vị trí 2, gia tốc trong giá trị abscylite bằng $2|\vec{g}|$ và hướng thẳng đứng lên trên. Do đó, như $h = l \cos \alpha$.

Bạn có thể nhận được đáp số theo cách ngắn hơn. Như đã biết, tại điểm cực trị của một hàm, hàm tùy ý của nó biến thành một luồng. Hình chiếu thẳng đứng của tốc độ tại một vị trí tải tùy ý được xác định bởi công thức tương ứng

$$v_y = v \sin \alpha = \sqrt{2|\vec{g}|l \cos \alpha} \sin \alpha.$$

Hãy tìm một giá trị tùy ý đối với $\alpha$ và đánh đồng nó bằng 0:

$$\sqrt{\frac{|\vec{g}|l}{2\cos \alpha}} (3\cos^2 \alpha - 1) = 0.$$

Điều kiện $3\cos^2 \alpha - 1 = 0$ trùng với điều kiện tối đa (*) tìm được ở trên.

Bài toán 4. Một vật có khối lượng $m$ chuyển động đều dọc theo một mặt phẳng nằm ngang dưới tác dụng của lực $\vec{F}$ (Hình 7). Hệ số ma sát là $\mu$. Tại giá trị nào của góc $\alpha$ lực $\vec{F}$ có độ lớn tuyệt đối nhỏ nhất?

Bốn lực tác dụng lên cơ thể: lực $\vec{F}$, lực hấp dẫn $mg$, phản lực bề mặt pháp tuyến $\vec{N}$ và lực ma sát $\vec{F}_{\text{tp}}$. Dưới tác dụng của các lực này, cơ thể chuyển động đều và với tốc độ cực nhanh.

81

Hình 7.

Hãy viết định luật II Newton dưới dạng hình chiếu theo trục ngang và trục dọc (xem Hình 7):

$$|\vec{F}| \cos \alpha - |\vec{F}|_{\text{tp}} = 0,$$
$$|\vec{N}| + |\vec{F}| \sin \alpha - m |\vec{g}| = 0.$$
Bên cạnh đó,
$$|\vec{F}_{\text{tp}}| = \mu |\vec{N}|.$$
Từ ba phương trình này ta tìm được
$$|\vec{F}| = \frac{\mu m |\vec{g}|}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}.$$

Ta thấy rằng độ lớn tuyệt đối của lực $\vec{F}$ là hàm số của góc $\alpha$. Để tìm cực trị của hàm này, chúng ta tính đạo hàm của nó và đánh đồng nó bằng 0:

$$-\frac{\mu m |\vec{g}| (-\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{(\cos \alpha + \mu \sin \alpha)^2} = 0.$$

Từ đây
$$tg \alpha = \mu, \text{ и } \alpha = \arctg \mu.$$

Bài toán có thể giải theo cách khác. Khi đó tác dụng của các lực $\vec{N}$ và $\vec{F}_{\text{tp}}$ là tác dụng của một lực - phản lực hỗ trợ $\vec{R}$ (xem Hình 7). Vì vật chuyển động đều nên tổng vectơ của tất cả các lực bằng 0, tức là các lực $mg$, $\vec{R}$ và $\vec{F}$ tạo thành một tam giác khép kín. Tuy nhiên, từ phía nó là lực hấp dẫn $mg$,

hướng thẳng đứng xuống dưới. Cạnh kia của tam giác là phản lực hỗ trợ $\vec{R}$. Độ lớn của lực này phụ thuộc vào hướng của lực $\vec{F}$, nhưng hướng của nó không đổi và chỉ được xác định bởi giá trị của hệ số ma sát (xem Hình 7):

$$tg \beta = \frac{|\vec{F}_{\text{tp}}|}{|\vec{N}|} = \mu.$$

Nói chung, lực $\vec{F}$ có thể hướng theo bất kỳ góc nào $\alpha$ so với đường chân trời. Nhưng vật chuyển động đều và tam giác lực phải khép kín. Điều này đạt được là do đồng thời với sự thay đổi hướng của lực $\vec{F}$, độ lớn của nó và độ lớn của lực $\vec{R}$ cũng thay đổi. Hình 8 cho thấy hai hình tam giác được xác định bởi các ký hiệu tương ứng

$$mg + \vec{R}_1 + \vec{F}_1 = 0$$
$$mg + \vec{R}_2 + \vec{F}_2 = 0.$$

Từ hình này, rõ ràng lực $\vec{F}$ sẽ có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất nếu nó vuông góc với đường tác dụng của lực $\vec{R}$. Rõ ràng, trong trường hợp này, hãy làm hài lòng cô ấy (Cuối cùng, xem trang 82-83.)