Задачи на законы динамики материальной точки

77

Задание
на законы диамники
материальной точки

Основу диамники материальной точки составляют три закона Ньютона. Они позволяют выбрать наиболее удобную для описания движения системы отчета, связывают ускорение тела с действующими на это тело силами и устанавливают некоторые важные закономерности взаимодействия тела. Например эти законы.

Первый закон Ньютона: существует максимальное системное отчество, относительно которых движущаяся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действующие другие тела компенсируются*).

Эти системы отчета называются инерциальными. Существуют и такие системы отчета, в которых утверждение, высказанное в первом законе Ньютона, не выполняется. Подобные системы отчета называются неинерциальными.

После того как сделан выбор какой-либо инерциальной системы отчета, можно приступить к изучению и описанию взаимодействия тела и характер их движения.

Многочисленные эксперименты показали, что единственный принцип изменения скорости данного тела в инерциальных системах отчета является взаимодействие его с другими телами (или с полем), то есть действие на тело силы.

Второй закон Ньютона выражает связь между силой и ускорением тела, которое сообщается этой силой — сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

$$\vec{F} = ma.$$

(1)

Второй закон Ньютона можно формулировать и инначе — изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на это тело:

$$\Delta(mv) = \vec{F}\Delta t$$

(2)

(здесь $\Delta(mv)$ — изменение импульса тела за промежуток времени $\Delta t$).

Заметим, что соответствие импульса как за счет изменения скорости, так и за счет изменения массы тела*).

Третий закон Ньютона гласит, что тела действуют друг на друга с силами, направленные вдоль одной и той же прямой, равными по абсцизной величины и произвольными по направлению.

Например, при столкновении двух тел (рис. 1) возникают две силы упругостики, связанные соотношением:

$$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21},$$

(3)

где $\vec{F}_{12}$ — сила, действующая на первое тело с стороны второго, и $\vec{F}_{21}$ — с которой первое тело действует на второе. Силы всегда появляются парами.

Довольно часто абитриенты дают неправильный ответ на вопрос: находится ли тела системы, изобранен-

*) Обратите внимание на то, что в законах Ньютона не затрагивает возможностьвращательного движения тела, поэтому они применены лишь для описания движения материальной точки или для построения движения протяженных тел.

78

Пис. 1.

ной на рисунке 1, в равновесии? Причиной этого является, видимо, нечеткость чертежа: противоположно направленные силы каждой приложены к одной точке. Хотя на самом деле сила $\vec{F}_{12}$ приложена к телу 1, а сила $\vec{F}_{21}$ — к телу 2, так что на каждой тело действует лишь одна сила. Значит, ускорение каждого тела не равно нулю, и равновесия нет.

Решение задач по динамике нужно начинать с анализа сил, действующих на данное тело, причем необходимо чего представлять, действие какого другого тела характеризует каждой сил. Затем следует определить направление каждой силы, направления движения (скорости) и ускорения расматриваемого тела.

Пусть, например, небольшие тело покопится на наклонной плоскости (рис. 2). Сколько сил действуют на него? Тело взанодействует с Землей — это действие характеризуется силой тяжестями $mg$, направленной по вертикали вниз, — и с поверхностью наклонной плоскости — это действие характеризуется силой реакции $\vec{R}$. Так как тело находится в равновесии, векторная сумма сил должна быть равна нулю, поэтому сила $\vec{R}$ по абсолотному величины равна $|mg|$, а направлена по вертикали вверх. Иногда действие поверхности наклонной плоскости на тело описывают двумя силами:

силой упругости $\vec{N}$, направленной по нормали к поверхности (силой нормальной реакции), и силой треня $\vec{F}_{tp}$, направленной вдоль поверхности. Векторная сумма этих сил равна силе реакции опоры (см. рис. 2):

$$\vec{N} + \vec{F}_{tp} = \vec{R}.$$

Ключом к решению большиства задач динамики является второй закон Ньютона, который математически записывается в виде векторных уравнений (1) или (2). Однако в большистве случаев оказывается более удобным записывать этот закон в проекциях на координатные оси. Например, векторное уравнение (1) в общем случае может быть заменено трея稼ными, записанными в проекциях на три оси координат:

$$F_x = ma_x, F_y = ma_y, F_z = ma_z.$$

Заметим еще, что при анализе условий задачи необходимоясно представлять смысл управления предположений, содержащихся, как правило, в тексте задачи. Так, если рассматривается система тел, связанных нитью, то одним из таких дополнительных условий является общую «невесомость» нити. Термин «невесомость» в этом случае не совсем корректен, точнее было бы сказать, что масса нити пренебрежимо мала. Что дает это упрощение? Оно позволяет считать, что натяжение нити во всех сечениях одинаково. Если бы нить обладала массой, то натяжение изменилось бы вдоль нити. Для примера разберем такую задачу.

Задание 1. Однородный стержень дииной $l$ и массой $m$ движется по гладкой горизонтом плоскости под действием силы $\vec{F}$, приложенной к морцу стержня и направленной вдоль оси стержня (рис. 3). Определить натяжение стержня в сечении, отстоящем от этого морца стержня на расстояние $l_0$.

Сила $\vec{F}$ является единственной горизонтом слой, действующей на стержень. Под действием этой силы

80

где $h = l \cos \alpha$.

Учитывая все записанные соотношения, получаем

$$|\vec{T}| = 3m |\vec{g}| \cos \alpha.$$

Максимальное значение силы натяжения соответствует условию $\cos \alpha = 1$ и составляет величины

$$|\vec{T}_{\text{max}}| = 3m |\vec{g}|.$$

Это значение силы натяжения достигается при $\alpha = 0$, то есть в тот момент, когда нить вертикальная. Центростремительное ускорение груза при этом равно $2|\vec{g}|$ и направлено вертикально вверх.

Задача 3. В условиях предыдущего задачи определить, какой угол с вертикальной образуем нить в том момент, когда проекция скорости груза на вертикальное направление называется?

В начальной момент, когда груз находится в положении 1, его скорость равна нулю. Разумеется, равна нулю и проекция скорости на вертикальное ось $Y$ (рис. 6). В положении 2 вертикальная проекция скорости опять равна нулю, так как скорость направлена горизонтально. Значит, при движении груза из положения 1 в положение 2 эта проекция сначала увеличивается, потом уменьшается, и где-то она максимальная. Найдем условие максимума вертикальной проекции скорости груза.

При движении груза его ускорение тоже непрерывно изменяется:

в положении 1 оно равно $g$ и направлено вертикально вниз, а в положении 2 ускорение по абсцилотной величины равно $2|\vec{g}|$ и направлено вертикально вверх. Следовательно, в качестве $h = l \cos \alpha$.

Можно получить ответ более коротким путем. Как известно, в точках экстремума функции ее произвольная обращается в нить. Вертикальная проекция скорости в произвольном положении груза определяется соответствующим

$$v_y = v \sin \alpha = \sqrt{2|\vec{g}|l \cos \alpha} \sin \alpha.$$

Найдем произвольную по $\alpha$ и приравняем ее нулю:

$$\sqrt{\frac{|\vec{g}|l}{2\cos \alpha}} (3\cos^2 \alpha - 1) = 0.$$

Условие $3\cos^2 \alpha - 1 = 0$ совпадает с условием максимума (*), найденным выше.

Задача 4. Тело массой $m$ движется равномерно по горизонтальной поверхности под действием силы $\vec{F}$ (рис. 7). Коэффициент трения равен $\mu$. При каком значении угла $\alpha$ сила $\vec{F}$ имеет наименьшую абсцилотную величины?

На тело действуют четыре силы: сила $\vec{F}$, сила тяжестки $mg$, сила нормальной реакции поверхности $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{\text{tp}}$. Под действием этих сил тело движется равномерно и примолнечно.

81

Рис. 7.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальной и вертикальной оси (см. рис. 7):

$$|\vec{F}| \cos \alpha - |\vec{F}|_{\text{tp}} = 0,$$
$$|\vec{N}| + |\vec{F}| \sin \alpha - m |\vec{g}| = 0.$$
Кроме того,
$$|\vec{F}_{\text{tp}}| = \mu |\vec{N}|.$$
Из этих трех уравнений находим
$$|\vec{F}| = \frac{\mu m |\vec{g}|}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}.$$

Мы видим, что абсолотная величины силы $\vec{F}$ является функцией угла $\alpha$. Чтобы найти экстремум этой функции, вычислим ее производуную и приравнем нулю:

$$-\frac{\mu m |\vec{g}| (-\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{(\cos \alpha + \mu \sin \alpha)^2} = 0.$$

Отсюда
$$tg \alpha = \mu, \text{ и } \alpha = \arctg \mu.$$

Задача может быть решена и другими способами. Затем действия силы $\vec{N}$ и $\vec{F}_{\text{tp}}$ действием одной силы — силы реакции опоры $\vec{R}$ (см. рис. 7). Так как тело движется равномерно, векторная сумма всех сил равна нулю, то есть силы $mg$, $\vec{R}$ и $\vec{F}$ образуют замкнутый треугольник. Однако из его стороны является сила тяжести $mg$,

направленная вертикально вниз. Другая сторона треугольника — реакция опоры $\vec{R}$. Величина этой силы зависит от направления силы $\vec{F}$, но направление ее неизменено и определяется лишь величиной коэффициента трения (см. рис. 7):

$$tg \beta = \frac{|\vec{F}_{\text{tp}}|}{|\vec{N}|} = \mu.$$

Сила $\vec{F}$, вообще говоря, может быть направлена под любым углом $\alpha$ к горизонту. Но тело движется равномерно, и треугольник сил должен быть замкнут. Это достигается тем, что одновременно с изменением направления силы $\vec{F}$ изменяется ее величины и величина силы $\vec{R}$. На рисунке 8 изображены два треугольника, определяемые соответствующими

$$mg + \vec{R}_1 + \vec{F}_1 = 0$$
$$mg + \vec{R}_2 + \vec{F}_2 = 0.$$

Из этого рисунка видно, что сила $\vec{F}$ будет минимальной по абсолотной величины в том случае, если она перпендикулярна к линии действия силы $\vec{R}$. Очевидно, что при этом угодл ее (Окончание см. с. 82–83.)